www.vorhilfe.de
Vorhilfe

Kostenlose Kommunikationsplattform für gegenseitige Hilfestellungen.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Vorhilfe
  Status Geisteswiss.
    Status Erdkunde
    Status Geschichte
    Status Jura
    Status Musik/Kunst
    Status Pädagogik
    Status Philosophie
    Status Politik/Wirtschaft
    Status Psychologie
    Status Religion
    Status Sozialwissenschaften
  Status Informatik
    Status Schule
    Status Hochschule
    Status Info-Training
    Status Wettbewerbe
    Status Praxis
    Status Internes IR
  Status Ingenieurwiss.
    Status Bauingenieurwesen
    Status Elektrotechnik
    Status Maschinenbau
    Status Materialwissenschaft
    Status Regelungstechnik
    Status Signaltheorie
    Status Sonstiges
    Status Technik
  Status Mathe
    Status Schulmathe
    Status Hochschulmathe
    Status Mathe-Vorkurse
    Status Mathe-Software
  Status Naturwiss.
    Status Astronomie
    Status Biologie
    Status Chemie
    Status Geowissenschaften
    Status Medizin
    Status Physik
    Status Sport
  Status Sonstiges / Diverses
  Status Sprachen
    Status Deutsch
    Status Englisch
    Status Französisch
    Status Griechisch
    Status Latein
    Status Russisch
    Status Spanisch
    Status Vorkurse
    Status Sonstiges (Sprachen)
  Status Neuerdings
  Status Internes VH
    Status Café VH
    Status Verbesserungen
    Status Benutzerbetreuung
    Status Plenum
    Status Datenbank-Forum
    Status Test-Forum
    Status Fragwürdige Inhalte
    Status VH e.V.

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Dt. Schulen im Ausland: Mathe-Seiten:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
Forum "Lineare Algebra Sonstiges" - Besselsche Ungleichung
Besselsche Ungleichung < Sonstiges < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Lineare Algebra Sonstiges"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Besselsche Ungleichung: Verständnisproblem
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 09:34 Mi 23.07.2008
Autor: fagottator

Aufgabe
Für jedes abzählbar unendliche ON-System [mm] (a_{i})_{i\in\IN} [/mm] in V und jedes [mm] v\in [/mm] V gilt:
    [mm] \summe_{i=1}^{\infty} ² \le [/mm] |v|²

Beweis:
Setzt man [mm] U=sp(a_{i},...,a_{k}), [/mm] so folgt mit
|v-u|² [mm] \ge |v-\pi(v)|²=|\pi'(v)|²=|v|²-|\pi(v)|² [/mm]
sofort
[mm] |v-\summe_{i=1}^{k}\lambda_{i}a_{i}|²\ge|v-\summe_{i=1}^{k}a_{i}|²=|v|²-|\summe_{i=1}^{k}a_{i}|²=|v|²-\summe_{i=1}^{k}² [/mm]
Grenzübergang [mm] k\to\infty [/mm] liefert die Behauptung.

Hallo ihr Lieben.

Bei meinen Vorbereitungen auf die Klausur, bin ich in der Vorlesung über diesen Beweis gestolpert und versteh ihn einfach nicht. Kann mir vielleicht jemand dabei helfen? Vielleicht sei noch als zusätzliche Erklärung gesagt, dass [mm] \pi:V\to [/mm] U und [mm] \pi': V\to U\perp [/mm] die orthogonalen Projektionen von V auf den Untervektorraum U und sein orthogonales Komplement sind.
Falls noch weitere Informationen zum Verständnis des Beweises fehlen einfach nachfragen...
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
Besselsche Ungleichung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 07:09 Sa 26.07.2008
Autor: Somebody


> Für jedes abzählbar unendliche ON-System [mm](a_{i})_{i\in\IN}[/mm]
> in V und jedes [mm]v\in[/mm] V gilt:
>      [mm]\summe_{i=1}^{\infty} ² \le[/mm] |v|²

[notok] Es müsste heissen:
[mm]\summe_{i=1}^{\infty} \red{|}\red{|}^2 \le |v|^2[/mm]


>  
> Beweis:
>  Setzt man [mm]U=sp(a_{i},...,a_{k}),[/mm] so folgt mit
>  [mm]|v-u|^2 \red{\ge} |v-\pi(v)|^2=|\pi'(v)|^2=|v|^2-|\pi(v)|^2[/mm]

Die erste, rot markierte Ungleichung nützt für den Beweis gar nichts. Der Rest ist einfach "Pythagoras": wegen [mm] $v=\pi(v)+\pi'(v)$ [/mm] und [mm] $\pi(v)\perp \pi'(v)$ [/mm] ist [mm] $|v|^2=|\pi(v)|^2+|\pi'(v)|^2$, [/mm] also insbesondere [mm] $|v-\pi(v)|^2=|\pi'(v)|^2=|v|^2-|\pi(v)|^2\blue{\geq 0}$ [/mm]

>  sofort
>  
> [mm]|v-\summe_{i=1}^{k}\lambda_{i}a_{i}|²\red{\ge}|v-\summe_{i=1}^{k}a_{i}|²=|v|²-|\summe_{i=1}^{k}a_{i}|²=|v|²-\summe_{i=1}^{k}\red{|}\red{|}² \blue{\geq 0}[/mm]

Auch hier ist das erste Ungleichheitzeichen für den Beweis gänzlich irrelevant. Der Rest ist nur die Ungleichung [mm] $|v-\pi(v)|^2=|v|^2-|\pi(v)|^2\blue{\geq 0}$, [/mm] bei der mit Hilfe des Skalarproduktes die Projektion [mm] $\pi(v)$ [/mm] von $v$ auf $U$ ausgedrückt wurde. Das wirklich relevante Ungleichheitszeichen habe ich hier blau erst noch einfügen müssen.

>  Grenzübergang [mm]k\to\infty[/mm] liefert die Behauptung.
>  Hallo ihr Lieben.
>  
> Bei meinen Vorbereitungen auf die Klausur, bin ich in der
> Vorlesung über diesen Beweis gestolpert und versteh ihn
> einfach nicht. Kann mir vielleicht jemand dabei helfen?
> Vielleicht sei noch als zusätzliche Erklärung gesagt, dass
> [mm]\pi:V\to[/mm] U und [mm]\pi': V\to U\perp[/mm] die orthogonalen
> Projektionen von V auf den Untervektorraum U und sein
> orthogonales Komplement sind.
>  Falls noch weitere Informationen zum Verständnis des
> Beweises fehlen einfach nachfragen...

Dieser Beweis enthält (neben einem kleinen Schreibfehler: [mm] $^2$ [/mm] statt, richtiger, [mm] $||^2$) [/mm] eine ganz überflüssige einleitende Ungleichung. Um die so gestiftete Verwirrung zu vervollständigen, fehlt dafür am anderen Ende der Umformungskette das entscheidende Ungleichheitszeichen [mm] $\geq [/mm] 0$.
Fazit: Entweder hatte der Prof. einen schlechten Tag oder Deine Vorlesungsnotizen sind unvollständig oder der Prof. wollte euch zu selbständigem Denken anregen ;-)

Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Lineare Algebra Sonstiges"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.vorhilfe.de