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| Aufgabe | 1. Für t [mm] \in [/mm] [0,2 [mm] \pi] [/mm] sei [mm] \gamma [/mm] (t) = [mm] e^{it} [/mm] .
Berechnen Sie
[mm] \integral_{\gamma}^{}{ \bruch{e^{z}}{z^{5}} dx}
[/mm]
2. Für t [mm] \in [0,2\pi] [/mm] sei μ(t) = [mm] 4e^{it} [/mm] . Berechnen Sie
[mm] \integral_{\mu}^{}{ \bruch{1}{sin(z)} dx}
[/mm]
Hinweis: z/sin( z) lässt sich in 0 zu einer holomorphen Funktion fortsetzen. |
Hi,
Ich bräuchte zu dieser Aufgabe einen allgemeinen Tipp wie ich da heran zu gehen habe.
Cauchy Integralformel funktioniert bei beiden nicht und macht auch keinen Sinn.
Über normale Integrationswege kommt man da auch nicht weiter. Das einzige was mir dann noch einfällt wäre Residuum. Hilft auch nicht.
Ich denke es bei dem zweiten muss mit dem Hebbarkeitssatz von Riemann zu tun haben, also dass ich die Singularitäten durch Erweiterung weg mache.bin auch gerade dabei das zu versuchen. Aber bei der ersten weiß ich einfach nicht über welchen weg es gehn soll.
Hoffe mir kann jemand einen Tipp geben.
Jaquy
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:58 Mi 14.05.2008 | | Autor: | fred97 |
Zu 1. :
dieses integral lässt sich ganz einfach mit den Cauchyschen Integralformeln für Ableitungen berechnen !
Zu2. :
das lässt sich mit dem Residuensatz erledigen
Gruß Fred
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Hi Fred,
Danke schon mal für die schnelle Antwort.
Also bei der ersten stand ich auf dem Schlauch. Hab die 1 Cauchy Formel versuch und nciht die mit den weiteren Ableitungen. Klappt jetzt danke schön.
Bei der 2 bin ich mir nicht so sicher:
Die Singularität hat die Funktion bei [mm] z=k\pi [/mm] +i0. Aber nur z=0 liegt im Innengebiet der Kurve [mm] \mu. [/mm] Richtig soweit?? Res(0)=1 ??
Daraus folgt mit dem Satz dass das Integral = [mm] 2\pi [/mm] i *1. So einfach kann das doch nicht sein oder?? Die Antwort ist dann einfach [mm] 2\pi [/mm] i. Das kann ich ja kaum glauben.
Falls jemand den Fehler findet(falls einer da ist), bitte melden:)
Jaquy
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:59 Mi 14.05.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo Jaquy!
> Bei der 2 bin ich mir nicht so sicher:
> Die Singularität hat die Funktion bei [mm]z=k\pi[/mm] +i0. Aber nur
> z=0 liegt im Innengebiet der Kurve [mm]\mu.[/mm] Richtig soweit??
Hmm, die Kurve ist doch der Kreis um 0 mit Radius 4. Da liegen auch noch [mm] $\pm\pi$ [/mm] drin.
> Res(0)=1 ??
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Daraus folgt mit dem Satz dass das Integral = [mm]2\pi[/mm] i *1.
> So einfach kann das doch nicht sein oder?? Die Antwort ist
> dann einfach [mm]2\pi[/mm] i. Das kann ich ja kaum glauben.
> Falls jemand den Fehler findet(falls einer da ist), bitte
> melden:)
Übrigens geht's auch ohne Residuensatz, mit dem angegebenen Hinweis: Zunächst ist
[mm] \integral_\mu \bruch{1}{\sin z} dz = \integral_\mu \bruch{z}{\sin z} \bruch{1}{z} dz [/mm]
Die Funktion [mm] f(z)=\bruch{z}{\sin z}[/mm] ist holomorph im Inneren eines Kreises um den Nullpunkt mit Radius [mm] $\pi$, [/mm] außer im Nullpunkt, lässt sich dort mit $f(0)=1$ zu einer holomorphen Funktion fortsetzen.
Für jeden Integrationsweg, der innerhalb dieses Kreises liegt und einmal um den Nullpunkt geht, ergibt sich mit der Cauchyschen Integralformel [mm] $2\pi [/mm] i f(0) = [mm] 2\pi [/mm] i$.
Das gleiche Argument lässt sich für die beiden anderen Nullstellen des Sinus anwenden.
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:04 Fr 16.05.2008 | | Autor: | verkackt |
Hallo Rainer und alle andere
ich beschäftige mich auch mit der selben Aufgabe.Teil 1 hab ich schon gemacht.Hab den zweiten Teil auch mit dem Hinweis gemacht.Meine Frage ist jetzt, ob ich für alle einzelne Singularitätsstellen das Integral einzeln lösen soll?!Oder soll ich wie bei Residuensatz die Ergebnisse addieren, weil sie alle drei im Inneren des Kreises liegen.Und ob ich meine Fortsetzun so schreiben darf:
[mm] f^*(z)=\begin{cases} \bruch{z}{sinz} , & \mbox{für } z\not=\pi ,-\pi, 0 \\ \limes_{z\rightarrow\ \pi ,-\pi, 0} f(z)=1 , & \mbox{für } z=\pi ,-\pi, 0 \end{cases}
[/mm]
Oder soll ich die Fortsetzung auch getrennt schreiben?!
Ich wäre sehr dankbar für jede Antwort.
Lg.V.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:11 Fr 16.05.2008 | | Autor: | fred97 |
Wie kommst Du drauf, dass z/sin(z) für z-->pi(-pi) den Grenzwert 1 hat ?
Das ist Unfug
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:11 Fr 16.05.2008 | | Autor: | verkackt |
Ohhhhhhhhhhh, stimmt.Hab schnell getippt und nicht nachgedacht.Es läuft für [mm] \pi [/mm] und [mm] -\pi [/mm] gegen unendlich (und minus unendlich).
Also muss man für jede Singularitätsstelle innerhalb von [mm] 4e^{it} [/mm] einzeln das Integral betrachten!!!!
Und da [mm] \integral_{\gamma}^{}{\bruch{f(w)}{w-z} dw}=2\pi [/mm] i*f(z), wobei z eine Singularitätsstelle, gilt für [mm] \pi [/mm] : [mm] \integral_{\gamma}^{}{\bruch{f(w)}{w-z} dw}= 2\pi i*\infty =\infty [/mm] ??????????
Hilfe!!!!!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:53 Fr 16.05.2008 | | Autor: | fred97 |
Warum verwendest Du denn nicht den Residuensatz ?
Welche isolierten Singularitäten liegen innerhalb des Kreises um 0 mit Radius 4 ?
Wie groß sind in diesen Punkten die Residuen ?
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:48 Sa 17.05.2008 | | Autor: | verkackt |
Hallo Fred,
ich weiß, dass es auch mit dem Residuensatz geht.Ich würd aber trotzdem gern wissen, wie man hier vorgehen soll, wenn man eine Funktion mit mehreren Singularitätsstellen fortsetzen möchte.
Ich wäre sehr dankbar, wenn einer mich aufklären würde.
Lg. v.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:11 Sa 17.05.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Hallo Fred,
> ich weiß, dass es auch mit dem Residuensatz geht.Ich würd
> aber trotzdem gern wissen, wie man hier vorgehen soll, wenn
> man eine Funktion mit mehreren Singularitätsstellen
> fortsetzen möchte.
Mit der Fortsetzung einer Funktion an mehreren Stellen hat das wenig zu tun. Hier geht es um die Addition von Integrationswegen.
Der ursprüngliche Integrationsweg, ein Kreis vom Radius 4 um den Nullpunkt, schließt drei Pole ein. Das kannst du schreiben als Summe dreier Integrale, von denen jedes entlang eines kleinen Kreises um die einzelnen Pole berechnet wird. Deswegen steht im Residuensatz die Summe der Residuen.
Das liegt daran, dass geschlossene Kurvenintegrale holomorpher Funktionen immer 0 sind, und Integrale über Summen von Kurven als Summen der Teilintegrale geschrieben werden können.
Daher kannst du kannst den großen Integrationsweg um alle Pole in drei Teile zerlegen, die jeweils nur einen Pole umlaufen.
Viele Grüße
Rainer
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:42 So 18.05.2008 | | Autor: | verkackt |
Ich danke dir, endlich hab ich verstanden, was die Sache ist. Danke danke.
Lg. v.
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Singularitäten die in dem Bereich liegen sind [mm] \pm\pi [/mm] und 0.
Doch wie kann ich hierzu die Residuen ausrechnen?
Vielen Dank im Vorraus für jegliche Antworten.
lg
RedSunset
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:35 Di 12.08.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
Erstmal herzlich ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
Es wäre besser, wenn du für diese Frage eine neue Diskussion aufgemacht hättest -> Forenregel.
> Singularitäten die in dem Bereich liegen sind [mm]\pm\pi[/mm] und
> 0.
>
> Doch wie kann ich hierzu die Residuen ausrechnen?
Das sind ja Pole erster Ordnung, da ergibt sich das Residuum einfach durch Multiplikation und Grenzwertbildung:
[mm] \mathop{\mathrm{Res}}\limits_{z_0} f(z) = \lim_{z\to z_0} ((z-z_0) f(z)) [/mm]
Also zum Beispiel das Residuum von [mm] $\bruch{1}{\sin z}$ [/mm] im Punkt [mm] $\pi$:
[/mm]
[mm] \mathop{\mathrm{Res}}\limits_{\pi} \bruch{1}{\sin z} = \lim_{z\to \pi} \bruch{z-\pi}{\sin z} [/mm].
Das kannst du entweder mit l'Hospital oder durch Verschiebung um [mm] \pi [/mm] ausrechnen. Mit [mm] $u=z-\pi$ [/mm] ist
[mm] \mathop{\mathrm{Res}}\limits_{\pi} \bruch{1}{\sin z} = \lim_{u\to 0} \bruch{u}{\sin(u+\pi)} = \lim_{u\to 0} \bruch{u}{-\sin u} = -1 [/mm]
Bei Polen n-ter Ordnung kann man das Residuum zum Beispiel nach folgender Formel berechnen:
[mm] \mathop{\mathrm{Res}}\limits_{z_0} f(z) = \bruch{1}{(n-1)!} \lim_{z\to z_0} \bruch{d^{n-1}}{dz^{n-1}} ((z-z_0)^n f(z)) [/mm]
Viele Grüße
Rainer
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:32 Do 14.08.2008 | | Autor: | RedSunset |
Hallo Rainer,
Vielen Dank für deine Antwort!
mit besten Grüßen,
RedSunset
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 10:05 Sa 17.05.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Ohhhhhhhhhhh, stimmt.Hab schnell getippt und nicht
> nachgedacht.Es läuft für [mm]\pi[/mm] und [mm]-\pi[/mm] gegen unendlich (und
> minus unendlich).
> Also muss man für jede Singularitätsstelle innerhalb von
> [mm]4e^{it}[/mm] einzeln das Integral betrachten!!!!
> Und da [mm]\integral_{\gamma}^{}{\bruch{f(w)}{w-z} dw}=2\pi[/mm]
> i*f(z), wobei z eine Singularitätsstelle, gilt für [mm]\pi[/mm] :
> [mm]\integral_{\gamma}^{}{\bruch{f(w)}{w-z} dw}= 2\pi i*\infty =\infty[/mm]
> ??????????
Das ist Unsinn, du musst natürlich jedesmal die passende Funktion wählen. Zunächst einmal betrachtest du einen Weg, der nur den Pol enthält, also zum Beispiel [mm]\gamma_\pi = \pi + e^{it} [/mm]. Dann ist mit
[mm] f(z) = \bruch{z-\pi}{\sin z} [/mm]
[mm]\integral_{\gamma_\pi}^{}{\bruch{1}{\sin z} dz = \integral_{\gamma_\pi} \bruch{f(z)}{z-\pi} dz = 2\pi i f(\pi) = -2\pi i[/mm].
Viele Grüße
Rainer
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:19 Sa 17.05.2008 | | Autor: | Jazz2 |
Hallo Liebe Freunde der Mathematik. :)
Ich habe mich nun auch hier angemeldet, da ich sehe wie schnell die Aufgaben aus den Übungen im Forum stehen und wie noch schneller die Lösungen parat stehen.
Nungut:
Ich lese aus den Kommentaren die Frage nach dem Grenzwert heraus, wenn ich z gegen -Pi bzw Pi laufen lasse.
Wie Rainer schon schrieb, habe ich die geeignete Fkt. bzgl. des jeweiligen Grenzwertes gewählt, den Hebbarkeitssatz von Riemann und die Integralformel von Cauchy verwendet.
Zum berechnen des Grenzwertes habe ich die Funktion f(w)=(w-Pi)/sin(w) für w -> Pi bzw. f(w)=(w+Pi)/sin(w) für w -> -Pi betrachtet und dabei den Entwicklungspunkt Pi bzw -Pi gewählt.
(Taylorreihe)
Was dann eine Umkehr des Vorzeichens ergibt und damit ist f(Pi)=f(-Pi)=-1 .
Ich hoffe, dass das so richtig ist und ich bei meinem ersten Eintrag keinen Unfug schreibe. :)
Ciao
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