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Bei dieser Aufgabe komme ich nicht richtig zum Anfang, weil meiner Meinung nach die Anfangsbedingungen unklar sind. Meiner Meinung nach müsste k irgendwie plausibler definiert sein. Wenn ich k sehr klein wähle, dann gilt die Ungleichung immer und wenn k sehr gross gewählt wird, dann gilt die Ungleichung nie. Oder übersehe ich da etwas?
[Dateianhang nicht öffentlich]
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
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Hallo mac_dadda,
Nehmen wir mal eine 4x4 Matrix zum erklären der Ungleichung.
[mm] \pmat{ a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} & a_{24} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} & a_{34} \\ a_{41} & a_{42} & a_{43} & a_{44} }
[/mm]
Nun kommt erstmal die Symmetriebedingung ins Spiel die Gegenüberliegenden Elemente sind gleich.
[mm] \pmat{ a_{11} & a_{21} & a_{31} & a_{41} \\ a_{21} & a_{22} & a_{32} & a_{42} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} & a_{43} \\ a_{41} & a_{42} & a_{43} & a_{44} }
[/mm]
Nun nehm ich mal k=2
4-1>2 klar! Sonst nichts also bekommt man
[mm] \pmat{ a_{11} & a_{21} & a_{31} & 0 \\ a_{21} & a_{22} & a_{32} & a_{42} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} & a_{43} \\ 0 & a_{42} & a_{43} & a_{44} }
[/mm]
Für k=3 oder größer hat die Bedingung also keinen Einfluß auf die Matrix.
Nun nehm ich mal k=1
4-1>1
4-2>1
3-1>1
Also sieht die Matrix so aus
[mm] \pmat{ a_{11} & a_{21} & 0 & 0 \\ a_{21} & a_{22} & a_{32} & 0 \\ 0 & a_{32} & a_{33} & a_{43} \\ 0 & 0 & a_{43} & a_{44} }
[/mm]
k=0
[mm] \pmat{ a_{11} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & a_{22} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & a_{33} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & a_{44} }
[/mm]
k=-1
[mm] \pmat{ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 }
[/mm]
Die Nullmatrix ist nicht positiv definit (da ja auch nicht invertierbar) also fallen k kleiner Null weg.
Alles klar?
gruß
mathemaduenn
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:46 So 22.05.2005 | | Autor: | DaMenge |
Hallo,
um das nochmal anders zu formulieren : k gibt die Anzahl der Nebendiagonalen an (in jede Richtung [oben/unten]).
Um zu zeigen, dass es bei der Cholesky-Zerlegung ähnlich ist, musst du dir nochmal anschauen, wie diese entsteht, nämlich ähnlich wie die LR-Zerlegung - hier musste man die $ [mm] l_{i,j} [/mm] $ ja so wählen, dass die Nebendiagonalelemente gerade 0 werden (Gauß-Algo) - wie viele dieser $ [mm] l_{i,j} [/mm] $ braucht man pro Spalte also, wenn man weiß, dass es nur k (untere) Nebendiagonalen gibt?
[man braucht nur untere Nebendiagonalen zu betrachten wg. der Symmetrie... siehe Herleitung der Cholesky-Zerlegung]
falls du also weitere Fragen hast, schreibe mal auf, wie weit du gekommen bist...
viele Grüße
DaMenge
P.S: dies sollte nur eine ergänzende Hilfe sein 
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 22:02 Sa 25.06.2005 | | Autor: | mac_dadda |
also, es ist ja schon eine Weile her, seit ich mich mit dieser Aufgabe beschäftigt habe, aber ich habe es in der Zwischenzeit immer noch nicht so ganz verstanden. Den Beweis meine ich. Den kann ich überhaupt nicht führen. Nicht mal ansatzweise. Deshalb möchte ich erstmal wissen, ob ich denn das Ergebnis zu deuten verstanden habe. Ich schreibe es mal in Worten auf.
Soll dieser Beweis leifern, dass alle Nullen in der Matrix, die nicht in der Hauptdiagonale oder der ersten Nebendiagonalen stehen, auch in der L respecktive R Matrix stehen werden?
Falls mich jemand auf anderem Wege zum Ziel führen will/kann, dann lasse ich mich natürlich gerne darauf ein...
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:17 So 26.06.2005 | | Autor: | DaMenge |
Hallo,
> Soll dieser Beweis liefern, dass alle Nullen in der Matrix,
> die nicht in der Hauptdiagonale oder der ersten k
> Nebendiagonalen stehen, auch in der L respecktive R Matrix
> stehen werden?
ja, genau das !
Also um dir mal die Teilaufgabe b) zu lösen: der Satz in a) sagt, dass folgende Nullen, die von mir rot markiert sind auch in L und [mm] L^T [/mm] automatisch 0 sein werden und deshalb gar nicht erst berechnet werden müssen:
[Dateianhang nicht öffentlich]
zum Beweis solltest du dir wirklich mal anschauen, wie bei der LR-Zerlegung bzw. Cholesky die Matrix L gewonnen wird !
ich lasse das aber mal auf Teilweise Beantwortet, falls jemand einen anderen Beweis ersinnen möchte...
viele Grüße
DaMenge
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 08:59 Di 28.06.2005 | | Autor: | matux |
Hallo mac_dadda!
Wir bedauern, dass Deine Frage nicht in der von dir eingestellten Fälligkeitszeit beantwortet wurde.
Der wahrscheinlichste Grund dafür ist, dass ganz einfach niemand, der dir hätte helfen können, im Fälligkeitszeitraum online war. Bitte bedenke, dass jede Hilfe hier freiwillig und ehrenamtlich gegeben wird.
Wie angekündigt gehen wir nun davon aus, dass du an einer Antwort nicht mehr interessiert bist. Die Frage taucht deswegen nicht mehr in der Liste der offenen Fragen, sondern nur noch in der Liste der Fragen für Interessierte auf.
Falls du weiterhin an einer Antwort interessiert bist, stelle einfach eine weitere Frage in dieser Diskussion.
Wir wünschen dir beim nächsten Mal mehr Erfolg! ![[kleeblatt]](/images/smileys/kleeblatt.gif "[kleeblatt]")
Viele Grüße,
Matux, der Foren-Agent
Allgemeine Tipps wie du dem Überschreiten der Fälligkeitsdauer entgegenwirken kannst findest du in den Regeln für die Benutzung unserer Foren.
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