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| Aufgabe | | Geben Sie eine kurze Formel für die Wahrscheinlicht, dass beim vierfachen Bernoulli-Experiment mit Erfolgswahrscheinlichkeit p mindestens 2 Erfolge direkt hintereinander autreten. Berechen Sie die bedinte Wahrscheinlichte für dieses Ereignis, gegeben der ersten Versuch war ein Erfolg. |
Lösung:
1)
P(min.2 mal [mm] Erfolg)=p_1(1)*p_2(1/1)+p_1(0)*p_2(1/0)*p_3(1/01)+p_1(0)*P_2(0/0)*p_3(1/00)*p_4(1/001)+p_1(1)*p_2(0/1)*p_3(1/101)*p_4(1/101)
[/mm]
= [mm] p^2 [/mm] - [mm] (1-p)p^2 [/mm] + [mm] (1-p)^2 p^2 [/mm] + [mm] p(1-p)p^2
[/mm]
= [mm] 3p^2 [/mm] - [mm] 2p^3
[/mm]
2)
P(min 2/ 1. Versuch [mm] Erfolg)=P_2(1/1)+p_2(0/1)*p_3(1/10)p_4(1/101)
[/mm]
= [mm] p+(1-p)p^2 [/mm] = p + [mm] p^2 [/mm] - [mm] p^3
[/mm]
Hi,
kann mir vielleicht diese beiden Lösungswege erklären??? Ich habe gerade überhaupt keine Idee, wie die das gemacht haben.
Danke für Erklärungen.
Gruß
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Hallo jaruleking,
> Geben Sie eine kurze Formel für die Wahrscheinlicht, dass
> beim vierfachen Bernoulli-Experiment mit
> Erfolgswahrscheinlichkeit p mindestens 2 Erfolge direkt
> hintereinander autreten. Berechen Sie die bedinte
> Wahrscheinlichte für dieses Ereignis, gegeben der ersten
> Versuch war ein Erfolg.
> Lösung:
>
> 1)
> P(min.2 mal
> [mm]Erfolg)=p_1(1)*p_2(1/1)+p_1(0)*p_2(1/0)*p_3(1/01)+p_1(0)*P_2(0/0)*p_3(1/00)*p_4(1/001)+p_1(1)*p_2(0/1)*p_3(1/101)*p_4(1/101)[/mm]
Es wird hier solange gewürfelt, bis zweimal Erfolg
hintereinander auftritt.
Bei den verbleibenden Versuchen ist es dann egal,
ob Erfolg oder kein Erfolg eintritt.
>
> = [mm]p^2[/mm] - [mm](1-p)p^2[/mm] + [mm](1-p)^2 p^2[/mm] + [mm]p(1-p)p^2[/mm]
> = [mm]3p^2[/mm] - [mm]2p^3[/mm]
>
> 2)
>
> P(min 2/ 1. Versuch
> [mm]Erfolg)=P_2(1/1)+p_2(0/1)*p_3(1/10)p_4(1/101)[/mm]
> = [mm]p+(1-p)p^2[/mm] = p + [mm]p^2[/mm] - [mm]p^3[/mm]
>
Hier ist es dasselbe Spiel wie unter 1),
nur unter der Voraussetzung daß,
der erste Versuch ein Erfolg ist.
Es handelt sich hier um eine bedingte Wahrscheinlichkeit.
>
> Hi,
>
> kann mir vielleicht diese beiden Lösungswege erklären???
> Ich habe gerade überhaupt keine Idee, wie die das gemacht
> haben.
>
> Danke für Erklärungen.
>
> Gruß
Gruss
MathePower
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Hi MathePower,
LEIDER konnte ich mit deinen Erklärungen noch nicht so viel anfangen :-/.
Denn ich versteh nicht, wie hier die ersten beiden Zeilen zustande kommen:
P(min.2 mal $ [mm] Erfolg)=p_1(1)\cdot{}p_2(1/1)+p_1(0)\cdot{}p_2(1/0)\cdot{}p_3(1/01)+p_1(0)\cdot{}P_2(0/0)\cdot{}p_3(1/00)\cdot{}p_4(1/001)+p_1(1)\cdot{}p_2(0/1)\cdot{}p_3(1/101)\cdot{}p_4(1/101) [/mm] $
= $ [mm] p^2 [/mm] $ - $ [mm] (1-p)p^2 [/mm] $ + $ [mm] (1-p)^2 p^2 [/mm] $ + $ [mm] p(1-p)p^2 [/mm] $
= $ [mm] 3p^2 [/mm] $ - $ [mm] 2p^3 [/mm] $
Wäre nett, wenn mir jemand das nochmal erklären könnte.
Gruß
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> Hi MathePower,
>
> LEIDER konnte ich mit deinen Erklärungen noch nicht so
> viel anfangen :-/.
>
> Denn ich versteh nicht, wie hier die ersten beiden Zeilen
> zustande kommen:
>
> P(min.2 mal
> [mm]Erfolg)=p_1(1)\cdot{}p_2(1/1)+p_1(0)\cdot{}p_2(1/0)\cdot{}p_3(1/01)+p_1(0)\cdot{}P_2(0/0)\cdot{}p_3(1/00)\cdot{}p_4(1/001)+p_1(1)\cdot{}p_2(0/1)\cdot{}p_3(1/101)\cdot{}p_4(1/101)[/mm]
>
> = [mm]p^2[/mm] - [mm](1-p)p^2[/mm] + [mm](1-p)^2 p^2[/mm] + [mm]p(1-p)p^2[/mm]
> = [mm]3p^2[/mm] - [mm]2p^3[/mm]
>
>
> Wäre nett, wenn mir jemand das nochmal erklären könnte.
>
> Gruß
Hallo jaruleking,
es kostet ja nicht so viel Aufwand, für eine Folge von
4 binären Entscheidungen eine komplette Liste aufzu-
schreiben:
0000
0001
0010
0011
0100
0101
0110
0111
1000
1001
1010
1011
1100
1101
1110
1111
Nun kann man sehen, dass es unter den Folgen, welche
zwei unmittelbar aufeinander folgende Einsen enthalten,
3 mit genau zwei Einsen, 4 mit 3 Einsen und eine mit
4 Einsen gibt. Also folgt:
P(mindestens irgendwo zwei aufeinanderfolgende Einsen )
[mm] =\red{3}*p^2*q^2+\green{4}*p^3*q+\blue{1}*p^4
[/mm]
Diesen Term kann man zusammenfassen und vereinfachen
insbesondere auch mittels der Gleichung $\ q=1-p$ .
LG Al-Chw.
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Hi, nochmal paar fragen zu deiner angeb. Lösung:
> 0000
> 0001
> 0010
> 0011
> 0100
> 0101
> 0110
> 0111
> 1000
> 1001
> 1010
> 1011
> 1100
> 1101
> 1110
> 1111
Wofür stehen bei dir jetzt hier 1 und 0?? 1 für Erfolg und 0 für Misserfolg oder wie??
> Nun kann man sehen, dass es unter den Folgen, welche
> zwei unmittelbar aufeinander folgende Einsen enthalten,
> 3 mit genau zwei Einsen, 4 mit 3 Einsen und eine mit
> 4 Einsen gibt. Also folgt:
> P(mindestens irgendwo zwei aufeinanderfolgende Einsen )
> $ [mm] =\red{3}\cdot{}p^2\cdot{}q^2+\green{4}\cdot{}p^3\cdot{}q+\blue{1}\cdot{}p^4 [/mm] $
So, woher weiß ich jetzt, dass ich beim ersten [mm] p^2 [/mm] * [mm] q^2 [/mm] aufschreiben muss? usw.
Und zum Schluss kommst du ja auch nochmal auf ein [mm] p^4, [/mm] was in der anderen Lösung gar nicht vorkommt, da haben wir höchstens [mm] p^3.
[/mm]
Im ganzen habe ich deine Lösung auch nicht so verstanden. Deine Liste ist klar, aber danach kann ich leider nicht mehr folgen. Und du bist ja dann auch gar nicht auf diese Lösung eingegangen:
P(min.2 mal $ [mm] Erfolg)=p_1(1)\cdot{}p_2(1/1)+p_1(0)\cdot{}p_2(1/0)\cdot{}p_3(1/01)+p_1(0)\cdot{}P_2(0/0)\cdot{}p_3(1/00)\cdot{}p_4(1/001)+p_1(1)\cdot{}p_2(0/1)\cdot{}p_3(1/101)\cdot{}p_4(1/101) [/mm] $
= $ [mm] p^2 [/mm] $ - $ [mm] (1-p)p^2 [/mm] $ + $ [mm] (1-p)^2 p^2 [/mm] $ + $ [mm] p(1-p)p^2 [/mm] $
= $ [mm] 3p^2 [/mm] $ - $ [mm] 2p^3 [/mm] $
Wie berechne ich z.B. [mm] p_1(0)\cdot{}p_2(1/0)\cdot{}p_3(1/01)
[/mm]
Grüße
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> Hi, nochmal paar fragen zu deiner angeb. Lösung:
(ich hoffe schon sehr, dass du mit "angeb." nicht
etwa "angeblichen", sondern "angebotenen" meinst  )
> > 0000
> > 0001
> > 0010
> > 0011
> > 0100
> > 0101
> > 0110
> > 0111
> > 1000
> > 1001
> > 1010
> > 1011
> > 1100
> > 1101
> > 1110
> > 1111
>
> Wofür stehen bei dir jetzt hier 1 und 0?? 1 für Erfolg
> und 0 für Misserfolg oder wie??
Ja, so ist das gemeint.
> > Nun kann man sehen, dass es unter den Folgen, welche
> > zwei unmittelbar aufeinander folgende Einsen enthalten,
> > 3 mit genau zwei Einsen, 4 mit 3 Einsen und eine mit
> > 4 Einsen gibt. Also folgt:
>
> > P(mindestens irgendwo zwei aufeinanderfolgende Einsen )
> >
> [mm]=\red{3}\cdot{}p^2\cdot{}q^2+\green{4}\cdot{}p^3\cdot{}q+\blue{1}\cdot{}p^4[/mm]
>
> So, woher weiß ich jetzt, dass ich beim ersten [mm]p^2[/mm] * [mm]q^2[/mm]
> aufschreiben muss? usw.
Zu zwei Treffern (je mit Wahrscheinlichkeit p) gehören auch
4-2=2 Misserfolge (je mit W'keit q=1-p).
> Und zum Schluss kommst du ja auch nochmal auf ein [mm]p^4,[/mm] was
> in der anderen Lösung gar nicht vorkommt, da haben wir
> höchstens [mm]p^3.[/mm]
Ich habe eben stets die Wahrscheinlichkeiten für die
kompletten Sequenzen der Länge 4 berechnet. Bei
der Lösung, die dir vorliegt, wird, nachdem der Anfang
(11) vorliegt, gar nicht weiter gerechnet, weil die
Doppel-1 dann ja schon vorliegt. Mir schien es einfacher,
angesichts der geringen Zahl 16 möglicher Fälle, eine
komplette Übersicht zu erstellen.
> Im ganzen habe ich deine Lösung auch nicht so verstanden.
> Deine Liste ist klar, aber danach kann ich leider nicht
> mehr folgen. Und du bist ja dann auch gar nicht auf diese
> Lösung eingegangen:
>
> P(min.2 mal Erfolg)
$\ [mm] =p_1(1)\cdot{}p_2(1/1)+\red{p_1(0)\cdot{}p_2(1/0)\cdot{}p_3(1/01)}+p_1(0)\cdot{}P_2(0/0)\cdot{}p_3(1/00)\cdot{}p_4(1/001)+p_1(1)\cdot{}p_2(0/1)\cdot{}p_3(1/101)\cdot{}p_4(1/101)$
[/mm]
>
> = [mm]p^2[/mm] [mm] \red{-}[/mm] [mm](1-p)p^2[/mm] + [mm](1-p)^2 p^2[/mm] + [mm]p(1-p)p^2[/mm] ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
falsches Vorzeichen !
> = [mm]3p^2[/mm] - [mm]2p^3[/mm]
Hier werden die möglichen Sequenzen jeweils nur soweit
verfolgt, bis am Schluss zwei Einsen nacheinander ste-
hen. Der rot markierte Teilterm [mm] \red{p_1(0)\cdot{}p_2(1/0)\cdot{}p_3(1/01)}
[/mm]
steht also z.B. für die Wahrscheinlichkeit einer Folge der
Form 011x (wobei der 4. Versuch gar nicht mehr durchgeführt
werden muss). Mit [mm] p_3(1/01) [/mm] ist nun die bedingte W'keit
gemeint, dass im 3.Versuch eine 1 erscheint, nachdem
schon der Anfang "01" vorliegt.
> Wie berechne ich z.B.
> [mm]\red{p_1(0)\cdot{}p_2(1/0)\cdot{}p_3(1/01)}[/mm]
Da im Bernoulli-Experiment jeder einzelne Versuch die
Erfolgswahrscheinlichkeit p hat, unabhängig von der
Vorgeschichte, ist
[mm] p_1(0)=q=1-p, p_2(1/0)=p, p_3(1/01)=p, [/mm]
also erhält man für diesen Teilterm
[mm] $\red{P(011x)=q*p*p*1=(1-p)*p^2}$
[/mm]
und insgesamt
[mm] $P(11xy)+\red{P(011x)}+P(0011)+P(1011)\ [/mm] =\ [mm] p^2+\red{(1-p)*p^2}+(1-p)^2*p^2+p*(1-p)*p^2$
[/mm]
was man dann gehörig vereinfachen kann. Nun magst
du selber entscheiden, welcher Lösungsweg dir besser
behagt ...
LG Al-Chw.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:38 Sa 26.12.2009 | | Autor: | jaruleking |
Super vielen Danke für diese ausführlich Erklärung. Jetzt habe ich es auch verstanden.
Gruß
p.s.: mit angeb. sollte tatsächlich, mit deiner angebotenen Lösung bedeuten 
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