Beschränktheit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:18 Mo 30.06.2014 | | Autor: | Qight |
| Aufgabe | Sei f: [mm] \IR \to \IR [/mm] stetig und die Grenzwerte
[mm] v = \limes_{x\rightarrow-\infty} f(x) \in \IR [/mm] und [mm]w = \limes_{x\rightarrow\infty} f(x) \in \IR [/mm]
mögen existieren. Zeigen Sie:
i) f ist beschränkt.
ii) Gilt zusätzlich v = w, so nimmt f sein Maximum oder sein Minimum in [mm] \IR [/mm] an.
iii) Bleibt die Behauptung in ii) ohne die Voraussetzung v = w richtig? (Beweis oder Gegenbeispiel) |
Gut, hier brächte ich glaube ich kurz einen Tipp. Also f ist auf alle beschränkt, wenn es sich um eigentliche Grenzwerte handelt, doch würde es auch bei uneigendlichen Grenzwerten auch funktionieren? Ansonsten würde ich hier nach einer oberen und unteren Schranke suchen, und somit die Beschränktheit zeigen. Richtiger Ansatz?
ii) Bei dieser Aufgabe bin ich verwirrt. Wenn die Funktion gegen einen Wert konvergiert, so nimmt sie Maximum und Minimum an. Das leuchtet mir noch nicht ein, warum dass dann auch alle Fälle einen Maximum und Minimum geben muss. Als Idee habe ich mir mal die Quadratfunktion vorgestellt, die stetig ist und einen Tiefpunkt hat. Nur was ist mit dem Maximum. In [mm] \IR [/mm] läuft dieser ja gegen [mm] \infty [/mm] . Kann das also stimmen?
iii) Da ich die ii) nicht sicher verstanden habe, kann ich mir diese nicht wirklich beantworten.
|
|
| |
|
Hiho,
> Sei f: [mm]\IR \to \IR[/mm] stetig und die Grenzwerte
> [mm]v = \limes_{x\rightarrow-\infty} f(x) \in \IR[/mm] und [mm]w = \limes_{x\rightarrow\infty} f(x) \in \IR[/mm]
> mögen existieren.
Das bedeutet insbesondere: $v,w [mm] \in \IR$, [/mm] d.h der Fall $|v| = [mm] \infty$ [/mm] oder $|w| = [mm] \infty$ [/mm] kann nicht auftreten
> Gut, hier brächte ich glaube ich kurz einen Tipp. Also f
> ist auf alle beschränkt, wenn es sich um eigentliche
> Grenzwerte handelt, doch würde es auch bei uneigendlichen
> Grenzwerten auch funktionieren?
Nein natürlich nicht. Alleine wenn schon v oder w unendlich wäre, wäre f doch nicht mehr beschränkt.
> Ansonsten würde ich hier nach einer oberen und unteren Schranke suchen, und somit die Beschränktheit zeigen. Richtiger Ansatz?
Ja.
Du kannst dir eine obere und untere Schranke konstruieren in dem Fall.
> ii) Bei dieser Aufgabe bin ich verwirrt. Wenn die Funktion gegen einen Wert konvergiert, so nimmt sie Maximum und Minimum an.
Da steht oder und nicht und!
D.h. es reicht, wenn eines von beiden angenommen wird und nur das wirst du auch zeigen können. Im Allgemeinen wird nämlich gar nicht beides angenommen.
> iii) Da ich die ii) nicht sicher verstanden habe, kann ich mir diese nicht wirklich beantworten.
Genau, die machen wir mal, wenn du ii) hast.
Gruß,
Gono.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:01 Mo 30.06.2014 | | Autor: | Qight |
Danke für die schnelle Antwort Gono,
Gut ich werde dann mal eben die Schranken versuchen zu ermitteln und dann die Beschränktheit zeigen.
Das ODER habe ich vollkommen falsch gelesen und ich war damit total verwirrt. Ich konnte mir so nämlich keine stetige Funktion vorstellen, die diese Kriterien erfüllt. Gut, dann mache ich mir hierzu auch mal meine Gedanke und bringe dann meine Ansätze zum Besten.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:48 Di 01.07.2014 | | Autor: | Qight |
Also ich habe mir zu i) noch was anderes gedacht, nämlich einen Widerspruchsbeweis.
Ich nehme also an, dass f nicht beschränkt ist. Somit gibt es eine divergente Folge (divergent, da sie nicht beschränkt ist) [mm] x_n \to \infty [/mm], mit [mm] n \to \infty [/mm], so dass für alle [mm] n \in \IN [/mm] gilt [mm] |f(x_n)| > x [/mm]. Wenn f aber gegen [mm] \infty [/mm] einen Grenzwert hat, dann widerspricht sich das doch. Jetzt muss ich das nur noch mathematischer Ausdrücken, nur bin ich mit diesem Ansatz auf dem richtigen Weg?
zur ii). Ich muss doch zeigen, dass ausgenommen von den Rändern ein Max oder Min in [mm] \IR [/mm] exisitert.
Meine Idee. Es gilt, v=w (nehmen wir mal an [mm] w=v=+\infty [/mm] ), also gibt es zu einem A>0 immer ein B>0, so dass für alle x außerhalb des Intervalls [-B;B] gilt: f(x)>A.
Wir betrachten nun das Intervall [-B;B]. Dieses ist kompakt und da f stetig ist, nimmt f Max oder Min innerhalb an.
Hier bleibe ich nun hängen, ist die Idee denn richtig?
|
|
|
| |
|
Hiho,
> Also ich habe mir zu i) noch was anderes gedacht, nämlich einen Widerspruchsbeweis.
Ja, aber es geht direkt schneller und schöner.
> Ich nehme also an, dass f nicht beschränkt ist. Somit gibt es eine divergente Folge (divergent, da sie nicht beschränkt ist) [mm]x_n \to \infty [/mm], mit [mm]n \to \infty [/mm], so dass für alle [mm]n \in \IN[/mm] gilt [mm]|f(x_n)| > x [/mm].
Wieso sollte f in [mm] \infty [/mm] oder [mm] -\infty [/mm] unbeschränkt sein? Wer sagt, dass es nicht einen Pol gibt, der stetig ergänzbar ist?
Wie du siehst: Zeige es lieber direkt, das geht schneller und schöner....
> (nehmen wir mal an [mm]w=v=+\infty[/mm] )
Nochmal: Diese Annahme ist totaler Blödsinn, weil die Voraussetzungen gerade sind, dass [mm] $v,w\not= +\infty$!
[/mm]
Ich sagte dir bereits, dass $v,w [mm] \in\IR$ [/mm] gilt!
Es gibt zwei Fälle für $v=w$:
i) $f [mm] \equiv [/mm] v$
ii) f ist nicht konstant
Gruß,
Gono.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:41 Di 01.07.2014 | | Autor: | Qight |
Okay, dann versuche ich es nochmal mit Schranken. Seihen X und N eine Menge. Eine Funktion f: N [mm] \to [/mm] X heißt beschränkt, wenn die Menge {d( [mm] f(n_1), f(n_2) [/mm] : [mm] n_1 [/mm] , [mm] n_2 \in [/mm] N} in [mm] \IR [/mm] beschränkt ist. Dabei sei [mm] d(f(n_1), f(n_2)) [/mm] die Abstandsfunktion.
Sei also f: [mm] \IR \to \IR [/mm] eine stetige Funktion. Irgendwie hänge ich hier fest. Wie kann ich damit denn Schranken bilden?
|
|
|
| |
|
Hiho,
dein Ansatz zeigt, dass du nicht wirklich im Stoff stehst und nur sinnlos Definitionen zusammen schreibst.
Welche Abstandsfunktion nutzt man denn normalerweise auf [mm] $\IR$?
[/mm]
Fangen wir mal an das auszunutzen, was gegeben ist: Es gilt also
$v = [mm] \lim_{x\to\infty} [/mm] f(x) = [mm] \lim_{x\to -\infty} [/mm] f(x)$
Was bedeutet das also nach der Definition des Funktionengrenzwerts?
[mm] $\exists n\in \IN \ldots$
[/mm]
Gruß,
Gono.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:53 Di 01.07.2014 | | Autor: | Qight |
Normalerweise nutzt man die Betragsfunktion als Abstandfunktion im [mm] \IR [/mm] . Sprich [mm] |x - x_0| [/mm] .
Für den Grenzwert gilt:
[mm] \forall \epsilon [/mm] > 0 : [mm] \exists [/mm] n [mm] \in \IN \forall n_0 \ge [/mm] n: [mm] |x_{n_0} [/mm] -x| < [mm] \epsilon [/mm] . Nur ist das nicht der Grenzwert einer Funktion, sondern der einer Folge.
Für eine Funktion muss doch gelten:
Sei [mm] \epsilon [/mm] > 0 und eine Zahl [mm] \delta [/mm] > 0 exisitert, so dass gilt, wenn [mm] 0 < |x-c| < \delta [/mm] dann folgt [mm] | f(x) - L| < \epsilon [/mm] .
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:17 Di 01.07.2014 | | Autor: | DieAcht |
Hier stand nicht viel richtiges.
DieAcht
|
|
|
| |
|
Hiho,
> Normalerweise nutzt man die Betragsfunktion als
> Abstandfunktion im [mm]\IR[/mm] . Sprich [mm]|x - x_0|[/mm] .
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Für den Grenzwert gilt:
> [mm]\forall \epsilon[/mm] > 0 : [mm]\exists[/mm] n [mm]\in \IN \forall n_0 \ge[/mm]
> n: [mm]|x_{n_0}[/mm] -x| < [mm]\epsilon[/mm] . Nur ist das nicht der
> Grenzwert einer Funktion, sondern der einer Folge.
Entgegen Der Acht bin ich der Meinung, dass das richtig ist. Und vermutlich hab ich damit auch recht 
Nur deine Verwendung von n und [mm] n_0 [/mm] ist etwas verwirrend, aber so wie du es aufgeschrieben hast, ist das richtig, wenn du damit die Konvergenz gegen x meinst.
> Für eine Funktion muss doch gelten:
> Sei [mm]\epsilon[/mm] > 0 und eine Zahl [mm]\delta[/mm] > 0 exisitert, so
> dass gilt, wenn [mm]0 < |x-c| < \delta[/mm] dann folgt [mm]| f(x) - L| < \epsilon[/mm]
Ja, dass gilt für den Fall, dass du $L = [mm] \lim_{x\to c} [/mm] f(x)$ hast.
Wir haben aber nicht [mm] $\lim_{x\to c}$ [/mm] sondern [mm] $\lim_{x\to\infty}$, [/mm] was gilt da?
Wir sind langsam auf dem Weg....
Gruß,
Gono.
|
|
|
|
![[sorry]](/images/smileys/sorry.gif "[sorry]"){kind=small}
. Vielen Dank für's Aufpassen. Ich
