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Beschr. Wachstum: Differenzialgleichung
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:38 Fr 08.01.2010
Autor: fndrx

Hallo , wie sicherlich den meisten bekannt ist lautet die Diffgleichung für beschränktes Wachstum oder Zerfall :

f'(x) = k* (S-f(x))

Diese Gleichung wird von der fkt f(x) = S - c*e^(-xt) gelöst

Jedoch verstehe ich nicht wieso es k*(S-f(x)) Ist , immerhin ist doch
f(x) = S - c*e^(-xt) abegeleitet
f'(x) = x*c*e^(-xt)

Dann ist doch f(x) = S - c*e^(-xt) keine Lösung der Diffgleichung ? Ich glaube ich verstehe irgend etwas falsch aber

f'(x) = x*c*e^(-xt) = -x*f(x) soweit ist das alles logisch aber wie kommt dann das S , die Schranke wieder in die Diffgleichung :

f'(x) = k* (S-f(x))

Vielen Dank schonmal



Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
Beschr. Wachstum: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:20 Fr 08.01.2010
Autor: Al-Chwarizmi


> Hallo , wie sicherlich den meisten bekannt ist lautet die
> Diffgleichung für beschränktes Wachstum oder Zerfall :
>  
> f'(x) = k* (S-f(x))

(es gäbe auch andere Differentialgleichungen, welche
ebenfalls Formen des beschränkten Wachstums be-
schreiben)

> Diese Gleichung wird von der fkt f(x) = S - c*e^(-xt)
> gelöst
>  
> Jedoch verstehe ich nicht wieso es k*(S-f(x)) Ist ,
> immerhin ist doch
>  f(x) = S - c*e^(-xt) abgeleitet
>  f'(x) = x*c*e^(-xt)     [notok]

Dies wäre die Ableitung der Funktion f(t) = S - c*e^(-x*t)
nach der Variablen t !

> Dann ist doch f(x) = S - c*e^(-xt) keine Lösung der
> Diffgleichung ? Ich glaube ich verstehe irgend etwas falsch
> aber
>
> f'(x) = x*c*e^(-xt) = -x*f(x) soweit ist das alles logisch    [haee]

woher hast du jetzt diese Gleichung her ?

> aber wie kommt dann das S , die Schranke wieder in die
> Diffgleichung :
>
> f'(x) = k* (S-f(x))
>
> Vielen Dank schonmal


Hallo Florian,

du mixt hier verschiedene Variablen und Konstanten
durcheinander. In der obigen DGL ist offenbar x die
Variable, die für die Zeit stehen müßte. Dass du nachher
auch ein t verwendest, scheint mir darauf hinzudeuten,
dass du auch DGLn im Kopf hast, in denen die Zeit mit
t bezeichnet wird.
Zuerst musst du dich mal entscheiden, welche Variable
(x oder t) für die Zeit stehen soll und die andere raus-
werfen. Halten wir uns an die gegebene DGL

     $\ f'(x)\ =\ k*(S - f(x))$

so ist x die Zeitvariable. Die allgemeine Lösung dieser
DGL kann man z.B. in dieser Form schreiben:

     $\ f(x)\ =\ [mm] S-c*e^{-k*x}$ [/mm]

(vergleiche dies mit deiner obigen Formel !)

Am besten rechnest du dies nun mal selber durch
und stellst dann allfällige weitere Fragen.

LG    Al-Chw.

Bezug
                
Bezug
Beschr. Wachstum: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:50 Fr 08.01.2010
Autor: fndrx

Ja Sie haben völlig Recht , da ist einiges durcheinander bei der Frage :D

Ich werde sie nochmal neu durchrechnen bzw dann dazu die frage stellen :

Die Diffgleichung de bes beschränkten Wachstums lautet ja :

f'(t) = k * ( S - f(t))

Meine Frage ist nun folgende :

Wenn f(t) = S - [mm] e^{-k*t} [/mm] Eine Lösung davon ist , muss sie ja abgeleitet irgendwie auf diese Form kommen :
f'(t) = k * ( S - f(t))

da nun aber f'(t) = [mm] k*e^{-kt} [/mm] ist und das nichts andere ist also k*f(t)
verstehe ich nicht wie man auf f'(t) = k * ( S - f(t)) kommt

Bezug
                        
Bezug
Beschr. Wachstum: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:02 Fr 08.01.2010
Autor: Gonozal_IX

Hallo Florian,

vorweg: Wir duzen uns hier :-)

Dann: Es ist alles korrekt, wie eine kleine Umformung hier zeigt.

$f'(t) =  [mm] ke^{-kt} [/mm] = k(S - S + [mm] e^{-kt}) [/mm] = k(S - (S - [mm] e^{-kt})) [/mm] = k(S - f(t))$

Das hätte man aber auch selbst sehen können, indem man in
$k(S - f(t))$ einfach mal $f(t)$ einsetzt und feststellt, dass dann da korrekterweise  [mm] $ke^{-kt}$ [/mm] herauskommt.

MFG,
Gono.

Bezug
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