Beschränktes Wachstum - DGL < Exp- und Log-Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Die Körpertemperatur eines Menschen wird mit einem digitalen Fieberthermometer gemessen. Dabei gibt [mm]d(t)[/mm] die Differenz zwischen der Körpertemperatur und der zum Zeitpunkt [mm]t[/mm] (t in Minuten) angezeigten Temperatur (in °C) an. Die Geschwindigkeit [mm]d'(t)[/mm], mit der sich [mm]d(t)[/mm] ändert, ist während der Messung zu jedem Zeitpunkt proportional zu [mm]d(t)[/mm] .
1. )Geben Sie für d(t) eine Differentialgleichung sowie eine Lösung zur Differentialgleichung an.
2.) Bei einer Untersuchung eines an der Krankheit Malaria erkrankten Menschen, dessen Körpertemperatur 39,5°C beträgt, steigt die Anzeige des Thermometers in den ersten 20 Sekunden von 20,0°C auf 32,8°C an.
Bestimmen Sie für diesen Fall die Funktionsgleichung d(t).
3.) Nach welcher Zeit erreicht die gemessene Temperatur 99% der vorhandenen Körpertemperatur?
4.) Die Messung wird automatisch beendet, wenn [mm]d'(t)=-0,1[/mm] ist. Wann ist dies der Fall?
5.) Welche Temperatur wird am Ende der Messung angezeigt? |
Hi,
soweit mal die Aufgabe. Mir ist eigentlich alles klar bis zu Frage 4.
Ich werd hier jetzt mal meine Lösung für Teil 1-3 zeigen und komm dann später konkret zu 4.).
zu 1.)
Beschränktes Wachstum:
DGL: [mm]d'(t)=a\cdot(b-d(t))[/mm]
Lösung: [mm]d(t)=ce^{-at}+b[/mm]
zu 2.)
[mm]d(t)=ce^{-at}+b[/mm]
b=39,5
c=-19,5
a=3,205 (bei t in Minuten)
[mm]d(t)=19,5e^{-3,205t}+39,5[/mm]
zu 3.)
99% der Körpertemperatur: [mm]T_K=39,5 \cdot 0,99 = 39,105[/mm]
[mm]39,105=19,5e^{-3,205t}+39,5[/mm]
[mm]t=1,2166[/mm]
zu 4.)
[mm]d'(t)=3,205 \cdot 19,5^{-3,205\cdot t}[/mm]
Es soll sein: [mm]-0,1 = 3,205 \cdot 19,5^{-3,205\cdot t}[/mm]
Meiner Meinung nach ist dies nicht möglich. Da ja beschränktes Wachstum vorliegt, kann ja eigentlich die Steigung nie negativ sein.
Seh ich, dass richtig oder steh ich da grad irgendwo auf der Leitung? Oder ist es ein Tippfehler in der Aufgabenstellung?
Ich hab es mal gerechnet für [mm]0,1 = 3,205 \cdot 19,5^{-3,205\cdot t}[/mm]
t=2,08 (gerundet)
zu 5.)
Es nähert sich der Schranke 39,5°C an.
Kann mir bitte bei 4.) jemand kurz sagen, ob ich falsch liege, oder ob da ein Fehler bei der Aufgabe ist?
Danke
Gruß
Hackbert-celine
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Die FRage hat sich geklärt.
Gruß
hackbert-celine
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:04 Di 17.04.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
Wenn es sich geklaert hat hoffentlich mit d'=a*d, dein Ansatz war falsch.
Gruss leduart
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