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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:41 Mi 11.06.2008 | | Autor: | rabo |
| Aufgabe | Berechnen Sie das Bereichsintegral [mm] \int_{M} f [/mm] mit
[mm] f(x,y)=\bruch{1}{x(1+x^2+y^2)} [/mm] und [mm]M=\left\{(x,y)\in \IR | 1 \le x^2 +y^2 \le 3, x \ge 0, |y|\le 4\right\} [/mm] |
Ich möchte dieses Integral lösen und hab dafür mittels Polarkoordinaten folgendes dastehen:
[mm]\int_{1}^{3}\int_{-\bruch{\pi}{4}}^{\bruch{\pi}{4}}\bruch{1}{\cos\varphi+r^2}d\varphi dr [/mm].
Und jetzt weiß ich nicht mehr weiter, wie ich das Integral ausrechnen kann. Hat mir da jemand einen Hinweis?
Hab ich das mit den Polarkoordinaten und den Integrationsgrenzen richtig gemacht?
Vielen Dank.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Berechnen Sie das Bereichsintegral [mm]\int_{M} f[/mm] mit
> [mm]f(x,y)=\bruch{1}{x(1+x^2+y^2)}[/mm] und [mm]M=\left\{(x,y)\in \IR | 1 \le x^2 +y^2 \le 3, x \ge 0, |y|\le 4\right\}[/mm]
>
> Ich möchte dieses Integral lösen und hab dafür mittels
> Polarkoordinaten folgendes dastehen:
>
> [mm]\int_{1}^{3}\int_{-\bruch{\pi}{4}}^{\bruch{\pi}{4}}\bruch{1}{\cos\varphi+r^2}d\varphi dr [/mm].
>
> Und jetzt weiß ich nicht mehr weiter, wie ich das Integral
> ausrechnen kann. Hat mir da jemand einen Hinweis?
> Hab ich das mit den Polarkoordinaten und den
> Integrationsgrenzen richtig gemacht?
>
> Vielen Dank.
>
1.) kleine Frage: in der Aufgabe muss es wohl anstatt |y| [mm] \le [/mm] 4 heissen: |y| [mm] \le [/mm] x ??
2.) die Umformung zu Polarkoordinaten habe ich nicht kontrolliert
3.) du willst zuerst über [mm] \varphi [/mm] integrieren, nachher über r
möglicherweise geht es umgekehrt besser ?
LG
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:26 Mi 11.06.2008 | | Autor: | rabo |
ja, du hast recht, es muß [mm]|y|\le x [/mm] heißen, außerdem bekomme ich nach nochmaligem nachprüfen unter dem Bruchstrich beim Integranden [mm]cos\varphi (1+r^2)[/mm]
Die Integrationsreihenfolge ist also egal, wenn ich das richtig verstanden habe?
Aber irgendwie hilft mir das auch nicht so recht weiter.
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> ja, du hast recht, es muß [mm]|y|\le x[/mm] heißen, außerdem bekomme
> ich nach nochmaligem nachprüfen unter dem Bruchstrich beim
> Integranden [mm]cos\varphi (1+r^2)[/mm]
>
> Die Integrationsreihenfolge ist also egal, wenn ich das
> richtig verstanden habe?
>
> Aber irgendwie hilft mir das auch nicht so recht weiter.
Ich habe die Transformation jetzt auch angeschaut,
und die Änderung macht das Integral jetzt ganz
angenehm. Es lautet ja jetzt:
[mm]\int_{1}^{\wurzel(3)}\int_{\bruch{\pi}{4}}^{\bruch{\pi}{4}}\bruch{1}{\cos\varphi*(1+r^2)}\ d\varphi \ dr [/mm]
Das kann man auch so schreiben:
[mm]\int_{1}^{\wurzel(3)}\bruch{1}{(1+r^2)}\ dr \ *\ \int_{\bruch{\pi}{4}}^{\bruch{\pi}{4}}\bruch{1}{\cos\varphi}\ d\varphi [/mm]
Wir haben also zwei voneinander unabhängige Integrationen...
al-Chw.
P.S.:
oben war vorher noch ein Fehler: die obere Grenze für den
Radius r ist natürlich nicht 3 , sondern [mm] \wurzel{3} [/mm] !
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:06 Mi 11.06.2008 | | Autor: | rabo |
o.k., soweit ist mir das jetzt klar, auch mit der Integrationsgrenze, danke.
Die Integration nach r krieg ich hin, da bekomme ich dann
[mm] arctan\sqrt{3} - arctan1 [/mm]
Für die Integration nach [mm]\varphi[/mm] hab ich aber keine Idee. Wie kann man das integrieren?
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> o.k., soweit ist mir das jetzt klar, auch mit der
> Integrationsgrenze, danke.
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> Die Integration nach r krieg ich hin, da bekomme ich dann
> [mm]arctan(\sqrt{3}) - arctan(1)[/mm]
>
> Für die Integration nach [mm]\varphi[/mm] hab ich aber keine Idee.
> Wie kann man das integrieren?
ich hab's mir mal leicht gemacht: der CAS-Rechner sagt:
[mm] \integral{\bruch{1}{cos x}\ dx}=ln \left(\bruch{|cos x|}{|sin x - 1|}\right)
[/mm]
Jetzt könnte man sich überlegen, wie dies wohl durch
handwerksmässiges Integrieren zustande kommen
könnte...
... oder wenigstens das Resultat durch Ableiten bestätigen.
und übrigens: [mm] arctan(\wurzel{3})=60°=\bruch{\pi}{3}; arctan(1)=45°=\bruch{\pi}{4} [/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:52 Mi 11.06.2008 | | Autor: | rabo |
Danke, Du hast mir sehr geholfen.
Für das zweite Integral hab ich jetzt noch versucht, die Subsitution t=tanx/2 zu verwenden, als Zahlenwert hab ich damit für das Endergebnis ln2*pi/12 heraus. Das kommt mit Deiner Formel auch raus. Danke nochmals.
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