Beschränktheit < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Sei M [mm] \subset \IR [/mm] eine beschränkte Teilmenge von [mm] \IR [/mm] und sei f:M [mm] \to\IR [/mm] gleichmäßig stetig auf M.
Zeigen Sie, dass f(M) beschränkt ist! |
Was ich weiß:
- eine menge ist kompakt, wenn sie abgeschlossen und beschränkt ist.
- ist M kompakt und f stetig, dann ist der Wertebereich von f beschränkt und f nimmt sein minimum und maximum an.
Aber kann ich das überhaupt verwenden? Wie geh ich das sonst am besten an?
Vielen Dank euch schon mal!
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:40 So 18.06.2006 | | Autor: | papillon |
Kann mir denn keiner weiterhelfen, ist das echt so schwer?
Ich vermute, man muss mit irgendwelchen sätzen argumentieren, definitionen anwenden usw.
Aber vielleicht kennt sich ja einer mit sowas aus?
Danke!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:16 So 18.06.2006 | | Autor: | SEcki |
> Kann mir denn keiner weiterhelfen, ist das echt so schwer?
Nein, ist es nicht.
> Ich vermute, man muss mit irgendwelchen sätzen
> argumentieren, definitionen anwenden usw.
Das muss man immer 
> Aber vielleicht kennt sich ja einer mit sowas aus?
Es gibt mehrere Möglichkeiten, zB: du kannst ja M mit endlich vielen Intervallen der Länge [m]2*\varepsilon[/m] überdecken (warum?), auf diesen Intervallen geschnitten mit M ist f beschränkt (jedenfalls wenn man es passend mit glm. Stetigkeit verbindet) (warum?). Jetzt folgt die Behauptung über endliche Summation. Andere Idee: nimm den kompakten Abschluß von M und zeige, dass man f auf diesen stetig fortsetzen kann.
SEcki
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Vielen Dank für die Tipps. Aber leider hat es bei mir immer noch nicht gezündet, tut mir leid. Es fällt mir einfach sehr schwer, den abstrakten Beweis oder auch nur einen Ansatz zu verstehen. Kann mir das einer noch etwas genauer erklären?
Danke schon mal!
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Die Menge ist doch gar nicht automatisch kompakt oder? Sie könnte ja schließlich so aussehen:
M = ]0,5] und f = 1/x
Dann ist f gleichmäßig (?) stetig auf M, aber nicht beschränkt!
...und die aufgabenstellung quatsch.
Bedeutet dieses "gleichmäßig" vielleicht etwas besonderes, was ich nicht beachtet habe?
MabelLeaf
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:39 Mi 26.07.2006 | | Autor: | Barncle |
Also ich denke, eine beschränkte Menge muss abgeschlossen sein!?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:49 Mi 26.07.2006 | | Autor: | MabelLeaf |
Nee, da bin ich mir eigentlich ziemlich sicher, dass das nicht so ist.
Sonst bräuchte man ja den Terminus "kompakt =abgeschlossen & beschränkt" nicht.
Beschränkt ist eine Menge wenn, man eine untere und eine obere Schranke legen kann, über die die Werte nicht drüber gehen. (in meinem Fall sind das 0 und 5)
MFG
MabelLeaf
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Hallo MabelLeaf,
Bei gleichmäßiger Stetigkeit muß das [mm] \delta [/mm] unabhängig von der betrachteten Stelle [mm] x_0 [/mm] sein. Das geht bei Deiner Funktion nicht.
viele Grüße
mathemaduenn
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Danke
Ich kenn mich aber leider mit dieser [mm] \delta-Definition [/mm] von Stetigkeit nicht so aus.
Bedeutet diese Unabhängigkeit, dass jede gleichmäßig stetige Funktion, sowieso beschränkt ist, weil ich ja über den gesamten Bereich (nicht nur über [mm] x_{0}) [/mm] meine [mm] \delta-Konstante [/mm] rüberlegen können muss?
MabelLeaf
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Hallo MabelLeaf,
Ja auf einem beschränkten Intervall muß eine glm. stetige Funktion beschränkt sein. Das war ja genau die Anfangsaufgabe.
viele Grüße
mathemaduenn
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:06 Mi 26.07.2006 | | Autor: | dump_0 |
Also wenn f gleichmäßig stetig ist, dann müsste es doch auch automatisch kompakt sein oder, also abgeschlossen und beschränkt laut Def.?
Nach dem Satz vom Maximum für stetige kompakte Funktionen besitzen diese doch ein [mm] $f(x_0) [/mm] = inf(f)$ und [mm] $f(x_1) [/mm] = sup(f)$ und damit ist doch dann die Beschränktheit sowieso gegeben?
gleichmäßig stetig bedeutet, dass du für jedes [mm] $\varepsilon [/mm] > 0$ ein [mm] $\delta [/mm] > 0$ wählen kannst, sodass für $x,y [mm] \in [/mm] M$ gilt: $||x - y|| < [mm] \delta \Rightarrow [/mm] ||f(x) - f(y)|| < [mm] \varepsilon$.
[/mm]
Zum Beispiel ist $f(x) = x$ gl. stetig, $f(x) = [mm] x^2$ [/mm] aber nur auf einer beschränkten Menge und nicht z.B. auf ganz [mm] $\IR$
[/mm]
Grüße
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:00 Mi 26.07.2006 | | Autor: | MabelLeaf |
> Also wenn f gleichmäßig stetig ist, dann müsste es doch
> auch automatisch kompakt sein oder, also abgeschlossen und
> beschränkt laut Def.?
Diese Argumentation finde ich etwas sinnlos. Wenn du gleich im ersten Satz die Antwort hinschreibst (f ist beschränkt) mit der Begründung dass das die Definition wäre? ......Für was ist dann im Übrigen der Rest der Begründung gut?
Falls du gemeint hast dass der Definitionsbereich M kompakt sein muss: Im allgemeinen nicht. was ist zum Beispiel mit sinx? Die Funktion ist doch auch gleichmäßig stetig auf [mm] \IR. [/mm] Und M weder abgeschlossen, noch beschränkt.
Dank deiner Erklärung hab ich das jetzt aber, glaub ich, verstanden. Die Gleichmäßige Stetigkeit schließt Polstellen aus
[wenn die Steigung immer größer wird, kann ich kein klein genuges [mm] \delta [/mm] finden, weil der Abstand der Funktionwerte |f(x) - f(y)| ja immer größer wird]
Da Polstellen also ausgeschlossen sind, kann ich mir die Abgeschhlossenheit von M sparen, weil ich jetzt weiß, das eine stetige Funktion die Schranken von M (beschränktheit von M war gegeben) bei einem reellem Wert schneidet. Dann ist der Satz vom Minimum und vom Maximum auch ohne die Kompaktheit des Intervalls anwendbar.
Vielen Dank für die Hilfe. Tolles Forum.
Mabel Leaf
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