Bern. Zahlen < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:57 Fr 05.06.2009 | | Autor: | Fry |
Hallo,
ich hab in der Vorlesung gelesen, dass [mm] B_{p-1} [/mm] + [mm] \bruch{1}{p} [/mm] kein p im Nenner haben soll.
Kann man vielleicht mit dem Satz von Staudt arbeiten?
Sei n gerade. Dann gilt:
[mm] B_n+\summe_{p-1|n, p\in\IP}\bruch{1}{p}\in\IZ
[/mm]
d.h. der Nenner der [mm] B_n [/mm] besteht aus den Primzahlen p mit p-1 teilt n.
Weiß da jemand vielleicht weiter? Vielen Dank!
LG
Fry
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> Hallo,
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> ich hab in der Vorlesung gelesen, dass [mm]B_{p-1}[/mm] +
> [mm]\bruch{1}{p}[/mm] kein p im Nenner haben soll. Da frag ich mich
> doch, warum? Begründung soll der Satz von Staudt-Clausen
> sein, allerdings sagt dieser doch:
>
> Sei n gerade. Dann gilt:
> [mm]B_n+\summe_{p-1|n, p\in\IP}\bruch{1}{p}\in\IZ[/mm]
> d.h. der
> Nenner der [mm]B_n[/mm] besteht aus den Primzahlen p mit p-1 teilt
> n.
>
> Deswegen steht ja im Nenner von [mm]B_{p-1}[/mm] auf jeden Fall p.
> Aber warum dann nicht mehr im Nenner von
> [mm]B_{p-1}+\bruch{1}{p}[/mm]
>
> Weiß da jemand vielleicht weiter? Vielen Dank!
> LG
> Fry
Hallo Fry,
ich habe mir nur mal die ersten paar Bernoulli-Zahlen
angeschaut. Mit p=2, also p-1=1, hat man zum Beispiel
$\ [mm] B_{p-1}\,+\,\bruch{1}{p}\,=\,B_1\,+\,\bruch{1}{2}\,=\,\bruch{1}{6}\,+\,\bruch{1}{2}\,=\,\bruch{4}{6}=\,\bruch{2}{3}$
[/mm]
Der Faktor p=2 hat sich herausgekürzt, deshalb stimmt
die Behauptung in diesem Fall.
Mit p=3 kommt man jedoch auf
$\ [mm] B_{p-1}\,+\,\bruch{1}{p}\,=\,B_2\,+\,\bruch{1}{3}\,=\,\bruch{1}{30}\,+\,\bruch{1}{3}\,=\,\bruch{11}{30} [/mm] $
Da sich die 3 nicht etwa herauskürzt, bleibt p also in
diesem Fall ein Primfaktor des Nenners. Die Behauptung
gilt also wenigstens in diesem Fall nicht.
LG Al-Chw.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:00 Fr 05.06.2009 | | Autor: | Fry |
Hallo Al-Chwarizmi,
also ich benutze die Def.:
[mm] \bruch{x}{e^x-1}=\summe_{n=0}^{\infty}\bruch{B_n}{n!}*x^n
[/mm]
Dann hat man z.B.
[mm] B_1=-\bruch{1}{2}
[/mm]
[mm] B_2=\bruch{1}{6}
[/mm]
[mm] B_4=-\bruch{1}{30}
[/mm]
[mm] B_6=\bruch{1}{42}
[/mm]
Für p=2,3,5,7 gilt dann zumindest die Behauptung.
Kann man das wohl jetzt auch noch richtig beweisen?
Bzw. was hat der Satz von Staudt damit zu tun, falls man ihn wirklich braucht ?
Wäre echt toll, wenn mir da jemand weiterhelfen könnte.
LG
Fry
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> Hallo Al-Chwarizmi,
>
> also ich benutze die Def.:
> [mm]\bruch{x}{e^x-1}=\summe_{n=0}^{\infty}\bruch{B_n}{n!}*x^n[/mm]
> Dann hat man z.B.
>
> [mm]B_1=-\bruch{1}{2}[/mm]
> [mm]B_2=\bruch{1}{6}[/mm]
> [mm]B_4=-\bruch{1}{30}[/mm]
> [mm]B_6=\bruch{1}{42}[/mm]
>
> Für p=2,3,5,7 gilt dann zumindest die Behauptung.
>
> Kann man das wohl jetzt auch noch richtig beweisen?
> Bzw. was hat der Satz von Staudt damit zu tun, falls man
> ihn wirklich braucht ?
>
> Wäre echt toll, wenn mir da jemand weiterhelfen könnte.
>
> LG
> Fry
Ich habe die Definition bei Wikipedia nachgeschlagen:
![[]](/images/popup.gif) Bernoulli-Zahlen
sehe nun aber dort noch unter der Bezeichnung [mm] \beta_n
[/mm]
die Werte, welche du als [mm] B_n [/mm] bezeichnest.
Aus meiner ersten Antwort kannst du jedoch
wenigstens erkennen, wie es kommen kann,
dass als Summe zweier Brüche, deren beider
Nenner den Faktor p enthalten, eine Summe
entstehen kann, in deren Nenner der Prim-
faktor p nicht mehr vorkommt: nämlich dann,
wenn man nach der Addition der auf gemeinsamen
Nenner gebrachten Summanden den (bzw. alle
noch vorhandenen) Faktoren p kürzen kann.
Der erwähnte Satz von Staudt (***) ist mir noch
nie begegnet - ich müsste das also erst mal
anschauen. Vielleicht zeigt er aber genau, auf
welche Weise man dazu kommt, den Faktor p
zu kürzen.
LG Al-Chw.
(***) Du hast als "Satz von Staudt Clausen" gar
keine Aussage (Gleichung), sondern nur einen
Term angegeben. Würdest du bitte den vollständigen
Satz noch nachliefern ?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:52 Fr 05.06.2009 | | Autor: | Fry |
Hallo !
> Aus meiner ersten Antwort kannst du jedoch
> wenigstens erkennen, wie es kommen kann,
> dass als Summe zweier Brüche, deren beider
> Nenner den Faktor p enthalten, eine Summe
> entstehen kann, in deren Nenner der Prim-
> faktor p nicht mehr vorkommt: nämlich dann,
> wenn man nach der Addition der auf gemeinsamen
> Nenner gebrachten Summanden den (bzw. alle
> noch vorhandenen) Faktoren p kürzen kann.
Jap, das hab ich jetzt auch gemerkt, als ich die Primzahlen eingesetzt habe! : )
>
> (***) Du hast als "Satz von Staudt Clausen" gar
> keine Aussage (Gleichung), sondern nur einen
> Term angegeben. Würdest du bitte den vollständigen
> Satz noch nachliefern ?
Sei n gerade. Dann gilt: $ [mm] B_n+\summe_{p-1|n, p\in\IP}\bruch{1}{p}\in\IZ$ [/mm] (...also eine ganze Zahl)
Wieso ist das keine Aussage ?
schau mal hier, ist genauso:
http://mathworld.wolfram.com/vonStaudt-ClausenTheorem.html
Habe nochmal nachgeschaut, habe da was durcheinander gebracht.
Der Schlussfolgerung wird gar nicht mit dem Satz von Staudt begründet.
Sorry !
VG
Fry
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Hallo Fry,
> > (***) Du hast als "Satz von Staudt Clausen" gar
> > keine Aussage (Gleichung), sondern nur einen
> > Term angegeben. Würdest du bitte den vollständigen
> > Satz noch nachliefern ?
>
> Sei n gerade. Dann gilt: [mm]B_n+\summe_{p-1|n, p\in\IP}\bruch{1}{p}\in\IZ[/mm]
> (...also eine ganze Zahl)
> Wieso ist das keine Aussage ?
weil du hier nur einen Term, aber keine Gleichung angibst
> schau mal hier, ist genauso:
>
> http://mathworld.wolfram.com/vonStaudt-ClausenTheorem.html
Also dort lese ich definitiv etwas ziemlich anderes ...
LG Al-Chw.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:31 Fr 05.06.2009 | | Autor: | Fry |
> > Sei n gerade. Dann gilt: [mm]B_n+\summe_{p-1|n, p\in\IP}\bruch{1}{p}\in\IZ[/mm]
> > (...also eine ganze Zahl)
> > Wieso ist das keine Aussage ?
>
> weil du hier nur einen Term, aber keine Gleichung angibst
Also [mm] "B_n [/mm] + ... ist eine ganze Zahl" ist ja wohl eine Aussage.
Und ob ich nun schreibe [mm] "B_n+\summe_{p-1|n, p\in\IP}\bruch{1}{p}\in\IZ" [/mm] oder "Es existiert ein [mm] m\in\IZ [/mm] mit [mm] B_n+\summe_{p-1|n, p\in\IP}\bruch{1}{p}=m" [/mm] ist ja völlig egal...Letzteres steh auch auf der angegebenen Seite, nur in der Form: [mm] B_n= m-\summe_{p-1|n, p\in\IP}\bruch{1}{p} [/mm] (wobei n gerade ist,s.o.)
Gruß
Fry
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> > > Sei n gerade. Dann gilt: [mm]B_n+\summe_{p-1|n, p\in\IP}\bruch{1}{p}\in\IZ[/mm]
> > > (...also eine ganze Zahl)
> > > Wieso ist das keine Aussage ?
> >
> > weil du hier nur einen Term, aber keine Gleichung angibst
>
> Also [mm]"B_n[/mm] + ... ist eine ganze Zahl" ist ja wohl eine
> Aussage.
> Und ob ich nun schreibe [mm]"B_n+\summe_{p-1|n, p\in\IP}\bruch{1}{p}\in\IZ"[/mm]
> oder "Es existiert ein [mm]m\in\IZ[/mm] mit [mm]B_n+\summe_{p-1|n, p\in\IP}\bruch{1}{p}=m"[/mm]
> ist ja völlig egal...Letzteres steh auch auf der
> angegebenen Seite, nur in der Form: [mm]B_n= m-\summe_{p-1|n, p\in\IP}\bruch{1}{p}[/mm]
> (wobei n gerade ist,s.o.)
>
> Gruß
> Fry
Na gut, möglicherweise war dein Text nicht wirklich
falsch, aber doch ziemlich unleserlich und etwas
verwirrend (insbesondere, weil du das "2n" einfach
durch eine "gerade Zahl n" ersetzt hast, und weil
die wesentliche Aussage (... [mm] \in \IZ) [/mm] nur wie ein
zweitklassiges Anhängsel oder als Klammerbemer-
kung erscheint und nicht als Hauptaussage heraus-
gestellt ist.
Ich pflege und schätze in mathematischen Betrach-
tungen klare und auch typographisch eindeutig er-
kennbare Schreibweisen.
Sollte ich dir trotzdem mit meiner Kritik irgendwie
unrecht getan haben, dann bitte ich um Entschul-
digung.
Gruß Al-Chw.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:16 So 07.06.2009 | | Autor: | Fry |
Hallo,
ich denke, der Satz von Staudt ist trotzdem der Schlüssel zum Erfolg.
Nach dem Satz gilt ja:
[mm] B_{p-1} [/mm] = n - [mm] \summe_{(q-1)|(p-1),q\in\IP}^{}\bruch{1}{q} [/mm]
(mit [mm] n\in\IZ), [/mm] wobei auch logischerweise in der Summe auch der Term 1/p auftaucht. Addiere ich nun auf beiden Seiten 1/p, so steht auf der rechten Seite eine rationale Zahl, in dessen Nenner kein p auftaucht, oder?
Gruß
Fry
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werd's mir nochmal anschauen, aber nicht mehr heute Nacht ...
LG Al
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Hallo Fry,
> Hallo,
>
> ich denke, der Satz von Staudt ist trotzdem der Schlüssel
> zum Erfolg.
Das dachte ich mir schon, als du sagtest, du hättest dich
darin geirrt ...
> Nach dem Satz gilt ja:
>
> [mm]B_{p-1}[/mm] = n - [mm]\summe_{(q-1)|(p-1),q\in\IP}^{}\bruch{1}{q}[/mm]
>
> (mit [mm]n\in\IZ),[/mm] wobei auch logischerweise in der Summe auch
> der Term 1/p auftaucht. Addiere ich nun auf beiden Seiten
> 1/p, so steht auf der rechten Seite eine rationale Zahl, in
> dessen Nenner kein p auftaucht, oder?
>
> Gruß
> Fry
Genau richtig. Wenigstens für ungerade Primzahlen
funktioniert diese Überlegung. Den Fall $\ p=2$ kann man
aber einfach separat kurz nachrechnen.
Wenn wir dem Ganzen also klare Form geben wollen,
können wir z.B. definieren:
Für gerades $\ n$ sei
$\ [mm] A_n:=B_n+\summe_{\underset{q\ prim}{(q-1)|n}}\bruch{1}{q}$
[/mm]
Nach dem Satz der Herren (vermute ich mal...  )
von Staudt und Clausen ist [mm] A_n [/mm] eine ganze Zahl.
Nun sei $\ p$ eine ungerade Primzahl, also $\ p>2$ , und wir
betrachten den Term $\ [mm] T_p:=\ B_{p-1}+\bruch{1}{p}$
[/mm]
$\ p-1$ ist gerade, also haben wir:
$\ [mm] T_p\,=\,B_{p-1}+\bruch{1}{p}\ [/mm] =\ [mm] A_{p-1}\,-\left(\summe_{\underset{q\ prim}{(q-1)|(p-1)}}\bruch{1}{q}\right)\ [/mm] +\ \ [mm] \bruch{1}{p}$
[/mm]
$\ =\ [mm] \underbrace{A_{p-1}}_{\in\IZ}\,-\summe_{\underset{q\ prim\,,\,q
[mm] A_{p-1} [/mm] ist nach VonStaudt-Clausen ganzzahlig, und
die Summe enthält nur Summanden der Form [mm] \bruch{1}{q} [/mm] ,
wobei q<p . Der kleinste gemeinsame Nenner für deren
Addition kann deshalb nur Primfaktoren enthalten, die
kleiner als p sind. Der Nenner des entsprechenden
(gekürzten) Summenwerts und deshalb auch der ge-
kürzte Bruch, welcher den Wert von [mm] T_p [/mm] darstellt, kann
deshalb keinen Primfaktor p enthalten.
LG Al-Chwarizmi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:49 Mo 08.06.2009 | | Autor: | Fry |
Wunderbar, vielen Dank, war ja doch gar nicht so schwer :)
VG
Christian
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> Wunderbar, vielen Dank, war ja doch gar nicht so schwer :)
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> VG
> Christian
Genau, am Ende ist dann doch manches so einfach,
dass einem fast die Augen von den Schuppen fallen !
LG Al-Chwarizmi
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