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Hallo zusammen,
folgende Situation:
Betrachte den euklidischen [mm] \IR^d, [/mm] das dazugehörige Lebesguemaß [mm] \lambda_d [/mm] auf den induzierten Borelmengen [mm] \mathcal{B}(\IR^d). [/mm] Sei [mm] \mathcal{B}_b(\IR^d) [/mm] die Menge der beschränkten Borelmengen, d.h. die Mengen, die endliches Lebesguemaß haben.
Behauptung: B [mm] \in \mathcal{B}_b(\IR^d) \gdw [/mm] B [mm] \in \mathcal{B}(\IR^d) [/mm] ist in einer Kugel enthalten.
Die Richtung [mm] \Leftarrow [/mm] gilt offensichtlich.
Gilt aber auch die andere Richtung?
Grüße
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:10 Fr 30.09.2016 | | Autor: | fred97 |
> Hallo zusammen,
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> folgende Situation:
> Betrachte den euklidischen [mm]\IR^d,[/mm] das dazugehörige
> Lebesguemaß [mm]\lambda_d[/mm] auf den induzierten Borelmengen
> [mm]\mathcal{B}(\IR^d).[/mm] Sei [mm]\mathcal{B}_b(\IR^d)[/mm] die Menge der
> beschränkten Borelmengen, d.h. die Mengen, die endliches
> Lebesguemaß haben.
Na ja. Nennt Ihr Borelmengen mit endlichem Lebesguemaß wirklich "beschränkt" ? Das ist bizarr, aber von mir aus .....
>
> Behauptung: B [mm]\in \mathcal{B}_b(\IR^d) \gdw[/mm] B [mm]\in \mathcal{B}(\IR^d)[/mm]
> ist in einer Kugel enthalten.
Das ist Unsinn.
>
> Die Richtung [mm]\Leftarrow[/mm] gilt offensichtlich.
> Gilt aber auch die andere Richtung?
Nö. Betrachte im Falle d=1 mal die Menge [mm] \IQ.
[/mm]
Ist [mm] \IQ [/mm] eine Borelmenge ? Wenn ja, wie fällt [mm] \lambda_1(\IQ) [/mm] aus ?
Ist [mm] \IQ [/mm] in einer Kugel enthalten ?
>
> Grüße
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> Na ja. Nennt Ihr Borelmengen mit endlichem Lebesguemaß
> wirklich "beschränkt" ? Das ist bizarr, aber von mir aus
Ich hatte das so verstanden, aber anscheinend habe ich es falsch verstanden.
> > Die Richtung [mm]\Leftarrow[/mm] gilt offensichtlich.
> > Gilt aber auch die andere Richtung?
>
> Nö. Betrachte im Falle d=1 mal die Menge [mm]\IQ.[/mm]
>
> Ist [mm]\IQ[/mm] eine Borelmenge ? Wenn ja, wie fällt
> [mm]\lambda_1(\IQ)[/mm] aus ?
>
> Ist [mm]\IQ[/mm] in einer Kugel enthalten ?
[mm] \IQ [/mm] ist abzählbar, also kann ich es als eine abzählbare Vereinigung seiner eigenen Elemente darstellen. Einelementige Mengen sind abgeschlossen in [mm] \IR, [/mm] also insbesondere messbar. Also kann ich [mm] \IQ [/mm] als abzählbare Vereinigung von Borel-messbaren Mengen darstellen und damit ist [mm] \IQ [/mm] selber Borel messbar.
Insbesondere ist obige Vereinigung disjunkt. Einelementige Mengen haben Lebesguemaß 0, also hat auch [mm] \IQ [/mm] Lebesguemaß 0 und ist somit ,,nach meiner Definition in [mm] \mathcal{B}_b(\IR^d)". [/mm] Aber [mm] \IQ [/mm] ist in keiner Kugel enthalten, also ist die Behauptung falsch.
Okay, dann weiß ich jetzt, dass man mit beschränkten Borel-Mengen gerade die Mengen B [mm] \in \mathcal{B}(\IR^d) [/mm] meint, die in einer Kugel liegen und somit implizit endliches Lebesguemaß haben.
Richtig so?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 10:24 Sa 01.10.2016 | | Autor: | fred97 |
> > Na ja. Nennt Ihr Borelmengen mit endlichem Lebesguemaß
> > wirklich "beschränkt" ? Das ist bizarr, aber von mir aus
>
> Ich hatte das so verstanden, aber anscheinend habe ich es
> falsch verstanden.
>
> > > Die Richtung [mm]\Leftarrow[/mm] gilt offensichtlich.
> > > Gilt aber auch die andere Richtung?
> >
> > Nö. Betrachte im Falle d=1 mal die Menge [mm]\IQ.[/mm]
> >
> > Ist [mm]\IQ[/mm] eine Borelmenge ? Wenn ja, wie fällt
> > [mm]\lambda_1(\IQ)[/mm] aus ?
> >
> > Ist [mm]\IQ[/mm] in einer Kugel enthalten ?
>
> [mm]\IQ[/mm] ist abzählbar, also kann ich es als eine abzählbare
> Vereinigung seiner eigenen Elemente darstellen.
> Einelementige Mengen sind abgeschlossen in [mm]\IR,[/mm] also
> insbesondere messbar. Also kann ich [mm]\IQ[/mm] als abzählbare
> Vereinigung von Borel-messbaren Mengen darstellen und damit
> ist [mm]\IQ[/mm] selber Borel messbar.
> Insbesondere ist obige Vereinigung disjunkt. Einelementige
> Mengen haben Lebesguemaß 0, also hat auch [mm]\IQ[/mm] Lebesguemaß
> 0 und ist somit ,,nach meiner Definition in
> [mm]\mathcal{B}_b(\IR^d)".[/mm] Aber [mm]\IQ[/mm] ist in keiner Kugel
> enthalten, also ist die Behauptung falsch.
>
> Okay, dann weiß ich jetzt, dass man mit beschränkten
> Borel-Mengen gerade die Mengen B [mm]\in \mathcal{B}(\IR^d)[/mm]
> meint, die in einer Kugel liegen und somit implizit
> endliches Lebesguemaß haben.
>
> Richtig so?
Ja
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