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Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt:
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Ich möchte für zwei Körperflächen im kart. Koord.system deren Berührungspunkt berechnen. Die Körper sind ein Kegel mit elliptischer Grundfläche und ein Torus. Die Flächengleichungen lauten:
(1): [mm] \bruch{x^{2}}{a_{1}^{2}} [/mm] + [mm] \bruch{y^{2}}{b_{1}^{2}} [/mm] - [mm] \bruch{(z+c_{1})^{2}}{c_{1}^{2}} [/mm] = 0
(2): [mm] (c_{2} [/mm] - [mm] \wurzel{ (x*cos(phi) - y*sin(phi) - u)^2 + (x*sin(phi) + y*cos(phi))^{2}} )^{2} [/mm] + [mm] (z-t)^{2} [/mm] = [mm] a_{2}^{2} [/mm]
a,b und c sind jeweils gegeben. u,t und phi sind Parameter, die den Abstand der Körpermittelpunkte beschreiben.
Ich habe also die beiden Gleichungen mit x, y und z als Unbekannte.
Wenn ich nun Gleichungen für x, y und z finde, für die beide Gleichungen nur eine Lösung haben, dann müsste diese Lösung ja den Berührungspunkt beschreiben, abhängig von den Parametern u,t und phi.
Ist dies aber überhaupt lösbar, oder brauche ich noch Randbedingungen, die den Fall des Berührens definieren?
Ich habe versucht, das mit Mathcad und Matlab symbolisch zu lösen, hat aber nicht funktioniert.
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Du bist dir aber sicher, dass die Flächen sich nur in einem Punkt berühren? Theoretisch könnten sie sich ja auch durchdringen bzw. gar nicht treffen.
Aber prinzipiell gilt, dass jeder Punkt, der beiden Flächen angehört, auch beide Gleichungen erfüllen muss, du liegst also richtig.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:32 Do 27.08.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
Du hast 3 parameter um die 2 te Flaeche zu verschieben, damit kannst du keinen eindeutigen beruehrungspunkt erwarten.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:03 Fr 28.08.2009 | | Autor: | Thomas82 |
Es stimmt, mit den beiden Flächenbeschreibungen und den Parametern beschreibe ich nur die allgemeine Lage der Flächen. Mein Ziel ist es, zwei der drei Parameter vorzugeben und den dritten zu berechnen, aber genau für den Fall der Ein-Punkt-Berührung.
Offenbar brauche ich also noch eine Bedingung/Gleichung, mit der die Lösungen genau auf diesen einen Fall beschränkt werden.
Hat jemand eine Idee, wie so eine Bedingung aussehen könnte?
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Nach meiner Ansicht könnte es wertvoll sein, die
Gestalt und Lage der beiden Körper (bzw. Flächen)
geometrisch zu beschreiben. Wenn man sich etwas
anschaulich vorstellen kann, kommt man oft viel
eher auf die nötigen rechnerischen Überlegungen
(z.B. auch in Bezug auf die Anzahl der möglichen
Lösungen).
LG Al-Chwarizmi
(immer an geometrischen Überlegungen interessiert)
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> Ich möchte für zwei Körperflächen im kart. Koord.system
> deren Berührungspunkt berechnen. Die Körper sind ein
> Kegel mit elliptischer Grundfläche und ein Torus. Die
> Flächengleichungen lauten:
>
> (1): [mm]\bruch{x^{2}}{a_{1}^{2}}+\bruch{y^{2}}{b_{1}^{2}}-\bruch{(z+c_{1})^{2}}{c_{1}^{2}} = 0[/mm]
>
>
> (2): [mm]\left(c_{2}-\wurzel{ (x*cos(\phi) - y*sin(\phi) - u)^2 + (x*sin(\phi) + y*cos(\phi))^{2}} \right)^{2}+(z-t)^{2}=a_{2}^{2}[/mm]
>
> a,b und c sind jeweils gegeben. u,t und [mm] \phi [/mm] sind Parameter,
> die den Abstand der Körpermittelpunkte beschreiben.
Hallo Thomas,
ich kann mir zwar die Kegelfläche (1) gut vorstellen.
Diese Flächengleichung ist in den kartesischen
Koordinaten x,y,z ausgedrückt.
Mir ist aber nicht recht klar, ob die Gleichung (2)
wirklich einen Torus darstellt. Ich habe zwar
versucht, die Genese dieser Formel zu rekonstruieren,
glaube aber, dass du bei ihrer Aufstellung auf halbem
Weg stecken geblieben bist. In der Gleichung kommt
ausser den x-, y- und z-Koordinaten auch noch der
Winkel [mm] \phi [/mm] vor, wohl ein Überbleibsel aus der ur-
sprünglichen Parameterdarstellung.
Ich denke, dass du zuerst dieses [mm] \phi [/mm] aus der Glei-
chung eliminieren solltest.
Könntest du mal die Originaldaten für diesen Torus
angeben ?
LG Al-Chw.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:40 Di 01.09.2009 | | Autor: | Thomas82 |
Die Ausgangsgleichung für den Torus lautet:
[mm] (c-\wurzel{ x^{2} + y^{2} })^{2} [/mm] + [mm] z^{2} [/mm] = [mm] a^2
[/mm]
Die habe ich von hier: Torus
Das Phi ergibt sich aus den Koordinatentransformationen, die ich durchgeführt habe, um die Lage relativ zum Kegel zu beschreiben. Ich habe zwei Verschiebungen in x- und z-Richtung (u und t) sowie eine Rotation um die z-Achse des Kegels (Phi).
Morgen treffe ich eine Mathematikerin. Sie hat mir vorab gesagt, dass sich das Problem vielleicht durch Beschreibung der Tangentialebene im Berührungspunkt lösen lässt. Sonst bin ich auch noch nicht weiter gekommen.
Gruß
Thomas
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Hallo Thomas,
> Die Ausgangsgleichung für den Torus lautet:
> [mm](c-\wurzel{ x^{2} + y^{2} })^{2}[/mm] + [mm]z^{2}[/mm] = [mm]a^2[/mm]
Darf ich mir erlauben, das mit etwas anderen Bezeichnungen
zu notieren:
$\ [mm] (R-\wurzel{ x^{2} + y^{2} })^{2}+z^{2}=r^2$
[/mm]
Dies ist die Kreistorusfläche [mm] T_0 [/mm] , die durch Rotation des
in der x-z-Ebene liegenden Kreises k(M(R/0/0),Radius r)
um die z-Achse entsteht.
> Das Phi ergibt sich aus den Koordinatentransformationen,
> die ich durchgeführt habe, um die Lage relativ zum Kegel
> zu beschreiben. Ich habe zwei Verschiebungen in x- und
> z-Richtung (u und t) sowie eine Rotation um die z-Achse des
> Kegels (Phi).
(Das heisst also, dass die Zentralachse des Kegels zur
Rotationsachse des Torus parallel sein soll)
Da der Torus rotationssymmetrisch ist, könnte man ihn
auch durch Verschiebungen allein (in allen 3 Achsenrich-
tungen) in jede Lage bringen, welche auch durch Verschie-
bungen in x- und z-Richtung und nachfolgende Rotation
um die z-Achse möglich ist.
Ist die Rotation um die z-Achse als erste Bewegung
mit den nachfolgenden Verschiebungen gedacht, so kann
man auf diese Rotation überhaupt verzichten.
Den Kegel kann man sich leicht vorstellen: Seine Leitkurve
ist die Ellipse [mm] \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 [/mm] in der x-y-Ebene und seine Spitze
der Punkt $S(0/0/-c)$ auf der z-Achse (hier habe ich statt des
früheren [mm] c_1 [/mm] einfach $c$ geschrieben).
Wenn ich mir die beiden Flächen vorstelle, kann ich mir
denken, dass es dabei recht verschiedene Konstellationen
geben kann, in welchen sich die Flächen in einem (oder
auch in mehreren) Punkten berühren !
Könntest du uns noch verraten, aus welchem sachlichen
Zusammenhang diese Aufgabe stammt - oder handelt es
sich einfach um eine Frage aus der Kiste mit dem Label
"L' art por l' art" ?
> Morgen treffe ich eine Mathematikerin. Sie hat mir vorab
> gesagt, dass sich das Problem vielleicht durch Beschreibung
> der Tangentialebene im Berührungspunkt lösen lässt.
Natürlich müssen in einem Berührpunkt die Tangential-
ebenen der beiden Flächen übereinstimmen.
> Sonst bin ich auch noch nicht weiter gekommen.
>
> Gruß
> Thomas
LG Al-Chwarizmi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:37 Do 03.09.2009 | | Autor: | Thomas82 |
Hallo, ich habe jetzt einen Lösungsweg aufgezeigt bekommen, umsetzen muss ich ihn allerdings noch:
Da im Berührungspunkt die Tangentialebenen der Körper identisch sind, sind die Normalenvektoren in diesem Punkt kolinear. Berechnen lassen sich die Komponenten der Vektoren durch Ableitung der Flächengleichungen nach den Koordinaten x, y und z. Es gilt also:
[mm] \vektor{F_{1x} \\ F_{1y} \\ F_{1z}} [/mm] = [mm] \lambda*\vektor{F_{2x} \\ F_{2y} \\ F_{2z}}
[/mm]
Aus den 3 Komponentengleichungen kann man [mm] \lambda [/mm] eliminieren, wodurch 2 Gleichungen übrig bleiben.
[mm] f_{1}(x,y,z,u,t,phi) [/mm] = 0
[mm] f_{2}(x,y,z,u,t,phi) [/mm] = 0
Diese beiden Gleichungen müssen bzgl. x und y gelöst werden. Die Lösungen sind dann nur noch abhängig von u, t, phi und z.
$x = f(u, t, phi, z)$ $y = f(u, t, phi, z)$
Diese Lösungen setzt man in die Flächengleichungen ein, denn der Berührungspunkt muss ja auf beiden Flächen liegen. Da ich die Parameter u und phi vorgeben will, kann ich dann aus den Flächengleichungen meine Lösung ermitteln.
$t=f(u, phi)$
$z=f(u, phi)$
Soweit der Plan. Natürlich werde ich die erhaltene Lösung hier posten, sollte ich es noch rechtzeitig schaffen.
Die Aufgabenstellung ergibt sich übrigens aus einer wissenschaftlichen Arbeit und soll ein Fertigungsverfahren abbilden. Ziel ist es, theoretische Werkzeugbahnen zu berechnen.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:20 Do 10.09.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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