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| Aufgabe | Bestimmen Sie die allgemeine Lösung der Bernoulli-Differentialgleichung
y' = (ln [mm] x/x)*y^2- [/mm] (1/x)*y |
Hallo!
Ich sitze seit Ewigkeiten an dieser Aufgabe und bekomme nie das richtige Ergebnis heraus:
Zuerst habe ich die DGL durch y^-2 geteilt, dann habe ichz(x)=y^-1(x) substituiert, s.d. die DGL lautet
-z'+(1/x)*z=-lnx/x.
Als Lösung der homogenen Gleichung bekomme ich z=x+c heraus, aber ich schaffe es einfach nicht, eine partikuläre Lösung der inhomogenen Gleichung zu berechnen.
Es wäre super, wenn mir jemand helfen könnte! Danke schon im Voraus!!!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:26 Sa 04.11.2006 | | Autor: | Mamahai |
Also erstens ist irgendwas bei der Substitution schief gegangen, weil du einen Vorzeichenfehler drin hast. Nach der Subst. muss gelten:
z' - (1/x)*z + ln(x) / x = 0
Deine homogene Lösung ist [mm] z_{h} [/mm] = c * x. (wegen [mm] e^{ln x + ln x0}= [/mm] x * x0)
Dann musst du für die partikuläre Lösung Variation der Konstanten machen:
also [mm] z_{p}= [/mm] c(x) * x wobei c(x) eine unbekannte Funktion.
Dann muss man folgende DGL lösen:
[mm] z_{p}' [/mm] - 1/x * z = - ln(x) /x
Wenn du das gelöst hast, musst du es nur noch zusammenfügen:
z = [mm] z_{h}+ z_{p}.
[/mm]
Ich hoffe ich konnte dir helfen.
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| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:17 So 05.11.2006 | | Autor: | oeli1985 |
| Aufgabe | | siehe vorige Aufgabenstellung |
Hallo zusammen,
ich sitze ebenfalls an dieser Aufgabe ... habe allerdings bisher nicht geprüft, ob mein Ergebnis richtig ist. Es sieht jedenfalls ziemlich kompliziert aus.
Also mein Ansatz:
Habe ebenfalls zunächst mit [mm] \bruch{1}{ y^{2}} [/mm] multipliziert und dann, wie folgt substituiert: z:= [mm] y^{-1} \Rightarrow [/mm] z'= [mm] \bruch{z}{x} [/mm] - [mm] \bruch{ln(x)}{x}
[/mm]
Die Lösung der homogenen Gleichung lautet also: z= [mm] \bruch{1}{ \gamma} \bruch{x}{ \delta} [/mm] , wobei AWP y( [mm] \delta) [/mm] = [mm] \gamma \Rightarrow [/mm] z( [mm] \delta) [/mm] = [mm] \bruch{1}{ \delta}
[/mm]
1.Frage:
Wenn ich kein gegebenes AWP habe kann ich mir dann die "Rechnerei" mit den Unbekannten irgendwie sparen? Vor allem, wenn ich an meine spätere Lösung denke.
2.Frage:
Müsste ich nicht eigentlich noch eine weitere konstante bezüglich der Integration ergänzen? So dass mein homogenes Ergebnis eigentlich lauten müsste: z= [mm] \bruch{1}{ \gamma} [/mm] ( [mm] \bruch{x}{ \delta} [/mm] + c)
Jedenfalls habe ich mit dem 1.Ergebnis weitergemacht und nach Satz 3 unserer Vorlesung gilt, wenn die DGL von der Form y'+g(x)y=h(x) ist, dass
z= [mm] \bruch{x}{ \delta} [/mm] ( [mm] \bruch{1}{ \gamma} [/mm] + [mm] \integral_{ \delta}^{x}{h(t) \bruch{x}{ \delta} dt} [/mm] ) [mm] \Rightarrow [/mm] ... resubstitution und lösen der Konstante nach AWP [mm] \Rightarrow [/mm] y= [mm] \bruch{ \delta^{2} \gamma}{x( \delta - \gamma(xln(x)-1)- \delta (ln( \delta ) - 1))} [/mm]
Das habe ich gemeint mit der "bekloppten" Lösung aufgrund der unbekannten AWP.
Danke schon mal für eure Hilfe, Grüße Patrick
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:35 So 05.11.2006 | | Autor: | Mamahai |
Hallo
zu Frage 1:
Die Rechnerei mit den Konstanten kriegst du so gelöst: du darfst das AW-BEdingung erstens noch gar nicht einsetzen und zweitens nimmst du bei der integration die Grenzen y, y0 bzw x und x0 und fasst am ende einfach alle terme mit y0 und x0 zu einer Konstanten c zusammen. man kann sie vernachlässigen und dann kommt man auf die homogene lösung [mm] z_{h}= [/mm] c*x
und damit hast du deine Konstante aus Frage zwei.
Ansonsten versteh ich nicht ganz genau was du da gemacht hast, ich er kenne die Formel wieder, aber nicht genau was du da eingestezt hast, nur das AWP musst/ kannst du anders wählen, da es eh eine Konstante ist die nicht festgelegt ist, brauchst du kein [mm] 1/\delta [/mm] zu nehmen, sondern es reicht [mm] \delta.
[/mm]
Ich nehme mal an das du auch Variation der Konstanten gemacht hast, mit [mm] z_{p}= [/mm] c(x)*x.... c(x) müsste am ende gleich ln(x) /x +1/x sein
und dann musst du das nur noch richtig in die Formel einsetzen.
Ich hoffe ich konnte dir helfen und hab nicht zu verwirrt geschrieben...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:22 Mo 06.11.2006 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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