Beschränktheit /Kompakte Menge < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo, ich habe hier eine Frage, die mich etwas verwirrt.
(X,d) sei ein metrischer Raum. f:X--> [mm] \IR [/mm] sei eine lokal beschränkte Abbildung, d.h. zu jedem x [mm] \inX [/mm] existiert eine Umgebung [mm] U_{x} [/mm] von x in der f beschränkt ist.
Zeigen Sie, dass f auf X beschränkt ist, wenn X kompakt ist.
Der Beweis soll sehr leicht sein, aber ich sehe es irgendwie nicht.
Danke, Grüße mathmetzsch
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:28 So 22.05.2005 | | Autor: | Marc |
Hallo mathmetzsch,
> (X,d) sei ein metrischer Raum. f:X--> [mm]\IR[/mm] sei eine lokal
> beschränkte Abbildung, d.h. zu jedem x [mm]\inX[/mm] existiert eine
> Umgebung [mm]U_{x}[/mm] von x in der f beschränkt ist.
> Zeigen Sie, dass f auf X beschränkt ist, wenn X kompakt
> ist.
Du mußt ja zeigen, dass es eine Schranke [mm] $S\in\IR$ [/mm] gibt, so dass$|f(x)|<S$ für alle [mm] $x\in [/mm] X$.
Nun gibt es solchen Schranken immer nur lokal (nennen wir sie doch [mm] $S_x$), [/mm] was gilt denn aber aufgrund der Kompakheit von X für die Menge [mm] $\bigcup_{x\in X} (U_x\cap [/mm] X)$, die ja eine offene Überdeckung der Menge X ist?
Warum ist dann [mm] $\sup_{x\in X} S_x\in\IR$?
[/mm]
> Der Beweis soll sehr leicht sein, aber ich sehe es
> irgendwie nicht.
Vielleicht jetzt? 
Viel Erfolg,
Marc
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