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Forum "Stetigkeit" - Beschränkte Funktion
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Beschränkte Funktion: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:30 Sa 17.11.2007
Autor: jokerose

Aufgabe
Sei [mm] f:\IR\to\IR [/mm] eine beschränkte Funktion.
Zeige: [mm] \limes_{x\rightarrow0}x*f(x)=0 [/mm] .


Kann man diese Aufgabe mit Hilfe des Folgenkriteriums

(Hat f in [mm] x_{0} [/mm] den Grenzwert a [mm] \gdw \forall /x_{n}_{n} [/mm] : [mm] (\limes_{n\rightarrow\infty} x_{n} [/mm] = [mm] x_{0} \Rightarrow \limes_{n\rightarrow\infty} f(x_{n}) [/mm] = a.)

lösen?
Oder gibt es eine bessere Möglichkeit?

        
Bezug
Beschränkte Funktion: ohne Folgenkriterium
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:37 Sa 17.11.2007
Autor: Loddar

Hallo jokerose!


Das geht einfacher: $f(x) \ [mm] \text{ist beschränkt}$ [/mm] bedeutet ja $0 \ [mm] \le [/mm] \ [mm] \left| \ f(x) \ \right| [/mm] \ [mm] \le [/mm] \ A \ < \ [mm] \infty$ [/mm] .

Und nun einfach in den Grenzwertterm einsetzen und abschätzen:
[mm] $$\limes_{x\rightarrow0}x*f(x) [/mm] \ = \ [mm] \limes_{x\rightarrow0}x*\limes_{x\rightarrow0}f(x) [/mm] \ < \ ...$$

Gruß
Loddar


Bezug
                
Bezug
Beschränkte Funktion: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:53 So 18.11.2007
Autor: jokerose

Ich habe dann also geschrieben:

[mm] \limes_{x\rightarrow0}(x) [/mm] * [mm] \limes_{x\rightarrow0}f(x) [/mm] = 0 * [mm] \limes_{x\rightarrow0}f(x) [/mm] = 0.
Ist dies korrekt?

Weshalb darf man eingentlich schreiben:
[mm] \limes_{x\rightarrow0}(x*f(x) [/mm] )= [mm] \limes_{x\rightarrow0} [/mm] (x) * [mm] \limes_{x\rightarrow0} [/mm] f(x) ?
Gilt das immer? Oder ist diese Beziehung an gewisse Bedingungen geknüpft?

Bezug
                        
Bezug
Beschränkte Funktion: Grenzwertsatz
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:01 So 18.11.2007
Autor: Loddar

Hallo jokerose!


> Ich habe dann also geschrieben:
> [mm]\limes_{x\rightarrow0}(x) * \limes_{x\rightarrow0}f(x) = 0*\limes_{x\rightarrow0}f(x)=0[/mm]

[notok] Du musst hier noch die Abschätzung für $f(x)_$ (siehe oben) mit einbauen. Denn wäre [mm] $\limes_{x\rightarrow0}f(x) [/mm] \ = \ [mm] \pm\infty$ [/mm] , würden wir ja einen unbestimmten Ausdruck [mm] $0*(\pm\infty)$ [/mm] erhalten.


  

> Weshalb darf man eingentlich schreiben:
> [mm]\limes_{x\rightarrow0}(x*f(x)[/mm] )= [mm]\limes_{x\rightarrow0}[/mm](x) * [mm]\limes_{x\rightarrow0}[/mm] f(x) ?
> Gilt das immer? Oder ist diese Beziehung an gewisse
> Bedingungen geknüpft?

Das ist einer der MBGrenzwertsätze. Und Bedingung dafür ist, dass auch für beide Faktoren jeweils ein konkreter Grenzwert existiert.


Gruß
Loddar


Bezug
                                
Bezug
Beschränkte Funktion: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 11:06 So 18.11.2007
Autor: jokerose

Aha ja, das habe ich gezeigt, habe es nur vergessen dies hier rein zu schreiben. Habe einfach gezeigt, dass der Ausdruck [mm] \limes_{x\rightarrow0} [/mm] f(x) nicht [mm] \pm \infty [/mm] sein kann.

Vielen Dank für die tolle Hilfe.

Bezug
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