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| Aufgabe | | Wann ist eine Folge konvergent? |
Ich habe hier 2 verschiedene Definitionen:
1: Es gibt eine obere (S1) und eine untere (S2) Schranke [mm] \in \IR, [/mm] sodass [mm] \forall [/mm] n [mm] \in \IN [/mm] : S1 <= [mm] a_{n} [/mm] <= S2
2: Es gibt eine Schranke S [mm] \in \IR, [/mm] sodass [mm] \forall [/mm] n [mm] \in \IN [/mm] : [mm] |a_{n}| [/mm] <= S
Besagt die zweite Definition nicht etwas anderes als die erste, bzw. ist die zweite nicht zu ungenau? Beispielsweise haben wir nach Def. 1 eine Folge mit oberer Schranke 2 und unterer 0, dann wäre nach Def. 2 die "untere Schranke" -2.
Gruß
GHoernle
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Hallo GHoernle,
> Wann ist eine Folge konvergent?
> Ich habe hier 2 verschiedene Definitionen:
Aber nicht für "konvergent" - du meinst beschränkt"
>
> 1: Es gibt eine obere (S1) und eine untere (S2) Schranke
> [mm]\in \IR,[/mm] sodass [mm]\forall[/mm] n [mm]\in \IN[/mm] : S1 <= [mm]a_{n}[/mm] <= S2
>
> 2: Es gibt eine Schranke S [mm]\in \IR,[/mm] sodass [mm]\forall[/mm] n [mm]\in \IN[/mm]
> : [mm]|a_{n}|[/mm] <= S
>
> Besagt die zweite Definition nicht etwas anderes als die
> erste, bzw. ist die zweite nicht zu ungenau? Beispielsweise
> haben wir nach Def. 1 eine Folge mit oberer Schranke 2 und
> unterer 0, dann wäre nach Def. 2 die "untere Schranke" -2.
Es gibt ja nicht "die" untere Schranke.
In der ersten Definition können [mm]s_1[/mm] und [mm]s_2[/mm] durchaus betraglich verschieden sein.
Wenn du in der ersten Definition mit [mm]s_1[/mm] eine untere Schranke gegeben hast, so ist jede kleinere Zahl [mm]s_0\le s_1[/mm] ja ebenfalls eine untere Schranke.
Ebenso nach oben hin, jede Zahl [mm]s_3\ge s_2[/mm] ist ebenfalls obere Schranke.
In der zweiten Definition wählt man eine Schranke [mm]s\ge 0[/mm] so, dass [mm]s[/mm] obere Schranke und [mm]-s[/mm] untere Schranke ist:
Es ist ja [mm]|a_n|=a_n[/mm] für [mm]a_n\ge 0[/mm] und [mm]|a_n|=-a_n[/mm] für [mm]a_n<0[/mm]
Also [mm]|a_n|\le s\gdw a_n\le s[/mm] falls [mm]a_n\ge 0[/mm]
und [mm]|a_n|\le s\gdw -a_n\le s\gdw a_n\ge -s[/mm] falls [mm]a_n<0[/mm]
Zusammen [mm]-s\le a_n\le s[/mm]
Das ist also ein "Spezialfall" von der ersten Def. mit [mm]s_1=-s[/mm] und [mm]s_2=s[/mm]
>
> Gruß
> GHoernle
>
LG
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:09 Di 14.09.2010 | | Autor: | G-Hoernle |
Ich meinte tatsächlich beschränkt, sorry :)
Damit ist meine Frage beantwortet, danke
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