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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:38 Mi 28.12.2011 | | Autor: | Benz |
| Aufgabe | | [mm] f(x):=x-\wurzel{x^2+3x} [/mm] |
bis hierhin ist es noch einfach den funktionswert auszurechnen:
[mm] lim_{x\to\infty}(x-\wurzel{x^2+3x})=lim_{x\to\infty}(\bruch{3x}{x+\wurzel{x^2+3x}}
[/mm]
wie kommt man jetzt auf das hier gibts da ein trick oder wie?
[mm] lim_{x\to\infty}(-\bruch{3}{1+\wurzel{1+\bruch{3}{x}}})
[/mm]
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Hallo Benz,
> [mm]f(x):=x-\wurzel{x^2+3x}[/mm]
> bis hierhin ist es noch einfach den funktionswert
> auszurechnen:
>
> [mm]lim_{x\to\infty}(x-\wurzel{x^2+3x})=lim_{x\to\infty}(\bruch{3x}{x+\wurzel{x^2+3x}}[/mm]
Nicht ganz, du erhältst beim Erweitern eine Minusklammer im Zähler!
Also [mm]x-\sqrt{x^2+3x}=\frac{(x-\sqrt{x^2+3x})\cdot{}(x+\sqrt{x^2+3x})}{x+\sqrt{x^2+3x}}=\frac{x^2-\red{(}x^2+3x\red{)}}{x+\sqrt{x^2+3x}}=\frac{\red{-}3x}{x+\sqrt{x^2+3x}}[/mm]
>
> wie kommt man jetzt auf das hier gibts da ein trick oder
> wie?
>
> [mm]lim_{x\to\infty}(-\bruch{3}{1+\wurzel{1+\bruch{3}{x}}})[/mm]
Klammere oben zunächst unter der Wurzel [mm]x^2[/mm] aus: [mm]\sqrt{x^2\cdot{}\left(1+\frac{3}{x}\right)}[/mm]
Dann kannst du es gem. [mm]\sqrt{a\cdot{}b}=\sqrt{a}\cdot{}\sqrt{b}[/mm] herausziehen und hast im Nenner
[mm]x+x\cdot{}\sqrt{1+\frac{3}{x}}[/mm]
Dann im Nenner x ausklammern und gegen das x im Zähler wegballern
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:54 Mi 28.12.2011 | | Autor: | Benz |
danke für die ausführliche erklärung hab nur vergessen das da ein minus bei 3x ist
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