Beschränktheit < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:19 Do 24.01.2013 | | Autor: | tmili |
| Aufgabe | | Sei [mm] x_{n} [/mm] -> x~ und x [mm] \in \IR [/mm] beliebig. Setze [mm] z_{n}:=|x_{n}-x|. [/mm] Zeigen Sie dass [mm] z_{n} [/mm] beschränkt ist. |
Ich habe zu dieser Aufgabe, die ich in einer Probeklausur gefunden habe, einfach keinen Ansatz und würde mich über eure Hilfe freuen.
Beschränktheit impliziert ja nach oben und nach unten beschränkt und formal:
[mm] \exists [/mm] C [mm] \in \IR_{+} \forall [/mm] n [mm] \in \IN: |z_{n}|\le [/mm] C
Vielen Dank schonmal für eure Hilfe :)
Tmili
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Hiho,
wende die Dreiecksungleichung an und dein Wissen über konvergente Folgen.
Denn jede konvergente Folge ist?
MFG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:23 Do 24.01.2013 | | Autor: | tmili |
Danke erstmal für die schnelle Rückmeldung..also jede konvergente Folge ist beschränkt..logischerweise :) das heißt also [mm] x_{n} [/mm] ist beschränkt..jetzt muss ich nur noch diesen Betrag auseinanderziehen meinst du..
das problem ist mit der dreiecksungleichung mit Minus dazwischen haben wir noch nie was gemacht..vllt seh ich das grade auch zu kritisch...
[mm] z_{n}=|x_{n}-x| \ge ||x_{n}|-|x||
[/mm]
Die umgekehrte Dreiecksungleichung hab ich grade gegoogelt..aber mit dem "größergleich" sieht das jetzt nicht zielführend aus..weil es bringt mir doch jetzt nichts wenn ich sage, die Folge [mm] z_{n} [/mm] ist immer größer als ne Schranke... :/ Oder ist das bis jetzt auch nur die Beschränktheit nach unten?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:49 Do 24.01.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Danke erstmal für die schnelle Rückmeldung..also jede
> konvergente Folge ist beschränkt..logischerweise :)
damit ist man eigentlich fertig: Aus [mm] $x_n \to [/mm] x$ folgt [mm] $z_n \to |0|=0\,.$ [/mm]
Damit ist [mm] ${(z_n)}_n$ [/mm] als (reellwertige) Nullfolge insbesondere
beschränkt. Ist halt die Frage, ob Du das schon benutzen darfst:
[mm] $$x_n \to [/mm] x [mm] \red{\;\Rightarrow\;} |x_n-x| \to 0\,.$$
[/mm]
(Wobei das [mm] "$\red{\Rightarrow}$" [/mm] auch durch ein [mm] "$\iff$" [/mm] ersetzt werden kann.)
Wenn das noch nicht erlaubt ist, dann macht das andere gesagte (mehr)
Sinn bzgl. Deiner Aufgabe.
> das
> heißt also [mm]x_{n}[/mm]
Eigentlich schreibt man eine Folge mindestens so: [mm] $(x_n)\,.$
[/mm]
> ist beschränkt..jetzt muss ich nur noch
> diesen Betrag auseinanderziehen meinst du..
> das problem ist mit der dreiecksungleichung mit Minus
> dazwischen haben wir noch nie was gemacht..vllt seh ich das
> grade auch zu kritisch...
> [mm]z_{n}=|x_{n}-x| \ge ||x_{n}|-|x||[/mm]
> Die umgekehrte
> Dreiecksungleichung hab ich grade gegoogelt..aber mit dem
> "größergleich" sieht das jetzt nicht zielführend
> aus..weil es bringt mir doch jetzt nichts wenn ich sage,
> die Folge [mm]z_{n}[/mm] ist immer größer als ne Schranke... :/
> Oder ist das bis jetzt auch nur die Beschränktheit nach
> unten?
Na, wozu machst Du das? Du willst [mm] $|x_n-x|$ [/mm] mit einer "universellen Schranke"
(universell=unabhängig von [mm] $n\,$ [/mm] bzw. "gültig für alle [mm] $n\,$") [/mm] NACH OBEN
abschätzen. Das geht doch einfach so:
[mm] $$|x_n-x|=|x_n+(-x)|$$
[/mm]
und jetzt benutzt Du halt die normale Dreiecksungleichung. Du weiß ja,
dass [mm] $|x_n| \le [/mm] M$ für eine gewisse Konstante $M > [mm] 0\,,$ [/mm] weil [mm] $x_n \to [/mm] x$
gilt. Und $|-x|=|x| [mm] \in [0,\infty)$ [/mm] ist ja klar...
P.S. Wieso findest Du das eigentlich so logisch, das konvergente Folgen
notwendig beschränkt sind? Ich finde den Beweis dazu zwar nicht schwer,
aber ganz trivial ist er nicht. Er geht etwa so:
Aus [mm] $x_n \to [/mm] x$ folgt insbesondere zu [mm] $\epsilon=1 [/mm] > 0$ die Existenz eines [mm] $N=N_\epsilon$ [/mm] so,
dass für alle $n [mm] \ge [/mm] N$ eben [mm] $|x_n-x| \le [/mm] 1$ gilt und daher folgt für alle $n [mm] \ge [/mm] N$ auch
[mm] $$|x_n| \le |x_n-x|+|x|\le |x|+1\,.$$
[/mm]
Die Menge [mm] $\{|x_1|,\ldots,|x_{N-1}|\}$ [/mm] hat als endliche Menge ein Maximum, nennen wir
es [mm] $m^{\*}\,.$ [/mm] Dann gilt für alle $n [mm] \in \IN$ [/mm] auch
[mm] $$|x_n| \le \max\{m^{\*},\;|x|+1\}\,.$$
[/mm]
Und das ist nun wirklich schon die gekürzte Schnellfassung, die so für eine
mündliche Prüfung geeignet wäre. 
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:02 Fr 25.01.2013 | | Autor: | Gonozal_IX |
Hallo Marcel,
[mm] x_n [/mm] konvergiert nicht gegen x, sondern gegen ein [mm] $\tilde [/mm] x$, das sind zwei verschiedene x'es
Hatte ich zu Beginn auch nicht gesehen.
Durch deinen Hinweis ist die Aufgabe ja aber trotzdem schnell zu lösen.
MFG,
Gono.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:13 Fr 25.01.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo Gono,
> Hallo Marcel,
>
> [mm]x_n[/mm] konvergiert nicht gegen x, sondern gegen ein [mm]\tilde x[/mm],
> das sind zwei verschiedene x'es
oh, Danke. Ich dachte dieses [mm] $x\,$~ [/mm] sei ein Vertipper gewesen. Dann
macht die Aufgabe aber auch wesentlich mehr Sinn!
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:03 Fr 25.01.2013 | | Autor: | tmili |
mhh gute frage..also in meinem kopf macht das einfach sinn...wenn eine folge konvergent ist und ich sie dann ab einem gewissen punkt, also für alle n > [mm] n_{0} [/mm] anschaue, muss sie ja ab da in einem beschränkten Intervall liegen, weil sie sonst ja eben nicht konvergieren würde..oder hab ich mir da ein gedankenkonstrukt aufgebaut was du gleich wie ein kartenhaus umpustest ;)
deinen beweis haben wir so ähnlich auch im skript stehen..bei dem haperts bei mir allerdings etwas :/ ah nein hab ihn mir grad nochmal angeschaut..also du hast ihn so geschrieben dass ich ihn wirklich check :) danke dafür :)
nun noch mal zur aufgabe: wenn ich dann umgeformt hab von [mm] |x_{n}-x|...\le |x_{n}|+|x| \le [/mm] M + |x| und wenn |x| ja jetzt von 0 bis unendlich Werte annehmen kann dann hab ich ja wieder keine gescheite Schranke oder seh ich das falsch? also wahrscheinlich schon... ;)
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Hiho,
> nun noch mal zur aufgabe: wenn ich dann umgeformt hab von [mm]|x_{n}-x|...\le |x_{n}|+|x| \le[/mm] M + |x| und wenn |x| ja jetzt von 0 bis unendlich Werte annehmen kann
wer sagt das? x ist ein fester Wert!
D.h. für jedes x hast du deine Schranke gefunden.
MFG,
Gono.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:20 Fr 25.01.2013 | | Autor: | tmili |
oh gott ich sollte ins bett..natürlich ist x fest..danke :)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:21 Fr 25.01.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> mhh gute frage..also in meinem kopf macht das einfach
> sinn...wenn eine folge konvergent ist und ich sie dann ab
> einem gewissen punkt, also für alle n > [mm]n_{0}[/mm] anschaue,
> muss sie ja ab da in einem beschränkten Intervall liegen,
> weil sie sonst ja eben nicht konvergieren würde..oder hab
> ich mir da ein gedankenkonstrukt aufgebaut was du gleich
> wie ein kartenhaus umpustest ;)
nö, ich gebe nur nicht ein Intervall an, sondern eine obere Intervallgrenze
ab einem gewissen [mm] $n_0\,$ [/mm] für die Betragsfolge - das ist im Prinzip das
gleiche wie das, was Du sagst. Man muss halt nur noch die "Folgenglieder
bis zum Index [mm] $n_0$" [/mm] irgendwie in den Griff kriegen, das ist der andere
Teil des Beweises, den ich geschrieben habe (mit dem [mm] $m^{\*}$). [/mm] Um's
nochmal "kurz anzureißen".
> deinen beweis haben wir so ähnlich auch im skript
> stehen..bei dem haperts bei mir allerdings etwas :/ ah nein
> hab ihn mir grad nochmal angeschaut..also du hast ihn so
> geschrieben dass ich ihn wirklich check :) danke dafür :)
Gerne!
> nun noch mal zur aufgabe: wenn ich dann umgeformt hab von
> [mm]|x_{n}-x|...\le |x_{n}|+|x| \le[/mm] M + |x| und wenn |x| ja
> jetzt von 0 bis unendlich Werte annehmen kann dann hab ich
> ja wieder keine gescheite Schranke oder seh ich das falsch?
> also wahrscheinlich schon... ;)
Wie Gono sagte: [mm] $x\,$ [/mm] ist hier eigentlich ein Parameter (ich dachte
anfangs, dass [mm] $x\,$ [/mm] einfach der Grenzwert von [mm] $(x_n)$ [/mm] sei, aber der
Grenzwert heißt halt [mm] $\tilde{x}$) [/mm] - also beliebig, aber fest. [mm] $x\,$ [/mm] ist
insbesondere auch unabhängig von [mm] $n\,.$
[/mm]
Formal hätte ich die Aufgabe übrigens so geschrieben: Wenn [mm] $x_n \to x\,,$ [/mm]
dann ist zu zeigen, dass FÜR JEDES $r [mm] \in \IR$ [/mm] auch die Folge [mm] $(z_n)$ [/mm] mit
[mm] $$z_n=z_{n,r}:=x_n-r$$
[/mm]
beschränkt ist. Dieses [mm] $x\,$ [/mm] und [mm] $\tilde{x}$ [/mm] kann man doch vermeiden...
Gruß,
Marcel
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