Berührstelle zweier Funktionen < Ganzrationale Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:25 Mo 27.08.2012 | | Autor: | zayna |
| Aufgabe | | Gegeben seien die Funktionsschar ft durch ft(x)= - [mm] \bruch{1}{2} x^{2} [/mm] + 2tx mit t [mm] \in \IR [/mm] und g durch g(x)= [mm] x^{3} [/mm] - [mm] 4x^{2} [/mm] + 4x. Für welche Werte von t berührt der Graph von ft den Funktionsgraphen von g? Bestimmen Sie die Koordinaten der Berührpunkte. |
Hallo,
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
ich komme mit der o.g. Aufgabe nicht ganz zurecht, da ich den Rechenweg nicht ganz verstehe.
Zum einen hat unser Lehrer gemeint eine Berührstelle hat eine doppelte Lösung, aber haben nur eine Berührstelle ausgerechnet?!!
Zum anderen würde ich gerne wissen, was nun eine Berührstelle wirklich ist?
Bitte korrigiert mich wenn ich falsch liege, aber es ist doch eine Stelle bei denen sich 2 Funktionen "berühren" und nicht schneiden. Wie erkenne ich, dass sie sich NICHT schneiden?
Zur Aufgabe:
Wir haben zuerst f(x)=g(x) berechnet
da kam dann folgendes raus:
[mm] 0=x^{3}-\bruch{7}{2} x^{2} [/mm] + 4x - 2tx
durch ausklammern habe ich folgendes bekommen:
[mm] x(x^{2}-\bruch{7}{2}x [/mm] + 4-2t)
d.h. x1=0
der rest in der klammer über p/q ergibt dann:
und x2/3 = [mm] \bruch{7}{4} \pm \wurzel{\bruch{-15}{16} + 2t}
[/mm]
--------------------------
jetzt kommt genau die Stelle, wo ich nix mehr verstehe:
Text vom Lehrer: Es gibt genau dann EINE Berührstelle, wenn x2=x3.
-> [mm] \bruch{-15}{16}+2t=0
[/mm]
t= [mm] \bruch{15}{32}---> [/mm] wenn t das ist gibt es EINE Berührstelle
Die Berührstelle liegt dann bei [mm] x=\bruch{7}{4}
[/mm]
(WARUM denn NUR EINE????????)
---------------------------------------
dann ging es weiter:
Die y-Koordinate bestimmen:
[mm] g(\bruch{7}{4})=\bruch{7}{64} [/mm] und
[mm] f(\bruch{7}{4}; \bruch{15}{32})=\bruch{7}{64}
[/mm]
(MUSS hier zwingend bei beiden das gleiche ergebnis raus kommen?)
und somit bewiesen das der Berührpunkt:
B(7/4; 7/64) ergibt.
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Ich freue mich auf Antworten und Hilfestellung. Danke :)
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> Gegeben seien die Funktionsschar [mm] f_t [/mm] durch
>$\ [mm] f_t(x)\ [/mm] =\ [mm] \bruch{1}{2} x^{2}+ 2\,t\,x$ [/mm] mit $\ [mm] t\in \IR$ [/mm]
> und g durch
>$\ g(x)\ =\ [mm] x^{3}\ [/mm] -\ [mm] 4x^{2}+ [/mm] 4x$ .
> Für welche Werte von t berührt der Graph von [mm] f_t [/mm] den
> Funktionsgraphen von g?
> Bestimmen Sie die Koordinaten der Berührpunkte.
> Hallo,
> ich komme mit der o.g. Aufgabe nicht ganz zurecht, da ich
> den Rechenweg nicht ganz verstehe.
> Zum einen hat unser Lehrer gemeint eine Berührstelle hat
> eine doppelte Lösung, aber haben nur eine Berührstelle
> ausgerechnet?!!
> Zum anderen würde ich gerne wissen, was nun eine
> Berührstelle wirklich ist?
Das ist eine Stelle (ein x-Wert), bei welcher f(x)=g(x)
und f'(x)=g'(x) gilt.
> Bitte korrigiert mich wenn ich falsch liege, aber es ist
> doch eine Stelle bei denen sich 2 Funktionen "berühren"
> und nicht schneiden.
Nach meiner Ansicht dürften sich die beiden Kurven in
einem Berührpunkt allenfalls auch "schneiden" bzw. "überkreuzen"
so wie z.B. [mm] y=x^4 [/mm] und [mm] y=x^3 [/mm] im Punkt (0|0) .
> Wie erkenne ich, dass sie sich NICHT
> schneiden?
> Zur Aufgabe:
> Wir haben zuerst f(x)=g(x) berechnet
> da kam dann folgendes raus:
> [mm]0=x^{3}-\bruch{7}{2} x^{2}[/mm] + 4x - 2tx
>
> durch ausklammern habe ich folgendes bekommen:
>
> [mm]x(x^{2}-\bruch{7}{2}x[/mm] + 4-2t)
> d.h. x1=0
> der rest in der klammer über p/q ergibt dann:
> und x2/3 = [mm]\bruch{7}{4} \pm \wurzel{\bruch{-15}{16} + 2t}[/mm]
>
> --------------------------
> jetzt kommt genau die Stelle, wo ich nix mehr verstehe:
> Text vom Lehrer: Es gibt genau dann EINE Berührstelle,
> wenn x2=x3.
> -> [mm]\bruch{-15}{16}+2t=0[/mm]
> t= [mm]\bruch{15}{32}--->[/mm] wenn t das ist gibt es EINE
> Berührstelle
>
> Die Berührstelle liegt dann bei [mm]x=\bruch{7}{4}[/mm]
>
> (WARUM denn NUR EINE????????)
Der Lehrer benützt dabei eine Eigenschaft, die noch zu
erklären wäre (vielleicht hat er die Erklärung ja auch
schon gegeben) : Wenn eine Gleichung der Form f(x)=g(x)
mit Polynomfunktionen f und g eine Doppellösung hat,
so gilt an dieser Stelle auch f'(x)=g'(x), d.h. eben, dass
sich die Graphen an dieser Stelle berühren.
Frag aber ruhig nach - das wird auch für die Mitschüler
hilfreich sein.
> ---------------------------------------
>
> dann ging es weiter:
> Die y-Koordinate bestimmen:
> [mm]g(\bruch{7}{4})=\bruch{7}{64}[/mm] und
> [mm]f(\bruch{7}{4}; \bruch{15}{32})=\bruch{7}{64}[/mm]
>
> (MUSS hier zwingend bei beiden das gleiche ergebnis raus
> kommen?)
Klar, wir haben doch [mm] f_t(x)=g(x) [/mm] verlangt !
> und somit bewiesen das der Berührpunkt:
> B(7/4; 7/64) ergibt.
> -------------------------------
> Ich freue mich auf Antworten und Hilfestellung. Danke :)
Die angegebene Lösung ist nicht die einzig mögliche, denn
es könnte doch auch sein, dass sich die beiden Kurven in
ihrem ersten gemeinsamen Punkt, also an der Stelle x=0 ,
berühren !
Mit den obigen Bezeichnungen wäre dann [mm] x_1=x_3 [/mm] !
LG Al-Chw.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:31 Mo 27.08.2012 | | Autor: | zayna |
>Es gibt genau dann EINE Berührstelle,
> wenn x2=x3.
> -> $ [mm] \bruch{-15}{16}+2t=0 [/mm] $
->
also x2 wäre doch
x2 = $ [mm] \bruch{7}{4} [/mm] + [mm] \wurzel{\bruch{-15}{16} + 2t} [/mm] $
und
x3 = $ [mm] \bruch{7}{4} [/mm] - [mm] \wurzel{\bruch{-15}{16} + 2t} [/mm] $
damit ich die wurzel auflösen kann, denke ich mir dann einen t-wert aus.
also ich setze das in der wurzel = 0, weil ich dann x2 und x3 das gleiche habe
wenn x1=x2 ist, dann muss der t-wert also so bestimmt sein das ich [mm] -\bruch{7}{4} [/mm] bekomme, damit ich auch x2=0 erhalte, wie x1 auch =0 ist?
ist es dann nur eine auslegungssache vom lehrer, dass wir nur eine berührstelle berechnet haben?
und wie funktioniert denn das mit den ableitungen gleich setzen (also wie beziehe ich das dort ein?)
da würde ich erst beide ausgangsfunktionen gleich setzen und zu nullstellen gelangen und dann die ableitungen gleichsetzen (was mache ich dort mit dem ergebnis?)
und letzte frage: woher weiß ich denn, das es tatsächlich nur ein berührpunkt (oder mehrere) ist, also wie erkenne ich, dass es kein schnittpunkt ist?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:23 Mo 27.08.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo zayna
1. 2 Nullstellen, die zusammenfallen, hat man auch, wenn [mm] x_1=x_3 [/mm] ist, wenn also die Wurzel 7/4 ergibt (bei t=2) dann berühren sich die Kurven bei (0,0)
und jam dein L hat nur die eine mögliche Parabel gefunden.
zur Vorstellung: bei den meisten t schneiden sich die 3 Kurven in 3 Punkten. wenn man jetzt die Parabel verschiebt, kann man sie so schieben, dass 2 von den Nullstellen immer näher aneinander rücken, die gemeinsame Sehne zwischen den 2 Schnittpunkten wird dabei immer mehr fast die Tangente, und wenn sie zusammen sind wurde aus der Sekanze eine Tangente.
Man sagt nun 2 Kurven berühren sich, wenn sie eine gemeinsame Tangente haben (dabei können sie sich auch schneiden, wie etwa x13 und [mm] x^5 [/mm] im Nullpunkt.
Du weisst also bei deinem t nicht ob sie sich noch schneiden oder nicht.
wenn du Funktionen plotten kannst zeichne mal mit den 2 möglichen t die 3 Funktionen.
die Lösung mit f(x)=g(x) und f'(x)=g'(x)
rechne erst die 2 Lösungen von f'=g' aus, setz sie dann in f=g ein üder umgekehrt, das ist aber hier umständlicher, also rechne nach dass an dem Berürpunkt mit dem richtigen t f'=g' ist.
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:42 Mo 27.08.2012 | | Autor: | reverend |
Hallo Al,
> Nach meiner Ansicht dürften sich die beiden Kurven in
> einem Berührpunkt allenfalls auch "schneiden" bzw.
> "überkreuzen"
> so wie z.B. [mm]y=x^2[/mm] und [mm]y=x^3[/mm] im Punkt (0|0) .
Das tun diese beiden dort aber nicht. Es ist eine "echte" Berührstelle, der Schnittpunkt liegt erst bei (1|1).
Ich denke auch, dass f(x)=g(x) und f'(x)=g'(x) als hinreichende Bedingung genügt.
Dann hätten [mm] y=x^3 [/mm] und [mm] y=-x^3 [/mm] in (0|0) einen Berührpunkt, der zugleich Schnittpunkt ist.
Für die vorliegende Aufgabe ist das aber ohne Bedeutung. Hier genügt die obige Bedingung, um die Berührpunkte zu identifizieren, und alle sind "echt".
Grüße
reverend
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> Hallo Al,
>
> > Nach meiner Ansicht dürften sich die beiden Kurven in
> > einem Berührpunkt allenfalls auch "schneiden" bzw.
> > "überkreuzen"
> > so wie z.B. [mm]y=x^2[/mm] und [mm]y=x^3[/mm] im Punkt (0|0) .
>
> Das tun diese beiden dort aber nicht. Es ist eine "echte"
> Berührstelle, der Schnittpunkt liegt erst bei (1|1).
Oh, sorry - ich hätte etwa $\ y=0$ und [mm] y=x^3 [/mm] nehmen sollen,
oder [mm] y=x^3 [/mm] und [mm] y=x^4 [/mm] ...
LG Al
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:48 Mo 27.08.2012 | | Autor: | Richie1401 |
Hallo,
> Frag aber ruhig nach - das wird auch für die Mitschüler
> hilfreich sein.
...und für den Lehrer eventuell peinlich.
Gruß
...von jemanden, der nicht allzu viel Vertrauen in so manche Lehrer hat.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:59 Di 28.08.2012 | | Autor: | zayna |
ich habe meinen sitznachbarn gefragt und er meinte:
x1=0 -> das ist ein schnittpunkt immer wenn ich 2 x (in dem fall x2/3) hab ist es ein berührpunkt und damit ich diesen herausbekomme müssen für beide x der gleiche wert berechnet werden.
deswegen setzt man das unter der wurzel gleich null, damit ich das t erhalte und somit beide x das gleiche sind.
ist das korrekt? mich verwirrte das gleichsetzen der beiden ableitungen einwenig ^^*
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:40 Di 28.08.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
Du tust jetzt so, als ob die ganzen posts umsonst waren.
for fast alle t hat man 3 Schnittpunkte, [mm] y_1=0, x_2,x_3 [/mm] mit den Wurzeln.
Wenn x2 und [mm] x_3 [/mm] zusammenfallen dann hat man eine Berührstelle. das ist der Fall, wenn die Wurzel 0 ist. Damit hat dein Banknachbar recht, und das stand auch in vielen posts.
Aber zusätzlich haben die 2 kurven auch (bei einem anderen t)
einen Berührpunkt, wenn [mm] x_1 [/mm] und [mm] x_2 [/mm] gleich sind, das ist der Fall, wenn die Wurzel 7/4 ist.
dann ist t=2 und [mm] x_1=x_2=0 x_3 [/mm] eine Schnittstelle.
Hast du mal die 3 Kurven geplottet?
[Dateianhang nicht öffentlich]
Gruss leduart
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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> Hallo
> Du tust jetzt so, als ob die ganzen posts umsonst waren.
> für fast alle t hat man 3 Schnittpunkte, ![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]")
> [mm]y_1=0, x_2,x_3[/mm] mit den Wurzeln.
Falls der Radikand negativ ist, werden allerdings [mm] x_2 [/mm] und [mm] x_3 [/mm]
echt komplex, das heißt es bleibt dann nur der einzige
Schnittpunkt (0|0) !
LG Al-Chw.
[Dateianhang nicht öffentlich]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:22 Mi 29.08.2012 | | Autor: | zayna |
jetzt bin ich verwirrt :-o
ich würde niemals hier etwas fragen, wozu ich hilfe brauche und dann so tun als ob eure antworten überflüssig wären. wozu würde ich dann diesen aufwand betreiben?
sry wenn etwas schriftliches manchmal anders ankommt, aber die unterstellung finde ich etwas gemein :/
Vielleicht bin ich nicht mit einem IQ von über 150 gesegnet, aber dennoch wollte ich einfach darum bitten, dass ich die zusammenhänge zu der o.g. aufgabe verstehe.
dazu folgt noch, dass sich bei mir im kopf schnell fragezeichen bilden, wenn es um mathe geht.
wenn ich es einmal verstanden habe, fällt es mir auch ziemlich einfach.
auch hatte ich mich nicht getraut meine lehrerin anzusprechen und es tut mir leid wenn ich jetzt nen falschen eindruck vermittelt habe, weil ich meinen sitznachbarn gefragt hab :|
dennoch danke für die hilfe
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> jetzt bin ich verwirrt :-o
> ich würde niemals hier etwas fragen, wozu ich hilfe
> brauche und dann so tun als ob eure antworten überflüssig
> wären. wozu würde ich dann diesen aufwand betreiben?
> sry wenn etwas schriftliches manchmal anders ankommt, aber
> die unterstellung finde ich etwas gemein :/
> dennoch danke für die hilfe
Hallo zayna,
es beabsichtigt hier natürlich niemand, dich zu verwirren.
Deine letzte Frage lautete:
ich habe meinen sitznachbarn gefragt und er meinte:
x1=0 -> das ist ein schnittpunkt immer wenn ich zwei x
(in dem fall [mm] x_2 [/mm] und [mm] x_3) [/mm] hab ist es ein berührpunkt, und
damit ich diesen herausbekomme müssen für beide x der
gleiche wert berechnet werden.
deswegen setzt man das unter der wurzel gleich null, damit
ich das t erhalte und somit beide x das gleiche sind.
ist das korrekt? mich verwirrte das gleichsetzen der beiden
ableitungen einwenig
Das ist zwar nicht alles so klar, aber man kann der Spur
nach vermuten, was der Sitznachbar meinte.
Für die Berührungseigenschaft zweier Funktionskurven
braucht man eigentlich die Ableitungen. Dass dies nicht
besprochen worden sein soll, würde mich eher wundern.
Frag also diesbezüglich allenfalls nach !
Wie ich in meiner ersten Antwort schon erwähnt habe,
berühren sich zwei Funktionsgraphen (von Polynomen)
an einer Stelle, wo das Gleichsetzen der Funktionsterme
auf eine Gleichung mit einer Doppel- (oder Mehrfach-)
Lösung führt. Mit diesem Hintergrundwissen
kann man dann allenfalls auf die Heranziehung der
Ableitung für die vorliegende Aufgabe verzichten -
aber ohne dieses Hintergrundwissen wohl kaum !
Alles Übrige wurde eigentlich schon gesagt. Bei weiteren
Fragen sind wir gerne behilflich - aber wir würden es auch
begrüßen, wenn euer Lehrer euch die Hintergründe zu den
Aufgabenlösungen auch korrekt und vollständig erklärt ...
LG Al-Chw.
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