Beschl. mit Luftwiderst. - DGL < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Die Aufgabe lautet: Ein Auto [mm] (m_{A} [/mm] = 1000 kg) beschleunigt aus dem Stand mit [mm] a_{B} [/mm] = 2,5 [mm] \bruch{m}{s^{2}}. [/mm] Der Luftwiderstand betrage [mm] F_{R} [/mm] = D * [mm] v^{2}
[/mm]
Die Lösung fällt mit nicht schwer. Bloß zum Schluß bekomme ich eine DGL, die ich nicht lösen kann.
F = m * a
[mm] F_{B} [/mm] = [mm] m_{A} [/mm] * [mm] a_{B} [/mm] Beschleunigung des Autos
[mm] F_{R} [/mm] = D * [mm] v^{2} [/mm] Luftwiderstand (genau entgegengesetzt)
deshalb Resultierende:
[mm] F_{G} [/mm] = [mm] F_{B} [/mm] - [mm] F_{R} [/mm] = [mm] m_{A} [/mm] * [mm] a_{B} [/mm] - D * [mm] v^{2}
[/mm]
es gilt auch
[mm] F_{G} [/mm] = [mm] m_{A} [/mm] * a
daraus folgt für a (effektive Beschleunigung abhängig von Zeit t)
a(t) = [mm] a_{B} [/mm] - [mm] \bruch{ D * v(t)^{2}}{m_{A}}
[/mm]
v(t) nach Zeit abgeleitet ist a(t) , v'(t) = a(t) (also v punkt)
v'(t) = [mm] a_{B} [/mm] - [mm] \bruch{ D * v(t)^{2}}{m_{A}}
[/mm]
Wie löse ich diese Gleichung nun nach v(t) auf?
Vielen Dank für Antworten.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hi,
Du kannst die Dgl. nicht einfach nach v(t) auflösen, du musst wie folgt vorgehen.
Die DGl.
[mm] v'(t)=a-w*v^2 [/mm] wobei w=D/m
1) zuerst sucht man eine Lsg. der homogenen DGl., dass heisst
[mm] v'(t)+w*v^2=0
[/mm]
[mm] dv/dt+w*v^2=0 [/mm] "durch Trennung der Variablen"
[mm] dv/v^2=-w [/mm] dt "Integration"
-1/v=-w*t-C "nach v auflösen"
v.= 1/(w+C) "dies ist die Lsg der hom. DGl."
2) Dann eine Lsg der inhom. DGl.
Mit dem Ansatz v,=c=a und v,'=0 ensetzen in die DGl.
[mm] w*c^2=a [/mm] nach c auflösen
c= [mm] \wurzel[2]{m*a/D}
[/mm]
3.) Die allg. Lsg. der inhom. DGl. lautet dann
v(t)=v.+v,=1/(w+C) + [mm] \wurzel[2]{m*a/D}
[/mm]
C bekommst du dann durch sog. Anfangsbedingung wie z.B. v(0)=0
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Hallo Hamiltoneon,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
Der Ansatz homogene + inhomogene Lösung ist nur für lineare Differentialgleichungen richtig, wenn die Summe 2er Lösungen der homogenen Gleichung auch wieder eine Lösung ist. Hierbei handelt es sich aber um eine nichtlineare DGL. Die Nichtlinearität heißt dabei das die DGL in v nichtlinear ist. Hier [mm] v^2.
[/mm]
Alles klar?
gruß
mathemaduenn
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Ja natürlich ihr habt recht mit nichtlin. DGl. Sorry, aller Anfang ist schwer.
Der Ansatz würde nur funktionieren für ein nicht quadratisches v.
Die Lsg. kam mir auch einwenig spanisch vor.
Viele Grüsse und Dank an das matheraum-team, ciao
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Hallo Hamiltoneon,
Ja. Aller Anfang ist schwer. Ich hoffe Du lässt Dich dadurch nicht vom beantworten von Fragen im Matheraum abbringen. ![[chatten]](/images/smileys/chatten.gif "[chatten]")
gruß
mathemaduenn
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Hallo foxxylein,
Diese Differentialgleichung ist nichtlinear. In diesem Fall muß man ausprobieren (TdV,exakte DGL ...) oder man hat einen speziellen Typ einer DGL wie hier die Ricatti DGL.
Allgemein sieht diese DGL so aus:
[mm] y^{'}+g(x)y+h(x)y^2=k(x) [/mm]
Sie kann man mit der Transformation
[mm] u(x)=e^{ \integral {h(x)y(x) dx}}
[/mm]
in eine lineare DGL 2. Ordnung transformieren.
[mm]u'' + u'\left(g - \bruch{h'}{h}\right) - khu=0[/mm]
Für dein Beispiel ergibt das eine lineare DGL mit konstanten Koeffizienten.
Alles klar?
gruß
mathemaduenn
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Hallo foxxylein,
Mir ist noch eine Möglichkeit eingefallen diese DGL zu lösen und zwar mittels Transformation.
u(t)=v(t)+c
und c so das die Konstanten wegfallen.
Danach kann man mit Trennung der Veränderlichen weitermachen.
Kannst ja mal probieren.
gruß
mathemaduenn
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