Berechnungen im Parallelogramm < Klassen 8-10 < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:05 Di 29.04.2008 | | Autor: | Elefant |
| Aufgabe | | In einem Parallogramm sind die Diagonalen e=10,7 cm, f =6,9 cm, sowie der Winkel alpha=56,1 Grad gegeben. Berechne AB und BC. |
Komme hier nicht weiter... Hab schon versucht zu konstruieren, mit Kosinussatz und Sinussatz gerechnet, aber nichts tut sich. Hilfe!
|
|
| |
|
Hallo, nennen wir den Schnittpunkt der Diagonalen M, betrachte die Dreiecke AMD und ABM. der Winkel [mm] \alpha [/mm] wird geteilt in [mm] \alpha_1 [/mm] im Dreieck ABM und [mm] \alpha_2 [/mm] im Dreieck AMD, es gilt
[mm] \alpha_1 [/mm] + [mm] \alpha_2 [/mm] = [mm] 56,1^{0}
[/mm]
im Dreieck AMD
[mm] (\bruch{6,9}{2})^{2}=\overline{AD}^{2}+(\bruch{10,7}{2})^{2}-2*\overline{AD}*\bruch{10,7}{2}*cos(\alpha_2)
[/mm]
im Dreieck ABM
[mm] (\bruch{6,9}{2})^{2}= [/mm] ...
du erhälst drei Gleichungen mit drei Unbekannten
Steffi
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:03 Di 29.04.2008 | | Autor: | Elefant |
Hi Steffi21,
das sind zwar 3 Gleichungen mit drei Unbekannten, aber wenn ich die 2. und 3. Gleichung auflöse, dann erhalte ich [mm] 0=a^2 [/mm] - 10,7a*cos [mm] \alpha [/mm] + 16,72 und 0= [mm] d^2 [/mm] - 10,7d*cos [mm] \alpha [/mm] + 16,72.
Und komme ich jetzt weiter? Bitte um Hilfe......
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:14 Di 29.04.2008 | | Autor: | Elefant |
| Aufgabe | | Sorry, das sollte keine Mitteilung, sondern eine Frage sein: |
Wie löse ich das Gleichungssystem, welches in obiger Mitteilung geschrieben?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:03 Di 29.04.2008 | | Autor: | Steffi21 |
Hallo, sorry, ich konnte heute früh nicht zählen, vier Unbekannte, als 4. Gleichung das Parallelogrammgesetz: [mm] 6,9^{2}+10,7^{2}=2(\overline{AD}^{2}+\overline{AB}^{2})
[/mm]
ich werde jetzt noch einmal nachdenken,
Steffi
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:50 Mi 30.04.2008 | | Autor: | koepper |
Hallo,
stelle zwei mal den Cos-Satz auf für die beiden Dreiecke mit e und f und subtrahiere die Gleichungen.
Löse diese Differenz dann nach b auf und setze den Ausdruck in eine der beiden Ausgangsgleichungen ein.
Nach Multiplikation mit [mm] $a^2$ [/mm] ergibt sich eine biquadratische Gleichung, die nach Substitution [mm] $z=a^2$ [/mm] leicht nach a aufzulösen ist.
LG
Will
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:03 Mi 30.04.2008 | | Autor: | Elefant |
Hallo, also gleichen wir zunächst mal die 3 Gleichungen ab:
I [mm] \alpha1 [/mm] + [mm] \alpha2 [/mm] = 56,1°
II 0= [mm] a^2 [/mm] - [mm] 10,7a*cos\alpha1 [/mm] + 16,72
III 0= [mm] b^2 [/mm] - [mm] 10,7b*cos\alpha2 [/mm] + 16,72
wenn ich jetzt II-III rechne erhalte ich: [mm] 0=a^2 [/mm] - [mm] b^2 [/mm] - [mm] 10,7a*cos\alpha1 [/mm] + [mm] 10,7b*cos\alpha2 [/mm] falls das so richtig ist, wie soll ich dann nach b auflösen, die Gleichung enthält doch wieder b.
Mit der neuen Gleichung von Steffi habe ich es noch nicht versucht.
Hat i-jemand eine Idee, wie man das Para konstruiern könnte. Ich habe mir nämlich überlegt, dass man eine Seite eventuell frei wählen kann.
Lg Elefant
|
|
|
| |
|
Hallo,
die Lösung von Koepper funktioniert doch.
[mm] $\alpha [/mm] = 56,1°$ ; [mm] $\delta [/mm] = 123,9°$
I [mm] $f^2=a^2+d^2-2*a*d*cos(\alpha)$
[/mm]
II [mm] $e^2=a^2+d^2-2*a*d*cos(\delta)$
[/mm]
I-II [mm] $f^2-e^2=2*a*d*(cos(\delta)-cos(\alpha))$
[/mm]
$d = [mm] \bruch{f^2-e^2}{2a*(cos(\delta)-cos(\alpha))}$
[/mm]
Nun einsetzen, z. B in II
[mm] $e^2=a^2+\left(\bruch{f^2-e^2}{2a*(cos(\delta)-cos(\alpha))}\right)^2-2*a*\bruch{(f^2-e^2)*cos(\delta)}{2a*(cos(\delta)-cos(\alpha))}$
[/mm]
[mm] $0=a^2+\left(\bruch{f^2-e^2}{2a*(cos(\delta)-cos(\alpha))}\right)^2-\bruch{(f^2-e^2)*cos(\delta)}{(cos(\delta)-cos(\alpha))}-e^2$
[/mm]
[mm] $0=a^4+\left(\bruch{f^2-e^2}{2(cos(\delta)-cos(\alpha))}\right)^2-\left(\bruch{(f^2-e^2)*cos(\delta)}{(cos(\delta)-cos(\alpha))}-e^2\right)*a^2$
[/mm]
Nun [mm] z=a^2 [/mm] :
[mm] $0=z^2-\left(\bruch{(f^2-e^2)*cos(\delta)}{(cos(\delta)-cos(\alpha))}-e^2\right)*z+\left(\bruch{f^2-e^2}{2(cos(\delta)-cos(\alpha))}\right)^2$
[/mm]
Diese quadratische Gleichung lösen und dann z resubstituieren.
LG, Martinius
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:14 Mi 30.04.2008 | | Autor: | Elefant |
Hi,
ja, sieht gut aus. Ich bin bei meinen Gleichungen von Steffis Ansatz ausgegangen und habe keine neuen Gleichungen mit den beiden Dreiecken [mm] \alpha [/mm] und [mm] \beta [/mm] aufgestellt. Jetzt fallen auch die Parameter weg und es lässt sich einsetzen. Werde es dann mal durchrechnen und mich wieder melden. Bis dahin erstmal vielen Danke an alle.
Lg und schönen 1.Mai Elefant
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:44 Mi 30.04.2008 | | Autor: | weduwe |
das geht deutlich einfacher mit dem COSINUSSATZ
mit [mm]cos(180-\alpha)=-cos\alpha[/mm]
(I) [mm] f^2=a^2+b^2-2ab\cdot cos\alpha
[/mm]
(II) [mm] e^2=a^2+b^2+2ab\cdot cos\alpha
[/mm]
damit hast du
(1) [mm] a^2+b^2=\frac{e^2+f^2}{2}
[/mm]
(2) [mm] 2ab=\frac{e^2-f^2}{2\cdot cos\alpha}
[/mm]
und daraus
[mm](a+b)^2=\frac{e^2+f^2}{2}+\frac{e^2-f^2}{2\cdot cos\alpha}[/mm]
[mm](a-b)^2=\frac{e^2+f^2}{2}-\frac{e^2-f^2}{2\cdot cos\alpha}[/mm]
woraus sich a und b leicht durch wurzelziehen und addition bzw. subtraktion berechnen lassen zu
[mm]a=8,233717527...[/mm] und [mm]b=3,64086469...[/mm]
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:17 Mi 30.04.2008 | | Autor: | Martinius |
Hallo weduwede,
> das geht deutlich einfacher mit dem COSINUSSATZ
> mit [mm]cos(180-\alpha)=-cos\alpha[/mm]
>
> (I) [mm]f^2=a^2+b^2-2ab\cdot cos\alpha[/mm]
> (II)
> [mm]e^2=a^2+b^2+2ab\cdot cos\alpha[/mm]
>
> damit hast du
>
> (1) [mm]a^2+b^2=\frac{e^2+f^2}{2}[/mm]
>
> (2) [mm]2ab=\frac{e^2+f^2}{2\cdot cos\alpha}[/mm]
>
> und daraus
>
> [mm](a+b)^2=\frac{e^2+f^2}{2}+\frac{e^2+f^2}{2\cdot cos\alpha}[/mm]
>
> [mm](a-b)^2=\frac{e^2+f^2}{2}-\frac{e^2+f^2}{2\cdot cos\alpha}[/mm]
>
> woraus sich a und b leicht durch wurzelziehen und addition
> bzw. subtraktion berechnen lassen zu
>
> [mm]a=8,233717527...[/mm] und [mm]b=3,64086469...[/mm]
Das Ergebnis ist richtig; aber dir ist wahrscheinlich ein Tippfehler unterlaufen:
(2) [mm]2ab=\frac{e^2-f^2}{2\cdot cos\alpha}[/mm]
LG, Martinius
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:53 Mi 30.04.2008 | | Autor: | weduwe |
offensichtlich, trotzdem danke.
ich werde es oben korrigieren
|
|
|
|
