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| Aufgabe | | Sei U eine auf (0,1] gleichverteilte Zufallsvariable. Bestimmen Sie die Verteilungsfunktion, eine Dichte, sowie den Erwartungswert von [mm] R=\wurzel{-2log(U)}. [/mm] |
Hallo,
ich habe mir diese Aufgabe aus einer älteren Klausur rausgesucht und frage mich gerade wie ich bei so einer Aufgabe anfangen sollte. Bei unseren Übungsaufgaben war meistens schon die Dichte oder die Verteilungsfunktion angegeben, sodass man mit Hilfe von Ableiten oder Integrieren auf das Gesuchte kommen konnte. U ist ja gleichverteilt auf (0, 1], also 0 < x [mm] \le [/mm] 1. Wie spielt da jezt [mm] R=\wurzel{-2log(U)} [/mm] mit rein? Muss ich etwas für U einsetzen und damit dann den Erwartungswert, die Dichte und die Verteilungsfunktion berechnen?
Danke
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Hallo Wischmop123,
> Sei U eine auf (0,1] gleichverteilte Zufallsvariable.
> Bestimmen Sie die Verteilungsfunktion, eine Dichte, sowie
> den Erwartungswert von [mm]R=\wurzel{-2log(U)}.[/mm]
> Hallo,
>
> ich habe mir diese Aufgabe aus einer älteren Klausur
> rausgesucht und frage mich gerade wie ich bei so einer
> Aufgabe anfangen sollte. Bei unseren Übungsaufgaben war
> meistens schon die Dichte oder die Verteilungsfunktion
> angegeben, sodass man mit Hilfe von Ableiten oder
> Integrieren auf das Gesuchte kommen konnte. U ist ja
> gleichverteilt auf (0, 1], also 0 < x [mm]\le[/mm] 1. Wie spielt da
> jezt [mm]R=\wurzel{-2log(U)}[/mm] mit rein? Muss ich etwas für U
> einsetzen und damit dann den Erwartungswert, die Dichte und
> die Verteilungsfunktion berechnen?
Na, [mm]U[/mm] ist doch nach Voraussetzung gleichverteilt auf [mm](0,1][/mm]
Da kennst du doch sicher die Verteilungsfunktion bzw. die Dichte von [mm]U[/mm].
Ansonsten rechne die aus ..
Dann musst du transformieren in [mm]R[/mm] ...
Hattet ihr schon was zur Dichtetransormation? Ansonsten rechne die VF von [mm]R[/mm] mithilfe der VF von [mm]U[/mm] "zu Fuß" aus.
>
>
> Danke
Gruß
schachuzipus
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Hey,
Dichtetransformation haben wir leider noch nicht behandelt. Die Verteilungsfunktion auf dem Intervall [0, 1] wäre ja F(x)=x. Mit (0, 1] soll wohl ein linksoffenes Intervall gemeint sein, also a < x [mm] \le [/mm] b mit a=0 und b=1? Irgendwie finde ich nichts nützliches für die Bestimmung der Verteilungsfunktion für eine Zufallsvariable, die auf ein linksoffenes Intervall gleichverteilt ist. Wir haben natürlich auch immer nur mit geschlossenen Intervallen gearbeitet und in unseren Definitionen ist zu Halboffenen auch nichts zu finden.
Davon abgesehen kann ich mir auch gerade nicht vorstellen, wie ich mit der Verteilungsfunktion von U auf die Verteilungsfunktion von R kommen soll. Wäre es einfacher, wenn ich versuchen würde mir die Dichtetransformation soweit beizubringen? Ich glaube das würde kein gutes Ende nehmen^^
Gruß
Wischmop
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:03 Mo 08.07.2013 | | Autor: | luis52 |
Moin, sei $r>0$. Dann ist
[mm] \begin{matrix}
P(R\le r)
&=&P(\sqrt{-2\log(U)}\le r) \\
&=&P(-2\log(U)\le r^2) \\
&=&P(U\ge\exp(-r^2/2)) \\
&=&1-P(U<\exp(-r^2/2)) \\
&=&1-\exp(-r^2/2)
\end{matrix} [/mm]
Ueberlege dir noch [mm] $P(R\le [/mm] r)$ fuer [mm] $r\le [/mm] 0$.
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> Moin, sei [mm]r>0[/mm]. Dann ist
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> [mm]\begin{matrix}
P(R\le r)
&=&P(\sqrt{-2\log(U)}\le r) \\
&=&P(-2\log(U)\le r^2) \\
&=&P(U\ge\exp(-r^2/2)) \\
&=&1-P(U<\exp(-r^2/2)) \\
&=&1-\exp(-r^2/2)
\end{matrix}[/mm]
>
> Ueberlege dir noch [mm]P(R\le r)[/mm] fuer [mm]r\le 0[/mm].
>
>
Hallo,
so langsam verstehe ich es. Die Umformungen konnte ich bis auf den Schritt in der vierten Zeile (dort wo der Term von 1 subtrahiert wird und das [mm] \ge [/mm] zu einem < wird) nachvollziehen. Es wird umgeformt, bis auf der rechten Seite der Gleichung die Verteilungsfunktion von U steht und dann ergibt sich gleichzeitig die Verteilungsfunktion von R. Ist [mm] P(R\le [/mm] r) fuer [mm] r\le [/mm] 0 nicht 0, da das Intervall (0,1] nach links offen und die 0 somit ausgeschlossen ist? Ich schaue mir das nachher nochmal genau an wenn ich wach bin^^
Vielen Dank
Wischmop
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Hallo,
> > Moin, sei [mm]r>0[/mm]. Dann ist
> >
> > [mm]\begin{matrix}
P(R\le r)
&=&P(\sqrt{-2\log(U)}\le r) \\
&=&P(-2\log(U)\le r^2) \\
&=&P(U\ge\exp(-r^2/2)) \\
&=&1-P(U<\exp(-r^2/2)) \\
&=&1-\exp(-r^2/2)
\end{matrix}[/mm]
> >
> > Ueberlege dir noch [mm]P(R\le r)[/mm] fuer [mm]r\le 0[/mm].
> >
> >
>
> Hallo,
>
> so langsam verstehe ich es. Die Umformungen konnte ich bis
> auf den Schritt in der vierten Zeile (dort wo der Term von
> 1 subtrahiert wird und das [mm]\ge[/mm] zu einem < wird)
> nachvollziehen.
Für jede Verteilungsfunktion gilt
[mm] P(X\ge{k})=1-P(X
Stichwort Gegenereignis.
> Es wird umgeformt, bis auf der rechten
> Seite der Gleichung die Verteilungsfunktion von U steht und
> dann ergibt sich gleichzeitig die Verteilungsfunktion von
> R.
Nach [mm] P(R\le{r}) [/mm] aufzulösen ist das Ziel der Übung, ja.
Ist [mm]P(R\le[/mm] r) fuer [mm]r\le[/mm] 0 nicht 0, da das Intervall
> (0,1] nach links offen und die 0 somit ausgeschlossen ist?
Nein, das hat nichts miteinander zu tun. R ist ja eine Funktion von U, also ist der Wertebereich von U die zugehörende Definitionsmenge von R. Ich glaube, das könnte man hier auch mit [mm] r\ge{0} [/mm] ansetzen, das liefe auf das gleiche hinaus. Wir haben ja stetige Verteilungen und da gilt bespw. (sofern definiert) stets
[mm] P(X
Gruß, Diophant
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