Berechnung von π über Leibniz < Numerik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo,
ich habe ein kleines Verständnisproblem mit einer Aufgebe aus einer Klausur. Es ging um die Berechnung von π/4 über eine Leibnitz-Reihe. Vorgegeben waren zwei Reihen:
Zunächst in der "normalen" Form
1 - $ [mm] \bruch{1}{3} [/mm] $ + $ [mm] \bruch{1}{5} [/mm] $-....+ $ [mm] \bruch{1}{2000001} [/mm] $
anschließend in der umgekehrten Form
$ [mm] \bruch{1}{2000001} [/mm] $ - ..... + $ [mm] \bruch{1}{5} [/mm] $ - $ [mm] \bruch{1}{3} [/mm] $ + 1
Beide Reihen liefern ab der 15. Nachkommastelle unterschiedliche Ergebnisse.
Welche Reihe ist für die Berechnung von π exakter und wieso ist das so ?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo Plinius81, ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> ich habe ein kleines Verständnisproblem mit einer Aufgebe
> aus einer Klausur. Es ging um die Berechnung von π/4 über
> eine Leibnitz-Reihe. Vorgegeben waren zwei Reihen:
Was jetzt, Leibniz oder Leibnitz? (Der genannte Autor selbst schrieb übrigens beides)
> Zunächst in der "normalen" Form
> 1 - [mm]\bruch{1}{3}[/mm] + [mm]\bruch{1}{5} [/mm]-....+ [mm]\bruch{1}{2000001}[/mm]
So ganz ohne Pünktchen? [mm] \quad\cdots
[/mm]
> anschließend in der umgekehrten Form
>
> [mm]\bruch{1}{2000001}-\cdots+\bruch{1}{5}-\bruch{1}{3}+1[/mm]
Wieder ohne Pünktchen? Wobei... - wofür sollten die hier wohl stehen?
> Beide Reihen liefern ab der 15. Nachkommastelle
> unterschiedliche Ergebnisse.
Auf welchem Rechner mit welchem Algorithmus? Oder geht es nur um die fehlenden Pünktchen und damit das Fehlerglied?
> Welche Reihe ist für die Berechnung von π exakter und
> wieso ist das so ?
Das wird ohne Beantwortung der obigen Fragen nicht zu lösen sein. Die beiden Reihen sind, soweit bisher dargestellt, ja exakt gleich. Was aber ist hier gemeint?
Grüße
reverend
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:46 Di 19.01.2010 | | Autor: | Plinius81 |
> Hallo Plinius81,
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> > ich habe ein kleines Verständnisproblem mit einer Aufgebe
> > aus einer Klausur. Es ging um die Berechnung von π/4 über
> > eine Leibnit-Reihe. Vorgegeben waren zwei Reihen:
>
> Was jetzt, Leibniz oder Leibnitz? (Der genannte Autor
> selbst schrieb übrigens beides)
Es handelt sich um zwei Leibniz-Reihen.
>
> > Zunächst in der "normalen" Form
> > 1 - [mm]\bruch{1}{3}[/mm] + [mm]\bruch{1}{5} [/mm]- ....+ [mm]\bruch{1}{2000001}[/mm]
>
> So ganz ohne Pünktchen? [mm]\quad\cdots[/mm]
>
> > anschließend in der umgekehrten Form
> >
> > [mm]\bruch{1}{2000001}-\cdots+\bruch{1}{5}-\bruch{1}{3}+1[/mm]
>
> Wieder ohne Pünktchen? Wobei... - wofür sollten die hier
> wohl stehen?
Die "Pünktchen" stehen dafür, dass sich die Reihe in dem zuvor ersichtlichen Muster fortsetzt. Ich hatte keine Lust ein Mio Brüche in das Forum zu posten.
>
> > Beide Reihen liefern ab der 15. Nachkommastelle
> > unterschiedliche Ergebnisse.
>
> Auf welchem Rechner mit welchem Algorithmus? Oder geht es
> nur um die fehlenden Pünktchen und damit das Fehlerglied?
Es sind keine Angaben zu einem Algorithmus gemacht worden, da es sich um eine Vorlesung zur numerischen Mathematik handelte gehe ich einmal davon aus, dass die Berechnung über einen Rechner gemacht wurde, hierzu jedoch keine weiteren Informationen.
>
> > Welche Reihe ist für die Berechnung von π exakter und
> > wieso ist das so ?
>
> Das wird ohne Beantwortung der obigen Fragen nicht zu
> lösen sein. Die beiden Reihen sind, soweit bisher
> dargestellt, ja exakt gleich. Was aber ist hier gemeint?
>
> Grüße
> reverend
Also nochmal zusammengefasst: Es Handelt sich um zwei identische Leibniz-Reihen, die sich lediglich in der Reihenfolge (vom Kleinsten zum größten Wert und umgekehrt) unterscheiden
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 01:40 Di 19.01.2010 | | Autor: | reverend |
Menno,
so blöd bin ich auch nicht.
> Es handelt sich um zwei Leibniz-Reihen.
Ja, klar.
> > > Zunächst in der "normalen" Form
> > > 1 - [mm]\bruch{1}{3}[/mm] + [mm]\bruch{1}{5} [/mm]- ....+
> [mm]\bruch{1}{2000001}[/mm]
> >
> > So ganz ohne Pünktchen? [mm]\quad\cdots[/mm]
> >
> > > anschließend in der umgekehrten Form
> > >
> > > [mm]\bruch{1}{2000001}-\cdots+\bruch{1}{5}-\bruch{1}{3}+1[/mm]
> >
> > Wieder ohne Pünktchen? Wobei... - wofür sollten die hier
> > wohl stehen?
>
> Die "Pünktchen" stehen dafür, dass sich die Reihe in dem
> zuvor ersichtlichen Muster fortsetzt. Ich hatte keine Lust
> ein Mio Brüche in das Forum zu posten.
Wozu auch? Die Frage ist doch folgende: werden die Folgen (genauer: Reihen) nach dem letzten Glied fortgesetzt? In der einen Form scheint das naheliegend, in der anderen nicht. Hierin liegt der einzig mögliche Unterschied.
Ansonsten gilt das Assoziativgesetz, die Reihenfolge der Summierung ist absolut unerheblich und kann nicht zu verschiedenen Ergebnissen führen, auch nicht in der numerischen Mathematik! Es sei denn, die eine Reihe setzt Restglieder voraus und die andere nicht. Also nochmal: wofür stehen die Pünktchen? Fehlen am Ende welche?
> > > Beide Reihen liefern ab der 15. Nachkommastelle
> > > unterschiedliche Ergebnisse.
> >
> > Auf welchem Rechner mit welchem Algorithmus? Oder geht es
> > nur um die fehlenden Pünktchen und damit das Fehlerglied?
>
> Es sind keine Angaben zu einem Algorithmus gemacht worden,
> da es sich um eine Vorlesung zur numerischen Mathematik
> handelte gehe ich einmal davon aus, dass die Berechnung
> über einen Rechner gemacht wurde, hierzu jedoch keine
> weiteren Informationen.
Da stellst Du Dir mindestens eine Frage zuwenig. Siehe oben.
> > > Welche Reihe ist für die Berechnung von π exakter und
> > > wieso ist das so ?
> >
> > Das wird ohne Beantwortung der obigen Fragen nicht zu
> > lösen sein. Die beiden Reihen sind, soweit bisher
> > dargestellt, ja exakt gleich. Was aber ist hier gemeint?
> >
> > Grüße
> > reverend
>
> Also nochmal zusammengefasst: Es Handelt sich um zwei
> identische Leibniz-Reihen, die sich lediglich in der
> Reihenfolge (vom Kleinsten zum größten Wert und
> umgekehrt) unterscheiden
Wenn sie sich lediglich in der Reihenfolge unterscheiden, haben sie keinen weiteren Unterschied (vor allem nicht in ihrem Wert!) und die Frage ist sinnlos. Denk nochmal drüber nach.
Was Du übrigens Leibniz-Reihe nennst, nennt man normalerweise einfach "alternierende Reihe". Verständlich ist Dein Begriff vor allem deswegen, weil Leibniz ein eigenes Kriterium für alternierende Reihen aufgestellt hat.
lg
reverend
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:06 Di 19.01.2010 | | Autor: | Plinius81 |
> Menno,
>
> so blöd bin ich auch nicht.
>
> > Es handelt sich um zwei Leibniz-Reihen.
>
> Ja, klar.
>
> > > > Zunächst in der "normalen" Form
> > > > 1 - [mm]\bruch{1}{3}[/mm] + [mm]\bruch{1}{5} [/mm]- ....+
> > [mm]\bruch{1}{2000001}[/mm]
> > >
> > > So ganz ohne Pünktchen? [mm]\quad\cdots[/mm]
> > >
> > > > anschließend in der umgekehrten Form
> > > >
> > > > [mm]\bruch{1}{2000001}-\cdots+\bruch{1}{5}-\bruch{1}{3}+1[/mm]
> > >
> > > Wieder ohne Pünktchen? Wobei... - wofür sollten die hier
> > > wohl stehen?
> >
> > Die "Pünktchen" stehen dafür, dass sich die Reihe in dem
> > zuvor ersichtlichen Muster fortsetzt. Ich hatte keine Lust
> > ein Mio Brüche in das Forum zu posten.
>
> Wozu auch? Die Frage ist doch folgende: werden die Folgen
> (genauer: Reihen) nach dem letzten Glied fortgesetzt? In
> der einen Form scheint das naheliegend, in der anderen
> nicht. Hierin liegt der einzig mögliche Unterschied.
>
> Ansonsten gilt das Assoziativgesetz, die Reihenfolge der
> Summierung ist absolut unerheblich und kann nicht zu
> verschiedenen Ergebnissen führen, auch nicht in der
> numerischen Mathematik! Es sei denn, die eine Reihe setzt
> Restglieder voraus und die andere nicht. Also nochmal:
> wofür stehen die Pünktchen? Fehlen am Ende welche?
>
> > > > Beide Reihen liefern ab der 15. Nachkommastelle
> > > > unterschiedliche Ergebnisse.
> > >
> > > Auf welchem Rechner mit welchem Algorithmus? Oder geht es
> > > nur um die fehlenden Pünktchen und damit das Fehlerglied?
> >
> > Es sind keine Angaben zu einem Algorithmus gemacht worden,
> > da es sich um eine Vorlesung zur numerischen Mathematik
> > handelte gehe ich einmal davon aus, dass die Berechnung
> > über einen Rechner gemacht wurde, hierzu jedoch keine
> > weiteren Informationen.
>
> Da stellst Du Dir mindestens eine Frage zuwenig. Siehe
> oben.
>
> > > > Welche Reihe ist für die Berechnung von π exakter und
> > > > wieso ist das so ?
> > >
> > > Das wird ohne Beantwortung der obigen Fragen nicht zu
> > > lösen sein. Die beiden Reihen sind, soweit bisher
> > > dargestellt, ja exakt gleich. Was aber ist hier gemeint?
> > >
> > > Grüße
> > > reverend
> >
> > Also nochmal zusammengefasst: Es Handelt sich um zwei
> > identische Leibniz-Reihen, die sich lediglich in der
> > Reihenfolge (vom Kleinsten zum größten Wert und
> > umgekehrt) unterscheiden
>
> Wenn sie sich lediglich in der Reihenfolge unterscheiden,
> haben sie keinen weiteren Unterschied (vor allem nicht in
> ihrem Wert!) und die Frage ist sinnlos. Denk nochmal
> drüber nach.
>
Ich weiß dass sich die beiden Reihen vom Prinzip her nicht unterscheiden. Die beiden Reihen sind beide exakt gleich lang und haben zu 100% die gleichen Zahlenwerte, dennoch ist angegeben, dass sie sich nach der 15. Stelle unterscheiden, womit die Ergebnisse berechnet wurden ist nicht angegeben, aber es wird sich um eine Berechnung via Computer handeln. Die "Pünktchen" stehen nur dafür, dass die Reihen zwischen den dargestellten Werten in dem gleichen Schema fortgeführt werden (japp, genau, alternierend).
Ich habe mir die Frage nicht selber ausgedacht, es handelt sich hierbei um eine alte Klausuraufgebe, deren Sinn, oder deren Lösung ich nicht verstehe .
> Was Du übrigens Leibniz-Reihe nennst, nennt man
> normalerweise einfach "alternierende Reihe". Verständlich
> ist Dein Begriff vor allem deswegen, weil Leibniz ein
> eigenes Kriterium für alternierende Reihen aufgestellt
> hat.
>
> lg
> reverend
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> Hallo,
>
> ich habe ein kleines Verständnisproblem mit einer Aufgebe
> aus einer Klausur. Es ging um die Berechnung von π/4 über
> eine Leibnitz-Reihe. Vorgegeben waren zwei Reihen:
>
> Zunächst in der "normalen" Form
> $\ 1 - [mm] \bruch{1}{3}+\bruch{1}{5} -\,....\,+\bruch{1}{2000001}$
[/mm]
>
> anschließend in der umgekehrten Form
>
> [mm] $\bruch{1}{2000001}-\, .....\, +\bruch{1}{5}-\bruch{1}{3} [/mm] + 1$
>
> Beide Reihen liefern ab der 15. Nachkommastelle
> unterschiedliche Ergebnisse.
>
> Welche Reihe ist für die Berechnung von π exakter und
> wieso ist das so ?
Hallo zusammen,
es geht bei der Aufgabe gar nicht wirklich um die
vollständige (unendliche) Reihe, sondern um eine
numerische Berechnung eines Näherungswertes
für π/4 mit einem Computer.
Bei der angegebenen Anzahl Summanden sollte
der berechnete Wert mindestens 6 korrekte Nach-
kommastellen haben, denn in einer solchen Leib-
nizschen Reihe ist das Restglied stets kleiner als
das letzte berücksichtigte Glied.
Zu vergleichen sind hier eigentlich nur die Er-
gebnisse, welche für eine ganz konkrete, theo-
retisch exakt bestimmte Summe aus [mm] 10^6+1
[/mm]
rationalen Summanden je nach Additionsrei-
henfolge entstehen. Im Computer, der nur
mit einer bestimmten Anzahl Stellen rechnet,
ergeben sich dabei Rundungsfehler, weil z.B.
schon die einzelnen Summanden meistens
nicht exakt dargestellt werden können.
Es kommt nun darauf an, in welcher Weise die
Zahlen intern im Computer dargestellt werden.
Wird mit Fixkommazahlen einer bestimmten
Länge gerechnet (alle Summanden in der Form
[mm] 0.\,d_1d_2\,d_3\,..........\,d_n [/mm] ), dann sollten beide
Berechnungsarten zum selben Ergebnis führen.
Werden aber die Zahlen in Mantisse-Exponent-
Darstellung verarbeitet, so ergeben sich Unter-
schiede:
Fängt man "vorne" an, also $\ [mm] 1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\,.....$
[/mm]
so bleibt der Exponent der (Binär- oder Dezi-
mal-) Darstellung für die Teilsummen bei -1
stehen und die möglichen Stellen der Man-
tissen müssen stets das gesamte Zwischen-
ergebnis darstellen. Dabei fallen kleine Sum-
manden praktisch "unter den Tisch".
Die umgekehrte Additionsweise funktioniert
nach dem Prinzip "Kleinvieh macht auch Mist":
die Summation fängt mit den kleinsten Sum-
manden an. Diese kleinen Werte werden mit
viel größerer Genauigkeit addiert wegen der
Exponentialdarstellung. In Fixkommadarstellung
oder wenn man mit den größten Summanden
angefangen hat, würden viele dieser Summanden
von vornherein "weggerundet".
Man ermittelt also den Wert der angegebenen
Summe exakter, wenn man mit den kleinsten
Summanden beginnt.
Ich habe gerechnet (Programm, das mit Man-
tissen von 20 Dezimalstellen rechnet):
$\ [mm] 1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\,.....\,+\frac{1}{2000001}\ \approx\ [/mm] 0.7853984133971982964\ =:a$
$\ [mm] \frac{1}{2000001}-\frac{1}{1999999}+\,.....\,-\frac{1}{3}-1\ \approx\ [/mm] 0.7853984133971983098\ =:b$
Der bis auf 19 Nachkommastellen genaue Wert
von π/4 ist $\ 0.7853981633974483096\ =:c$
Beide Werte (a und b) weichen vom wirklichen
Wert c noch um ca. 0.00000025 ab. Es sind
also keineswegs etwa schon auf 15 Nachkomma-
stellen genaue Näherungswerte ! Für die eigent-
liche Berechnung von π/4 ist also der Unterschied
zwischen den beiden Berechnungsarten doch
unerheblich. Und überhaupt ist die Leibnizreihe
für die numerische Berechnung von π äußerst
ineffizient ! Es ist ein riesiger Rechenaufwand
erforderlich, um auch nur wenige Dezimalen
von π zu bestimmen.
LG Al-Chw.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:33 Di 19.01.2010 | | Autor: | Plinius81 |
Danke für die Antwort, ich denke ich habe die Lösung des Problems jetzt verstanden.
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