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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:38 Fr 08.01.2010 | | Autor: | fndrx |
Hallo , wie sicherlich den meisten bekannt ist lautet die Diffgleichung für beschränktes Wachstum oder Zerfall :
f'(x) = k* (S-f(x))
Diese Gleichung wird von der fkt f(x) = S - c*e^(-xt) gelöst
Jedoch verstehe ich nicht wieso es k*(S-f(x)) Ist , immerhin ist doch
f(x) = S - c*e^(-xt) abegeleitet
f'(x) = x*c*e^(-xt)
Dann ist doch f(x) = S - c*e^(-xt) keine Lösung der Diffgleichung ? Ich glaube ich verstehe irgend etwas falsch aber
f'(x) = x*c*e^(-xt) = -x*f(x) soweit ist das alles logisch aber wie kommt dann das S , die Schranke wieder in die Diffgleichung :
f'(x) = k* (S-f(x))
Vielen Dank schonmal
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Hallo , wie sicherlich den meisten bekannt ist lautet die
> Diffgleichung für beschränktes Wachstum oder Zerfall :
>
> f'(x) = k* (S-f(x))
(es gäbe auch andere Differentialgleichungen, welche
ebenfalls Formen des beschränkten Wachstums be-
schreiben)
> Diese Gleichung wird von der fkt f(x) = S - c*e^(-xt)
> gelöst
>
> Jedoch verstehe ich nicht wieso es k*(S-f(x)) Ist ,
> immerhin ist doch
> f(x) = S - c*e^(-xt) abgeleitet
> f'(x) = x*c*e^(-xt) ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Dies wäre die Ableitung der Funktion f(t) = S - c*e^(-x*t)
nach der Variablen t !
> Dann ist doch f(x) = S - c*e^(-xt) keine Lösung der
> Diffgleichung ? Ich glaube ich verstehe irgend etwas falsch
> aber
>
> f'(x) = x*c*e^(-xt) = -x*f(x) soweit ist das alles logisch ![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]")
woher hast du jetzt diese Gleichung her ?
> aber wie kommt dann das S , die Schranke wieder in die
> Diffgleichung :
>
> f'(x) = k* (S-f(x))
>
> Vielen Dank schonmal
Hallo Florian,
du mixt hier verschiedene Variablen und Konstanten
durcheinander. In der obigen DGL ist offenbar x die
Variable, die für die Zeit stehen müßte. Dass du nachher
auch ein t verwendest, scheint mir darauf hinzudeuten,
dass du auch DGLn im Kopf hast, in denen die Zeit mit
t bezeichnet wird.
Zuerst musst du dich mal entscheiden, welche Variable
(x oder t) für die Zeit stehen soll und die andere raus-
werfen. Halten wir uns an die gegebene DGL
$\ f'(x)\ =\ k*(S - f(x))$
so ist x die Zeitvariable. Die allgemeine Lösung dieser
DGL kann man z.B. in dieser Form schreiben:
$\ f(x)\ =\ [mm] S-c*e^{-k*x}$
[/mm]
(vergleiche dies mit deiner obigen Formel !)
Am besten rechnest du dies nun mal selber durch
und stellst dann allfällige weitere Fragen.
LG Al-Chw.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:50 Fr 08.01.2010 | | Autor: | fndrx |
Ja Sie haben völlig Recht , da ist einiges durcheinander bei der Frage :D
Ich werde sie nochmal neu durchrechnen bzw dann dazu die frage stellen :
Die Diffgleichung de bes beschränkten Wachstums lautet ja :
f'(t) = k * ( S - f(t))
Meine Frage ist nun folgende :
Wenn f(t) = S - [mm] e^{-k*t} [/mm] Eine Lösung davon ist , muss sie ja abgeleitet irgendwie auf diese Form kommen :
f'(t) = k * ( S - f(t))
da nun aber f'(t) = [mm] k*e^{-kt} [/mm] ist und das nichts andere ist also k*f(t)
verstehe ich nicht wie man auf f'(t) = k * ( S - f(t)) kommt
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Hallo Florian,
vorweg: Wir duzen uns hier 
Dann: Es ist alles korrekt, wie eine kleine Umformung hier zeigt.
$f'(t) = [mm] ke^{-kt} [/mm] = k(S - S + [mm] e^{-kt}) [/mm] = k(S - (S - [mm] e^{-kt})) [/mm] = k(S - f(t))$
Das hätte man aber auch selbst sehen können, indem man in
$k(S - f(t))$ einfach mal $f(t)$ einsetzt und feststellt, dass dann da korrekterweise [mm] $ke^{-kt}$ [/mm] herauskommt.
MFG,
Gono.
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