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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:49 So 17.02.2008 | | Autor: | Interpol |
| Aufgabe | Beim Lösen von Kochsalz in destilliertem Wasser beschreibt die Fu. m (in g) die zur Zeit t bereits gelöste Menge an Kochsalz. Die gelöste Salzmenge kann einen bestimmten Wert [mm] m_0, [/mm] die Sättigungsgrenze, nicht überschreiten.
Beobachtungen haben gezeigt, dass die Geschwindigkeit, mit der sich m(t) ändert, näherungsweise prop. zur Menge des noch nicht lösbaren Salzes ist.
a) Stellen Sie die zugehörige Differenzialgleichung auf, wenn die Sättigungsgrenze bei 100g dest. Wasser 36mg Kochsalz beträgt.
b) Bestimmen Sie den Funktionsterm m(t), wenn für t = 0 noch kein Kochsalz inn 100 g dest. Wasser gelöst war, nach 30 Minuten aber 28g. |
Meine Überlegungen:
a)
m'(t) ~ S - m(t)
m'(t) = k (S-m(t))
[mm] m_0 [/mm] = 36g = S
ich weiß nicht, wie ich die 100g dest. Wasser einbauen soll, denn m(t) kann es ja nicht sein, da m(t) ja das Salz beschreibt.
m'(t) = k (36g - m(t))
und weiter komme ich nicht.
k = [mm] \bruch{m'(t)}{m(t)} [/mm] aber damit komme ich auch nicht weiter ...
b) m(0) = 0
m(30) = 28 t in min
m(t) = S - c * [mm] e^{-kt}
[/mm]
hier weiß ich wieder nicht, was ich mit den 100g dest. Wasser anfangen soll
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:04 So 17.02.2008 | | Autor: | Zneques |
Hallo,
"prop. zur Menge des noch nicht lösbaren Salzes"
heißt : der Teil des lösbaren ( [mm] =S-m_0 [/mm] Gesammtmenge ohne nicht mehr lösbares) der noch nicht gelößt ( [mm] =S-m_0-m(t) [/mm] ) wurde
[mm] m'(t)=k(S-m_0-m(t)) [/mm] für [mm] k\in\IR
[/mm]
und m(0)=0
[mm] \bruch{dm}{dt}=k(S-m_0-m)
[/mm]
[mm] \Rightarrow \bruch{1}{S-m_0-m}dm=kdt+c [/mm] (getrennte Variablen)
[mm] \Rightarrow ln(S-m_0-m)=kt+c
[/mm]
[mm] \Rightarrow S-m_0-m=e^{kt+c}=b*e^{kt}
[/mm]
Somit : [mm] m(t)=m_0-S-be^{kt}+c'
[/mm]
Ich hoffe mal ich habe nichts verdreht.
Ciao.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:25 So 17.02.2008 | | Autor: | Interpol |
Vielen Dank für die schnelle Antwort!
Leider habe ich ein paar Fragen:
Wir hatten gelernt, dass [mm] m_0 [/mm] (Sättigungsgrenze) = S (Schranke) ist, dass Sättigungsgrenze einfach ein anderer Ausdruck ist. Daher weiß ich nicht, was dann [mm] m_0 [/mm] bzw. S ist.
Und ich weiß nicht, wie man auf m'(t) = [mm] \bruch{dm}{dt} [/mm] kommt, bzw. was [mm] \bruch{dm}{dt} [/mm] ist.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:32 So 17.02.2008 | | Autor: | Zneques |
Ah, ok, ich wußte ja nicht welches Niveau die Lösung haben soll.
Da in der Aufgabe extra die Differenzialgleichung erwähnt wurde, bin ich mal vom "schlimmsten" ausgegangen. ;)
Wenn bereits bekannt ist das es eine Funktion [mm] m(t)=a+be^{kt} [/mm] mit a Grenzwert und b Anfangsdifferenz ist, kann man das etwas leichter angehen.
Also:
[mm] m'(t)=l(S-m_0-m(t)) [/mm] mit [mm] l\in\IR_+, [/mm] wobei
[mm] m(t)=a+be^{kt} \Rightarrow m'(t)=kbe^{kt}=k*m(t)-ka=k*(m(t)-a)
[/mm]
somit muss k=-l<0 und a=...
[mm] (\bruch{dm}{dt} [/mm] ist die Ableitung vom m nach der Variablen t. Also genau das was man unter m'(t) versteht. Mit ...dm ist dann [mm] \integral{... dm} [/mm] gemeint.)
Ciao.
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