Best. ob Punkt auf Ebene liegt < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Ebene re= [mm] \vektor{-1 \\ 1 \\ 2} [/mm] + s1 [mm] \vektor{1 \\ 3 \\ 1} [/mm] + s2 [mm] \vektor{0 \\ 2 \\ 1}
[/mm]
Punkt x= [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 1}
[/mm]
Zeigen Sie das der Punkt auf der Ebene liegt. |
Hallo kann mir jemand helfen??
Wollte für re den Vektor x einsetzen un dann nach Gauß auflösen??
Stimmt das ??
Oder gibt es noch einen schnelleren Weg z.B. die Determinate ausrechen??
dankeschön
MFG
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:45 Fr 03.02.2006 | | Autor: | djmatey |
Hi,
der übliche Weg ist, denn Vektor x in re einzusetzen, das stimmt.
Liegt der Punkt in der Ebene, solltest Du für s1 und s2 eindeutige Lösungen bekommen, ansonsten keine Lösung.
Liebe Grüße,
djmatey
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okey dank für deine Antwort!
Aber geht es nicht schneller z.B. die Determinate ausrechnen und wenn dann 0 als Ergebnis raus bekomme ist das GLS nicht lösbar ?!
Berichtige mich bitte ist nur so ein gedanke von mir weil man der Klausur ja nicht immer soviel zeit hat !
MFG
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Hallo!
Mit der Determinante kannst du in der Tat etwas machen:
Du hast gegeben:
[mm] $E\colon \overrightarrow A+\lambda\overrightarrow B+\mu\overrightarrow [/mm] C$
und einen Vektor [mm] $\overrightarrow [/mm] x$.
Dann bilde die Determinante:
[mm] $\vmat{\overrightarrow x-\overrightarrow A|\overrightarrow B|\overrightarrow C}$.
[/mm]
Wenn diese Determinante $0$ ist, dann ist [mm] $\overrightarrow [/mm] x$ in $E$.
Das liegt daran, weil in diesem Fall [mm] $\overrightarrow x-\overrightarrow A,\overrightarrow B,\overrightarrow [/mm] C$ linear abhängig sind. Weil [mm] $\overrightarrow B,\overrightarrow [/mm] C$ linear unabhängig sind, gibt es nun eindeutige Koeffizienten [mm] $\lambda_0,\mu_0$, [/mm] so dass
[mm] $\overrightarrow x-\overrightarrow A=\lambda_0\overrightarrow B+\mu_0\overrightarrow [/mm] C$.
Insbesondere ist dann [mm] $\overrightarrow x=\overrightarrow A+\lambda_0\overrightarrow B+\mu_0\overrightarrow [/mm] C$.
Angewandt auf dein Beispiel bedeutet das:
[mm] $\overrightarrow x-\overrightarrow A=\vektor{1\\-1\\-1},\ \overrightarrow B=\vektor{1\\3\\1},\ \overrightarrow C=\vektor{0\\2\\1}$.
[/mm]
Bilde die Determinante mit der Regel von Sarrus:
[mm] $\vmat{1&1&0\\-1&3&2\\-1&1&1}=1*3*1+1*2*(-1)+0*(-1)*1-0*3*(-1)-1*(-1)*1-1*2*1=3-2+1-2=0$.
[/mm]
[mm] $\overrightarrow [/mm] x$ liegt also in der Ebene. Insbesondere sind die Koeffizienten [mm] $\lambda_0=1,\ \mu_0=-2$.
[/mm]
Gruß, banachella
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:10 Fr 03.02.2006 | | Autor: | carlito83 |
dankeschön
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Hey .. hab doch noch ne frage !
kann mir jemand zeigen wie man die Gauß Matrix zu oben der Aufgabe aufstellet, weiß nicht so recht was ich mit dem re machen soll ??
THX
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:29 Di 07.02.2006 | | Autor: | Shaya |
wenn der punkt auf der ebene liegt, muss er irgendwie als linearkombination erzeugt werden können
-1+1*s1=0
1+3*s1+2*s2=0
2+1*s1+1*s2=1
dann einfach rechnen
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danke nur was mach ich mir r1 sthet ja kein Fakot davor ??
kann mir jemand sagen wie ich das dann als Gauß schema hinschreib?
THX
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Hallo!
> danke nur was mach ich mir r1 sthet ja kein Fakot davor ??
Ich sehe da nirgendwo ein r1. Und was meinst du mit Faktor? Also deine beiden Unbekannten heißen doch [mm] s_1 [/mm] und [mm] s_2 [/mm] und mehr brauchst du nicht. Da du dann eine Gleichung mehr hast als Unbekannte, kann es sein, dass du einen Widerspruch rausbekommst, dann liegt der Punkt nicht in der Ebene. Deswegen musst du auf jeden Fall alle Gleichungen mit deiner Lösungen überprüfen, auch wenn du evtl. nur zwei Gleichungen benötigst um eine Lösung zu erhalten.
Ansonsten gilt, falls kein "Faktor" davor steht, dann ist dieser "Faktor" =1, da 1 das neutrale Element der Multiplikation ist.
> kann mir jemand sagen wie ich das dann als Gauß schema
> hinschreib?
Ich würde das so schreiben:
[mm] \pmat{-1&1&0\\1&3&2\\2&1&1}\vektor{1\\s_1\\s_2}=\vektor{0\\0\\1}
[/mm]
Aber ich glaube fast, in diesem Fall geht es schneller mit dem normalen Einsetzungsverfahren, dann hast du auch kein Problem, wie du das als Gauß schreibst. 
Viele Grüße
Bastiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
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