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Bespiel aufgabe: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 09:38 Mi 28.12.2011
Autor: Benz

Aufgabe
[mm] f(x):=x-\wurzel{x^2+3x} [/mm]

bis hierhin ist es noch einfach den funktionswert auszurechnen:

[mm] lim_{x\to\infty}(x-\wurzel{x^2+3x})=lim_{x\to\infty}(\bruch{3x}{x+\wurzel{x^2+3x}} [/mm]

wie kommt man jetzt auf das hier gibts da ein trick oder wie?

[mm] lim_{x\to\infty}(-\bruch{3}{1+\wurzel{1+\bruch{3}{x}}}) [/mm]


        
Bezug
Bespiel aufgabe: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:44 Mi 28.12.2011
Autor: schachuzipus

Hallo Benz,


> [mm]f(x):=x-\wurzel{x^2+3x}[/mm]
>  bis hierhin ist es noch einfach den funktionswert
> auszurechnen:
>  
> [mm]lim_{x\to\infty}(x-\wurzel{x^2+3x})=lim_{x\to\infty}(\bruch{3x}{x+\wurzel{x^2+3x}}[/mm]

Nicht ganz, du erhältst beim Erweitern eine Minusklammer im Zähler!

Also [mm]x-\sqrt{x^2+3x}=\frac{(x-\sqrt{x^2+3x})\cdot{}(x+\sqrt{x^2+3x})}{x+\sqrt{x^2+3x}}=\frac{x^2-\red{(}x^2+3x\red{)}}{x+\sqrt{x^2+3x}}=\frac{\red{-}3x}{x+\sqrt{x^2+3x}}[/mm]

>  
> wie kommt man jetzt auf das hier gibts da ein trick oder
> wie?
>  
> [mm]lim_{x\to\infty}(-\bruch{3}{1+\wurzel{1+\bruch{3}{x}}})[/mm]

Klammere oben zunächst unter der Wurzel [mm]x^2[/mm] aus: [mm]\sqrt{x^2\cdot{}\left(1+\frac{3}{x}\right)}[/mm]

Dann kannst du es gem. [mm]\sqrt{a\cdot{}b}=\sqrt{a}\cdot{}\sqrt{b}[/mm] herausziehen und hast im Nenner

[mm]x+x\cdot{}\sqrt{1+\frac{3}{x}}[/mm]

Dann im Nenner x ausklammern und gegen das x im Zähler wegballern

Gruß

schachuzipus


Bezug
                
Bezug
Bespiel aufgabe: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 10:54 Mi 28.12.2011
Autor: Benz

danke für die ausführliche erklärung hab nur vergessen das da ein minus bei 3x ist



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