Beschränktheit < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:07 So 02.11.2014 | | Autor: | Trikolon |
| Aufgabe | | Sei [mm] (z_n) [/mm] eine Folge mit 0 [mm] \le z_{n+1} \le (1-a)z_n+b, [/mm] wobei 0<a<1, b [mm] \ge [/mm] 0, [mm] z_0 \ge [/mm] 0. Zeige dass [mm] (z_n) [/mm] beschränkt ist und gib eine obere Schranke an. |
Hallo,
nach unten ist die Folge durch 0 beschränkt, aber wodurch ist sie nach oben beschränkt?
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> Sei [mm](z_n)[/mm] eine Folge mit 0 [mm]\le z_{n+1} \le (1-a)z_n+b,[/mm]
> wobei 0<a<1, b [mm]\ge[/mm] 0, [mm]z_0 \ge[/mm] 0. Zeige dass [mm](z_n)[/mm]
> beschränkt ist und gib eine obere Schranke an.
> Hallo,
>
> nach unten ist die Folge durch 0 beschränkt, aber wodurch
> ist sie nach oben beschränkt?
Hallo Trikolon,
hast du denn schon ein wenig gespielt mit einer
solchen Folge ?
Es lohnt sich sehr oft, zuerst mal ein paar Beispielfolgen
zu betrachten. Daraus kann man dann Vermutungen
ableiten und dann versuchen, diese zu beweisen.
Du kannst dir ja mal ein Beispiel konstruieren, bei
dem man (entgegen der Behauptung) eine unbe-
schränkte Folge erhalten würde. Was für Werte
sollte man für die Parameter a und b testen, um
wenigstens zu Folgen zu kommen, die auch sehr
große Werte annehmen können ?
Und dann schaust du dir mal ein konkretes Beispiel
dieser Sorte etwas näher an !
LG , Al-Chw.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:37 So 02.11.2014 | | Autor: | Trikolon |
Wenn ich z.b. [mm] (z_n) [/mm] = n wähle , a=0,5 und b = 5. Dann sind ja alle Bedingungen erfüllt. Aber diese Folge ist ja nicht beschränkt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:15 So 02.11.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Wenn ich z.b. [mm](z_n)[/mm] = n wähle , a=0,5 und b = 5. Dann sind
> ja alle Bedingungen erfüllt.
glaubst Du?
> Aufgabe
> Sei $ [mm] (z_n) [/mm] $ eine Folge mit 0 $ [mm] \le z_{n+1} \le (1-a)z_n+b, [/mm] $ wobei
> 0<a<1, b $ [mm] \ge [/mm] $ 0, $ [mm] z_0 \ge [/mm] $ 0
Es ist
[mm] $z_1=1\,.$
[/mm]
Demzufolge muss für [mm] $z_2=2$ [/mm] dann
$0 [mm] \le z_2=2 \le (1-0,5)z_1+5$
[/mm]
gelten. Das ist noch in Ordnung.
Schauen wir uns aber mal
[mm] $z_9=9$ [/mm]
an. Dann muss für [mm] $z_{10}=10$
[/mm]
$0 [mm] \le z_{10}=10 \le (1-0,5)*z_9+5=9,5$
[/mm]
gelten...
Ich bezweifle, dass $10 [mm] \le [/mm] 9,5$ gilt - ansonsten gib' mir bitte 10 Euro, und ich gebe
Dir [mm] $9,5\,$ [/mm] zurück. Wegen $10 [mm] \le [/mm] 9,5$ hättest Du dann ja sicher keinen Verlust
gemacht. 
P.S. Strategie (wir behalten im Hinterkopf, dass alle [mm] $z_k \ge [/mm] 0$ sind):
[mm] $z_2 \le (1-a)z_1+b\,.$
[/mm]
Damit folgt auch
[mm] $z_3 \le (1-a)z_2+b \le (1-a)*\{(1-a)z_1+b\}+b=(1-a)^2z_1+b*(1+(1-a))$
[/mm]
Weiter
[mm] $z_4 \le (1-a)z_3+b \le (1-a)*\{(1-a)^2z_1+b*(1+(1-a))\}+b \le (1-a)^3z_1+b*(1+(1-a)+(1-a)^2)$
[/mm]
Idee: Verallgemeinere das, was Du siehst (bzw. ich nehme Dir das mal vorweg):
$0 [mm] \le z_{n+1} \le (1-a)^n*z_1+b*\sum_{k=0}^{n-2} (1-a)^k$ [/mm] für alle natürlichen $n [mm] \ge [/mm] 2$
und beweise diese Ungleichung noch detailliert, wie man es von Euch
verlangt: Also per Induktion. (Später würde solch' eine Herleitung wie
hier durchaus reichen - im Induktionsbeweis wird das auch nicht viel anders
aussehen, aber sauberer strukturiert sein und etwas detailgetreuer stehen!)
Frage an Dich: Was bringt Dir das? (Denke etwa auch an die geometrische
Reihe - beachte $(1-a) [mm] \in ]0,1[\,.$) [/mm]
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:54 Mo 03.11.2014 | | Autor: | Trikolon |
Ok, danke.
Das kann ich soweit nachvollziehen. Wie kann ich daraus jetzt eine obere Schranke für [mm] (z_n) [/mm] angeben?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:25 Mo 03.11.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Ok, danke.
> Das kann ich soweit nachvollziehen. Wie kann ich daraus
> jetzt eine obere Schranke für [mm](z_n)[/mm] angeben?
na, es gilt doch
[mm] $(1-a)^n *z_1 \to [/mm] 0$
(eigentlich noch viel besser:
[mm] $(1-a)^n*z_1 \le z_1$)
[/mm]
und zudem
[mm] $\sum_{k=0}^{n-2} (1-a)^k$
[/mm]
ist hier durch
[mm] $\frac{1}{1-(1-a)}=\frac{1}{a}$
[/mm]
nach oben beschränkt. (Warum?)
Also? (Beachte allerdings, dass wir somit erstmal *nur* eine Aussage über
eine obere Schranke für [mm] $z_{n+1}$ [/mm] bei $n [mm] \ge [/mm] 2$ bekommen.)
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:43 Di 04.11.2014 | | Autor: | Trikolon |
Also ist [mm] z_{n+1} [/mm] für n [mm] \ge [/mm] 2 durch 1/a nach oben beschränkt.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:00 Di 04.11.2014 | | Autor: | fred97 |
> Also ist [mm]z_{n+1}[/mm] für n [mm]\ge[/mm] 2 durch 1/a nach oben
> beschränkt.
Nein. Für n [mm] \ge [/mm] 2 ist
0 [mm] \le z_{n+1} \le (1-a)^nz_1+b*\summe_{k=0}^{n-2}(1-a)=(1-a)^nz_1+b*\bruch{1-(1-a)^{n-1}}{1-(1-a)} \le z_1+b*\bruch{1}{1-(1-a)} =z_1+b*\bruch{1}{a}
[/mm]
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:17 Di 04.11.2014 | | Autor: | Trikolon |
Danke. Ich hatte die geometrische Reihe falsch angewandt. Jetzt sieht man ja dass [mm] z_{n+1} [/mm] nach oben beschränkt ist. Folgt daraus dass dann auch z_ nach oben beschränkt ist?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:34 Di 04.11.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Danke. Ich hatte die geometrische Reihe falsch angewandt.
> Jetzt sieht man ja dass [mm]z_{n+1}[/mm] nach oben beschränkt ist.
> Folgt daraus dass dann auch z_ nach oben beschränkt ist?
z_ ist wohl [mm] $(z_n)$?
[/mm]
Sei mir nicht böse, aber manchmal frage ich mich, ob in manchen Beweisen
nicht aufgepasst wird, oder ob die überhaupt verstanden worden sind.
Kennst Du etwa den Beweis, dass konvergente Folgen stets beschränkt
sind? (Natürlich wissen wir hier NICHT, ob wir eine konvergente Folge
haben.)
Ich frage deshalb, weil es da eine einfache Argumentation drin gibt, die
man einmal verstanden haben muss. Ich mache eine analoge nun hier, falls
Du den genannten Beweis kennst, wirst Du die entsprechende Stelle, die
ich dort meine, sicher nachschlagen können:
Wir wissen hier: Für alle $n [mm] \ge [/mm] 3$ ist
[mm] $z_n \le [/mm] S$
mit einer Schranke $S [mm] >0\,,$ [/mm] die Du näher angeben kannst.
Wir setzen
[mm] $S\,':=\max\{|z_1|,\;|z_2|,\;S\}$ [/mm] (ja, die Beträge könnte ich mir hier auch sparen...)
Dann ist [mm] $S\,'$ [/mm] eine obere Schranke für [mm] $(z_n)_{n=1}^\infty,$ [/mm] weil...?
(Beachte: [mm] $S\,' \in \IR$ [/mm] und [mm] $S\,' [/mm] > [mm] 0\,.$ [/mm] Wieso ist [mm] $S\,' \in \IR$ [/mm] [anders gefragt: Wieso ist [mm] $S\,'=\infty$ [/mm]
unmöglich?] und wieso ist [mm] $S\,' [/mm] > 0$?)
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:49 Di 04.11.2014 | | Autor: | Trikolon |
Danke, ich dachte man könnte die obere Schranke etwas direkter angeben, also ohne Das Maximum aus drei „Möglichkeiten“. Da also 0 eine untere und S' eine obere Schranke ist, ist [mm] (z_n) [/mm] beschränkt.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:52 Di 04.11.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Danke, ich dachte man könnte die obere Schranke etwas
> direkter angeben, also ohne Das Maximum aus drei
> „Möglichkeiten“.
kannst Du auch:
[mm] $S\,'':=|z_1|+|z_2|+S$
[/mm]
wird's tun.
> Da also 0 eine untere und S' eine
> obere Schranke ist, ist [mm](z_n)[/mm] beschränkt.
So ist's.
P.S. Achja, bitte nicht von DER, sondern von EINER oberen Schranke
reden! (Wenn Du eine hast, hast Du eh automatisch auch unendlich
viele!)
Gruß,
Marcel
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