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Forum "Lineare Algebra - Moduln und Vektorräume" - Berechnungen zu Ebenen
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Berechnungen zu Ebenen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:59 Fr 20.03.2009
Autor: jennynoobie

Aufgabe
E: [mm] \vec{x}=(-1,0,1) [/mm] + r(1,2,-1) + s(-2,-1,-1)
g: [mm] \vec{y}=(-4,3,2) [/mm] + r(-1,4,-5)

a) Berechnen Sie die Normalenform von E.
b) Zeigen Sie, dass g parallel zu E verläuft.

a) Hierbei muss zunächst einmal der Richtungsvektor bestimmt werden:

[mm] \vec{b}X\vec{c}= [/mm] (1,2,-1)x(-2,-1,-1)=(-3,3,3)
Hier fehlt mir jedoch noch [mm] \vec{n}, [/mm] zur Berechnung der Normalenform. Kann mir jemand sagen, wie ich aus dem Richtungsvektor [mm] \vec{n} [/mm] bestimmen kann?

b) Orthogonalität besteht, wenn das Produkt beider Richtungsvektoren 0 ergibt (Satz des Thales):

(-1,4,-5)*(-3,3,3)=0 //somit kann Orthogonalität bestätigt werden.


Bei b bin ich mir sicher, dass das richtig sein muss. Bei a weiß ich allerdings nicht mehr weiter und es wäre nett, wenn jemand helfen könnte :-)

        
Bezug
Berechnungen zu Ebenen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:31 Fr 20.03.2009
Autor: MathePower

Hallo jennynoobie,

> E: [mm]\vec{x}=(-1,0,1)[/mm] + r(1,2,-1) + s(-2,-1,-1)
>  g: [mm]\vec{y}=(-4,3,2)[/mm] + r(-1,4,-5)
>  
> a) Berechnen Sie die Normalenform von E.
>  b) Zeigen Sie, dass g parallel zu E verläuft.

>  a) Hierbei muss zunächst einmal der Richtungsvektor
> bestimmt werden:
>  
> [mm]\vec{b}X\vec{c}=[/mm] (1,2,-1)x(-2,-1,-1)=(-3,3,3)
>  Hier fehlt mir jedoch noch [mm]\vec{n},[/mm] zur Berechnung der
> Normalenform. Kann mir jemand sagen, wie ich aus dem
> Richtungsvektor [mm]\vec{n}[/mm] bestimmen kann?



[mm]\vec{n}=\vec{b}X\vec{c}[/mm] ist schon der "Richtungsvektor" der Ebene.


>  
> b) Orthogonalität besteht, wenn das Produkt beider
> Richtungsvektoren 0 ergibt (Satz des Thales):
>  
> (-1,4,-5)*(-3,3,3)=0 //somit kann Orthogonalität bestätigt
> werden.
>  


Hier in diesem Fall muß der Richtungsvektor der Geraden senkrecht auf dem Normalenvektor [mm]\vec{n}[/mm] der Ebene sein.

Die Orthogonalität kannst Du hier in diesem Fall auch anders bestätigen.

Es muss nämlich

[mm]r(1,2,-1) + s(-2,-1,-1)=(-1,4,-5)[/mm]

lösbar sein.


>
> Bei b bin ich mir sicher, dass das richtig sein muss. Bei a
> weiß ich allerdings nicht mehr weiter und es wäre nett,
> wenn jemand helfen könnte :-)


Gruß
MathePower

Bezug
                
Bezug
Berechnungen zu Ebenen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:37 Fr 20.03.2009
Autor: jennynoobie


> [mm]\vec{n}=\vec{b}X\vec{c}[/mm] ist schon der "Richtungsvektor" der
> Ebene.

Aber ich soll ja die Normalenform angeben. Das ist durch die Angabe des Richtungsvektors nicht getan, oder?

Bezug
                        
Bezug
Berechnungen zu Ebenen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:48 Fr 20.03.2009
Autor: MathePower

Hallo jennynoobie,

> > [mm]\vec{n}=\vec{b}X\vec{c}[/mm] ist schon der "Richtungsvektor" der
> > Ebene.
>  
> Aber ich soll ja die Normalenform angeben. Das ist durch
> die Angabe des Richtungsvektors nicht getan, oder?


Richtig. Dazu benötigst du noch einen Punkt P auf der Ebene.

Dann ist die Normalenform der Ebene gegeben durch

[mm]E:\left(\overrightarrow{x}-\overrightarrow{OP}\right) \* \overrightarrow{n}=0[/mm]


Gruß
MathePower

Bezug
                                
Bezug
Berechnungen zu Ebenen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:01 Fr 20.03.2009
Autor: jennynoobie

Hallo MathePower und danke für die Antwort.

> Richtig. Dazu benötigst du noch einen Punkt P auf der
> Ebene.
>  
> Dann ist die Normalenform der Ebene gegeben durch
>  
> [mm]E:\left(\overrightarrow{x}-\overrightarrow{OP}\right) \* \overrightarrow{n}=0[/mm]

[mm] \vec{n} [/mm] habe ich bereits berechnet und [mm] \vec{x} [/mm] stellt die Ebene dar. Was ist nun unter [mm] \vec{OP} [/mm] zu verstehen?

Bezug
                                        
Bezug
Berechnungen zu Ebenen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:06 Fr 20.03.2009
Autor: MathePower

Hallo jenny_noobie,

> Hallo MathePower und danke für die Antwort.
>  
> > Richtig. Dazu benötigst du noch einen Punkt P auf der
> > Ebene.
>  >  
> > Dann ist die Normalenform der Ebene gegeben durch
>  >  
> > [mm]E:\left(\overrightarrow{x}-\overrightarrow{OP}\right) \* \overrightarrow{n}=0[/mm]
>  
> [mm]\vec{n}[/mm] habe ich bereits berechnet und [mm]\vec{x}[/mm] stellt die
> Ebene dar. Was ist nun unter [mm]\vec{OP}[/mm] zu verstehen?


[mm]\overrightarrow{OP}[/mm] ist der Ortsvektor vom Ursprung zum Punkt P auf der  Ebene.


Gruß
MathePower

Bezug
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