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Ich soll mir hier selbst die Lösungsstrategie der Bernoullischen DGL erarbeiten und das an dem Beispiel veranschaulichen. Ich hoffe ich hab es verstanden.
| Aufgabe | | [mm] y'+xy=xy^3 [/mm] |
[mm] y'+xy=xy^3
[/mm]
[mm] u=y^{-2} \Rightarrow u=\bruch{1}{y^2}
[/mm]
[mm] u'=-\bruch{2}{y^3}*y'
[/mm]
[mm] y'=-u'*y^3*\bruch{1}{2}
[/mm]
[mm] -\bruch{1}{2}u'*y^3+xy=xy^3
[/mm]
[mm] \Rightarrow -\bruch{1}{2}u'+xy^{-2}=x
[/mm]
[mm] \Rightarrow u'-2uy^{-2}=-2x
[/mm]
u'-2xu=-2x
u'-2xu=0
[mm] \bruch{dy}{dx}-2xy=0 \Rightarrow \bruch{dy}{y}2x [/mm] dx
[mm] \integral_{}^{}{2x dx} \Rightarrow ln|y|=x^2+ln|C|
[/mm]
[mm] ln|y|-ln|C|=ln|\bruch{y}{C}|=x^2 \Rightarrow \bruch{y}{C}=x^{x^2}
[/mm]
[mm] y=C*e^{x^2}
[/mm]
Ich hoffe ich habe mich nicht wieder allzu oft verrechnet...
Mathegirl
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Hallo,
> Ich soll mir hier selbst die Lösungsstrategie der
> Bernoullischen DGL erarbeiten und das an dem Beispiel
> veranschaulichen. Ich hoffe ich hab es verstanden.
>
> [mm]y'+xy=xy^3[/mm]
>
> [mm]y'+xy=xy^3[/mm]
>
> [mm]u=y^{-2} \Rightarrow u=\bruch{1}{y^2}[/mm]
>
> [mm]u'=-\bruch{2}{y^3}*y'[/mm]
> [mm]y'=-u'*y^3*\bruch{1}{2}[/mm]
>
> [mm]-\bruch{1}{2}u'*y^3+xy=xy^3[/mm]
> [mm]\Rightarrow -\bruch{1}{2}u'+xy^{-2}=x[/mm]
> [mm]\Rightarrow u'-2uy^{-2}=-2x[/mm]
>
> u'-2xu=-2x
> u'-2xu=0
> [mm]\bruch{dy}{dx}-2xy=0 \Rightarrow \bruch{dy}{y}2x[/mm] dx
> [mm]\integral_{}^{}{2x dx} \Rightarrow ln|y|=x^2+ln|C|[/mm]
>
> [mm]ln|y|-ln|C|=ln|\bruch{y}{C}|=x^2 \Rightarrow \bruch{y}{C}=x^{x^2}[/mm]
>
> [mm]y=C*e^{x^2}[/mm]
>
> Ich hoffe ich habe mich nicht wieder allzu oft
> verrechnet...
>
>
> Mathegirl
[mm]y'+x*y-x*y^3=0 \; \; |*(-2)*y^{-3}[/mm]
[mm] $-2*y^{-3}*y'-2*x*y^{-2}+2*x=0$
[/mm]
[mm] $\left( y^{-2} \right)'-2*x*y^{-2}+2*x=0$
[/mm]
[mm] z=y^{-2}
[/mm]
$z'=2*z*x-2*x$
....
[mm] $z=C*e^{x^2}+1 \; [/mm] = [mm] \; \frac{1}{y^2}$
[/mm]
$y= [mm] \pm \wurzel{\frac{1}{C*e^{x^2}+1}}$
[/mm]
LG, Martinius
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Wie kommst du auf die Multiplikation mit [mm] -2y^{-3}?
[/mm]
MfG
Mathegirl
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:01 Mi 09.11.2011 | | Autor: | fred97 |
> Wie kommst du auf die Multiplikation mit [mm]-2y^{-3}?[/mm]
Martinus hat zunächst nichts anderes gemacht als Du. Nämlich aus der Bernoulli- DGL eine lineare gebastelt:
(*) u'-2xu=-2x
Martinus hat z statt u geschrieben.
Was Du oben gemacht hast ist mal wieder ziemlich chaotisch ! Du die zu (*) geh. homogene Gleichung u'-2x=0 gelöst:
[mm] u(x)=ce^{x^2}.
[/mm]
Dann hast Du aufgehört und vorher hast Du noch, weiß der Himmel warum, aus u ein y gemacht.
Mach es so: bestimme die allg. Lösung u von (*) , dann bekommst Du die allgemeine Lösung y der ursprünglichen DGL durch
[mm] y^2=1/u.
[/mm]
FRED
>
>
> MfG
> Mathegirl
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:32 Mi 09.11.2011 | | Autor: | Martinius |
Hallo Fred,
als Mathematiker hast Du natürlich den Überblick, der mir als Laie fehlt.
Ich werde dann diese Seite in Zukunft nicht mehr empfehlen.
LG, Martin
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Ich hab meinen Fehler erkannt und einfach nicht Rücksubstituiert.
aber eine Frage hab ich trotzdem:
woher kommt dieses +1?
> [mm]z=C*e^{x^2}+1 \; = \; \frac{1}{y^2}[/mm]
Mathegirl
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Hallo Mathegirl,
> Ich hab meinen Fehler erkannt und einfach nicht
> Rücksubstituiert.
>
> aber eine Frage hab ich trotzdem:
> woher kommt dieses +1?
>
> > [mm]z=C*e^{x^2}+1 \; = \; \frac{1}{y^2}[/mm]
>
Das "+1" ist die partikuläre Lösung für die DGL in z.
>
> Mathegirl
Gruss
MathePower
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