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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:11 Di 17.06.2008 | | Autor: | rabo |
| Aufgabe | Berechnen Sie
[mm]\int_{}^{} \int_{M}^{} \bruch{dxdy}{\wurzel{(x^2+y^2)(1-x^2-y^2)} [/mm] und [mm]M=(x,y)^T|x,y\ge 0, \bruch{1}{4}\le x^2+y^2\le \bruch{3}{4}[/mm] |
Mit [mm] x=rcos\varphi, y=rsin\varphi[/mm] habe ich dann:
[mm]\int_{\bruch{1}{2}}^{\bruch{\wurzel{3}}{2}} \int_{0}^{\bruch{\pi}{2}} \bruch{rdrd\varphi}{\wurzel{(r^2cos^2\varphi+r^2sin^2\varphi)(1-r^2cos^2\varphi-r^2sin^2\varphi)} [/mm]
[mm]=\int_{\bruch{1}{2}}^{\bruch{\wurzel{3}}{2}} \int_{0}^{\bruch{\pi}{2}} \bruch{drd\varphi}{\wurzel{(1-r^2cos2\varphi}[/mm]
Hat mir jemand einen Tipp, wie ich das integriert bekomme? Mich stört unter der Wurzel vor allem [mm]cos2\varphi[/mm], denn ohne den wäre die Wurzel ja der [mm]arcsinr[/mm]. Oder hab ich irgendwo einen Fehler drin, den ich übersehen habe?
Vielen Dank für Eure Hilfe!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:16 Di 17.06.2008 | | Autor: | fred97 |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Das
$ =\int_{\bruch{1}{2}}^{\bruch{\wurzel{3}}{2}} \int_{0}^{\bruch{\pi}{2}} \bruch{drd\varphi}{\wurzel{(1-r^2cos2\varphi} $
ist falsch ! Der Cosinus muß weg, wo kommt der eigentlich her ????
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:26 Di 17.06.2008 | | Autor: | rabo |
> Das
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> [mm]=\int_{\bruch{1}{2}}^{\bruch{\wurzel{3}}{2}} \int_{0}^{\bruch{\pi}{2}} \bruch{drd\varphi}{\wurzel{(1-r^2cos2\varphi}[/mm]
>
> ist falsch ! Der Cosinus muß weg, wo kommt der eigentlich
> her ????
>
> FRED
[mm](1-x^2-y^2)=(1-r^2cos^2\varphi-r^2sin^2\varphi)=1-r^2(cos^2\varphi-sin^2\varphi)=1-(r^2(cos2\varphi)[/mm]
Ich seh leider keinen Fehler.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:34 Di 17.06.2008 | | Autor: | fred97 |
Ich schon:
$ [mm] (1-x^2-y^2)=(1-r^2cos^2\varphi-r^2sin^2\varphi)=1-r^2(cos^2\varphi-sin^2\varphi)=1-(r^2(cos2\varphi) [/mm] $
Vor dem letzten "="- Zeichen muß es sin² ind nicht -sin² heißen !
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:56 Di 17.06.2008 | | Autor: | rabo |
Danke, ich war blind!
Als Ergebnis hab ich für das Integral nun [mm]\bruch{\pi}{3}[/mm].
Würde mich freuen, wenn jemand das mal kurz nachprüfen könnte.
Danke.
Gruß
rabo
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> Als Ergebnis hab ich für das Integral nun [mm]\bruch{\pi}{3}[/mm].
hallo rabo
ich bekomme etwas ganz anderes: [mm]\bruch{\pi^2}{12}[/mm]
(in der Integration über r gibt es doch einen arcsin !)
lg
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:22 Di 17.06.2008 | | Autor: | rabo |
>
> > Als Ergebnis hab ich für das Integral nun [mm]\bruch{\pi}{3}[/mm].
>
>
> hallo rabo
>
>
> ich bekomme etwas ganz anderes: [mm]\bruch{\pi^2}{12}[/mm]
>
> (in der Integration über r gibt es doch einen arcsin !)
>
> lg
Sorry, was ist nur heute mit mir los.
Ich hab [mm][\bruch{\pi}{2}-\bruch{\pi}{6}[/mm] anstatt mal gerechnet. Jetzt hab ich auch [mm]\bruch{\pi^2}{12}[/mm].
Ich muß unbedingt mal ne Pause machen. Solche blöden Fehler machen mir nur unnötig das Leben schwer.
Danke fürs nachrechnen.
Gruß
rabo
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> Berechnen Sie
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> [mm]\int_{}^{} \int_{M}^{} \bruch{dxdy}{\wurzel{(x^2+y^2)(1-x^2-y^2)}[/mm]
> und [mm]M=(x,y)^T|x,y\ge 0, \bruch{1}{4}\le x^2+y^2\le \bruch{3}{4}[/mm]
>
> Mit [mm]x=rcos\varphi, y=rsin\varphi[/mm] habe ich dann:
>
> [mm]\int_{\bruch{1}{2}}^{\bruch{\wurzel{3}}{2}} \int_{0}^{\bruch{\pi}{2}} \bruch{rdrd\varphi}{\wurzel{(r^2cos^2\varphi+r^2sin^2\varphi)(1-r^2cos^2\varphi-r^2sin^2\varphi)}[/mm]
Polarkoordinaten: das ist schon mal eine gute Idee.
Beachte einfach, dass [mm] sin^2 \varphi+cos^2 \varphi=1 [/mm] bzw. [mm] x^2+y^2=r^2.
[/mm]
Und mach dir klar, welche Integrationsgrenzen für welche
Variable gelten... eigentlich solltest du [mm] d\varphi [/mm] dr schreiben
anstatt dr [mm] d\varphi. [/mm] Oder noch besser so:
[mm]\int_{\bruch{1}{2}}^{\bruch{\wurzel{3}}{2}} dr \int_{0}^{\bruch{\pi}{2}} {f(r,\varphi))*r*d\varphi}[/mm]
Aber das nur nebenbei.
LG
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:11 Di 17.06.2008 | | Autor: | rabo |
> > Berechnen Sie
> >
> > [mm]\int_{}^{} \int_{M}^{} \bruch{dxdy}{\wurzel{(x^2+y^2)(1-x^2-y^2)}[/mm]
> > und [mm]M=(x,y)^T|x,y\ge 0, \bruch{1}{4}\le x^2+y^2\le \bruch{3}{4}[/mm]
>
> >
> > Mit [mm]x=rcos\varphi, y=rsin\varphi[/mm] habe ich dann:
> >
> > [mm]\int_{\bruch{1}{2}}^{\bruch{\wurzel{3}}{2}} \int_{0}^{\bruch{\pi}{2}} \bruch{rdrd\varphi}{\wurzel{(r^2cos^2\varphi+r^2sin^2\varphi)(1-r^2cos^2\varphi-r^2sin^2\varphi)}[/mm]
>
> Polarkoordinaten: das ist schon mal eine gute Idee.
> Beachte einfach, dass [mm]sin^2 \varphi+cos^2 \varphi=1[/mm] bzw.
> [mm]x^2+y^2=r^2.[/mm]
> Und mach dir klar, welche Integrationsgrenzen für welche
> Variable gelten... eigentlich solltest du [mm]d\varphi[/mm] dr
> schreiben
> anstatt dr [mm]d\varphi.[/mm] Oder noch besser so:
>
> [mm]\int_{\bruch{1}{2}}^{\bruch{\wurzel{3}}{2}} dr \int_{0}^{\bruch{\pi}{2}} {f(r,\varphi))*r*d\varphi}[/mm]
>
> Aber das nur nebenbei.
>
> LG
>
Ja, stimmt, ich habe die Integrationsgrenzen vertauscht. Danke für Deinen Hinweis. Wie ich weiter oben auch schon geschrieben habe, hab ich nun meinen Vorzeichenfehler gefunden (ich war ja sowas von blind...). Als Endergebnis sollte nun [mm]\bruch{pi}{3}[/mm] rauskommen, bei Beachtung der Integrationsreihenfolge. Ich habe weiter oben in diesem Thema schon die Frage gestellt, ob dieses Ergebnis richtig ist.
Danke nochmal für Deine Erläuterung, mir wird die Sache langsam immer klarer.
Gruß
rabo
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In diesem Fall ist die Integrationsreihenfolge eigentlich
einerlei, da f nur von r abhängig ist. In anderen Fällen
ist es aber durchaus essentiell, sich die "richtige"
Reihenfolge klar zu machen.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:24 Di 17.06.2008 | | Autor: | rabo |
> In diesem Fall ist die Integrationsreihenfolge eigentlich
> einerlei, da f nur von r abhängig ist. In anderen Fällen
> ist es aber durchaus essentiell, sich die "richtige"
> Reihenfolge klar zu machen.
Ja, aber ich muß doch für den arcsin auch hier die richtigen Grenzen verwenden und kann nicht einfach die anderen einsetzen, oder nicht?
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