Beschränkte Funktion konstant < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 08:19 Mi 24.02.2010 | | Autor: | Pidgin |
Ich muss folgende Aufgabe lösen:
Für die in [mm] \mathds{C} [/mm] analytische Funktion f gilt |f(z)| [mm] \leq |z|^{1/2} [/mm] auf [mm] |z|\geq [/mm] 1. Jetzt soll ich beweisen, dass f dann nur konstant sein kann.
Ich hab leider keine Ahnung wie ich das lösen soll. In der Vorlesung haben wir den Satz von Louisville besprochen, der besagt, dass jede analytische beschränkte Funktion konstant sein muss. Leider kann ich [mm] |z|^{1/2} [/mm] nicht beschränken. Kann mir jemand einen Tipp geben, was ich machen kann?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:35 Mi 24.02.2010 | | Autor: | fred97 |
> Ich muss folgende Aufgabe lösen:
> Für die in [mm]\mathds{C}[/mm] analytische Funktion f gilt |f(z)|
> [mm]\leq |z|^{1/2}[/mm] auf [mm]|z|\geq[/mm] 1. Jetzt soll ich beweisen, dass
> f dann nur konstant sein kann.
>
> Ich hab leider keine Ahnung wie ich das lösen soll. In der
> Vorlesung haben wir den Satz von Louisville
Mann, Mann der Mann hieß Liouville
> besprochen, der
> besagt, dass jede analytische beschränkte Funktion
> konstant sein muss. Leider kann ich [mm]|z|^{1/2}[/mm] nicht
> beschränken. Kann mir jemand einen Tipp geben, was ich
> machen kann?
Mit Hilfe der Cauchyschen Integralformeln für die Ableitungen zeige:
(*) [mm] $|f^{(n)}(0)| \le [/mm] n!* [mm] \bruch{\wurzel{r}}{r^n}$ [/mm] für n [mm] \in \IN [/mm] und jedes r [mm] \ge1
[/mm]
Falls Ihr die Cauchyschen Abschätzungen schon hattet, kannst Du auch diese direkt benutzen.
Nun halte in (*) mal n fest. Was liefert Dir der Grenzübergang $ r [mm] \to \infty$ [/mm] ?
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 08:39 Mi 24.02.2010 | | Autor: | Pidgin |
Habe auch beim Studium des Skripts gemerkt, dass der gute Mann Liouville heißt. Ich hoffe er dreht sich nicht im Grab herum
Danke für die Hilfe. Ich habs jetzt gerade alleine auch so gelöst, war mir aber nicht sicher ob das stimmt.
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