Bernoulli oder Baumdiagramm? < Stochastik < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:37 Mo 28.03.2011 | | Autor: | Gabs |
| Aufgabe | Zehn Raucher entschließen sich zu einer Entwöhnungskur. Zwei von ihnen sind starke Raucher. Die Erfolgschancen der Behandlung liegen bei einem starken Raucher bei 60%, bei einem nicht starken Raucher bei 70%.
Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass die Entwöhnung bei mindestens neun Personen der ganzen Gruppe Erfolg hat! |
Dass es sich hier um ein Bernoulliexperiment handelt geht aus der Musterlösung hervor, die mir vorliegt.
S=starker Raucher; L=nicht starker Raucher "light"
[mm]p(Z\geq9)=p(Z=9)+p(Z=10)
[/mm]
<SPAN class=math>[mm]p^2_{0,6}(S=2)p^8_{0,7}(L=7)+p^2_{0,6}(S=1)p^8_{0,7}(L=8)+p^2_{0,6}(S=2)p^8_{0,7}(L=8)[/mm]</SPAN>
[mm]\vektor{2 \\
2}*0,6^2*0,4^0*\vektor{8\\
7}*0,7^7*0,3^1+\vektor{2 \\
1}*0,6^1*0,4^1*\vektor{8 \\
8}*0,7^8*0,3^0+\vektor{2 \\
2}*0,6^2*0,4^0*\vektor{8 \\
8}*0,7^8*0,3^0[/mm]
Dies ausgerechnet ergibt gerundete 12%.
Kann ich diese Aufgabe auch mit einem Baumdiagramm lösen?
[mm]E=Erfolg; \overline{E}=kein Erfolg[/mm]
1. Stufe: relative Häufigkeit von S [p(S)=0,2] und L [p(L)=0,8]
2. Stufe: Wahrscheinlichkeiten aus der Angabe
[mm]p_S(E)=0,6; p_S( \overline{E})=0,4; p_L(E)=0,7; p_L( \overline{E})=0,3[/mm]
p(E)=0,2*0,6+0,8*0,7=0,12+0,56=0,68=68%
[mm]p( \overline{E})=1-0,68=0,32=32 Prozent[/mm]
[mm]p(Z\geq9)=p(9)+p(10)=\vektor{10 \\
9}*0,68^9*0,32+\vektor{10 \\
10}*0,68^{10}[/mm]
auch dies ausgerechnet ergibt gerundete 12%
Leider schaffe ich es nicht mein angefertigtes Baumdiagramm Euch zu übermitteln.
Die exakten Taschenrechnerwerte stimmen in beiden Fällen nicht überein.
[Dateianhang nicht öffentlich]
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:58 Mo 28.03.2011 | | Autor: | Gabs |
Leider wurde meine Ausrechnung zum Baumdiagramm nicht übermittelt.
p(E)=0,2*0,6+0,8*0,7=0,12+0,56=0,68=68%
[mm]p( \overline{E})=1-0,68=0,32[/mm]
[mm]p(Z\geq9)=p(9)+p(10)=\vektor{10 \\
9}*0,68^9*0,32^1+\vektor{10 \\
10}*0,68^{10}[/mm]
auch hier kommen gerundete 12% heraus.
Jedoch die genauen Taschenrechnerwerte unterscheiden sich in beiden Fällen.
Wo liwgt der Fehler?
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Es ist absolut klar, dass die beiden Ergebnisse sich unterscheiden:
Beim ersten wird zuerst aufaddiert wie wahrscheinlich es ist, dass alle die Entwöhnung schaffen.
Danach wird geguckt wie hoch sie ist wenn einer es nicht schafft, wichtig hierbei: es wird unterschieden zwischen starkem und normalem Raucher.
Was du mit dem Baum gemacht hast ist, dass du einen Durchschnittswert für den Erfolg benutzt hast.
Damit kommst du bei der Frage, ob alle 10 es schaffen, auf den selben Wert wie beim ersten.
Wenn du aber guckst ob es einer nicht schaffst ziehst du einen "Durchschnittswertraucher" ab.
Und diese Tatsache, dass du hier in diesem Punkt die Unterscheidung weggelassen hast, führt zu den unterschiedlichen Ergebnissen.
Du musst an dieser Stelle bedenken, dass du die Durchschnittswahrscheinlichkeit ja für die gesamte Menge der Raucher berechnet hast.
Sobald du aber nur noch eine Teilmenge betrachtest (zB einen der Raucher oder 9 der Raucher) geht das ganze schief...
Ein einfaches Beispiel um das zu verstehen:
Wir betrachten die Menge {a,b,c} und folgende Wahrscheinlichkeiten:
P(a) = 0,9, P(b) = 0,9, P(c) = 0,1
Somit ist die Durchschnittswahrscheinlichkeit [mm] $\frac{19}{30}$.
[/mm]
Nun die Wahrscheinlichkeit, dass genau zwei davon "klappen".
Mit Durchschnittswahrscheinlichkeit:
${3 [mm] \choose [/mm] 2} * [mm] \left (\frac{19}{30}\right )^2 [/mm] * [mm] \frac{11}{30} [/mm] = 0,441$
Und jetzt einmal "richtig" gerechnet:
Entweder a und b klappen und c klappt nicht, oder a und c und b nicht, oder b und c und a nicht.
Diese drei berechnen wir jetzt einzeln (bzw. die beiden letzten sind gleich, also rechnen wir da einfach mal zwei) und addieren sie dann:
$0,9*0,9*0,9 + 2*0,9*0,1*0,1 = 0,747$
Ich hab die Werte jetzt extra so gewählt, dass der Unterschied schön groß wird und man es nichtmehr auf nen Taschenrechner schieben kann.^^
Hoffe es ist klar geworden was ich sagen will und ich hab dich nicht mit dieser Menge an Text erschlagen.
MfG
Schadowmaster
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