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(Frage) für Interessierte  | | Datum: | 19:04 Mi 15.06.2005 | | Autor: | Joergi |
Hallo zusammen,
ich muss noch 3 Unteraufgaben zur Bestapproximation zeigen, zu denen ich keinen rechten Anfang finde, vielleicht hat ja jemand eine Idee?
Es sei [mm]P_k[/mm] der Raum der Polynome vom Grade kleiner als k, [mm]f \in C[a,b][/mm].
Gezeigt habe ich schon die Minimierungeigenschaft:
Es ex. ein [mm]p^\* \in P_k mit: ||f-p^\*||_{\infty}=min||f-p||_{\infty}[/mm].
1)Der Approximationsfehler von [mm]q \in P_k[/mm] sei alternierend,
d.h.: Es ex. [mm]a<=x_0
und [mm]f(x_{i+1})-q(x_{i+1})=-(f(x_i)-q(x_i)) für i\in{0,1,2,...k}[/mm].
Zeige: Es ex. kein Polynom [mm]p \in P_k mit (f(x_i)-q(x_i))p(x_i)>0[/mm] für alle i.
Ich habe es bislang mit einem Widerspruchsbeweis versucht, bin aber nicht sehr weit gekommen.
2)
Zz: Der Approximationsfehler von [mm]p^\* \in \P_k[/mm] ist alternierend
=> [mm]p^\*[/mm] besitzt die Minimierungseigenschaft.
Als Hinweis: Man benutze 1) in einem Beweis durch Widerspruch.
3)
Zu einem [mm]q \in P_{k}[/mm] seien Punkte [mm]a\le x_{0}\le x_{1}\le .... x_{k+1}\le b[/mm] bekannt, von denen wir wissen, dass [mm](f(x_{i+1}) - q(x_{i+1}) *(f(x_{i}) - q(x_{i}) \le 0 [/mm] für [mm]i \in {0,1,2, ...,k}[/mm].
Ich soll nun zeigen, dass:
[mm]min_{0 \le i \le k+1}|f(x_{i}) - q(x_{i})| \le min_{p \in k}||f-p||_{ \infty}[/mm] ist.
In einem Hinweis sagt man uns, dass wir durch Widerspruch [mm]p^{\*}-q=f-q-(f-p^{\*})[/mm]
mit [mm]p^{\*} \inP_{k} und ||f-p^{\*}||_{\infty}=inf_{p \in P_{k}||f-p||_{\infty}[/mm] beweisen sollen, wobei ich den Teil schon bewiesen habe.
Ich hoffe es kann mir jemand helfen, im Voraus vielen Dank!
Gruss Joergi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:29 Fr 17.06.2005 | | Autor: | Julius |
Hallo Jörg!
Es tut mir leid, dass dir bei deiner Frage in dem von dir vorgesehenen Fälligkeitszeitraum keiner weiterhelfen konnte. Vielleicht hast du ja beim nächsten Mal wieder mehr Glück. ![[kleeblatt]](/images/smileys/kleeblatt.gif "[kleeblatt]")
Viele Grüße
Julius
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