Bestimme: Unterraum od. nicht? < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Bestimmen Sie, welche der folgenden Teilmengen von [mm]\IR^3[/mm] auch Unterräume von [mm]\IR^3[/mm] sind:
a) [mm]U_1 := \left \{ (x,y,z) \in \IR^3 \ | \ x+y-1 = 1 \right \}[/mm]
b) [mm]U_2 := \left \{ u_1 - u_2 \ |\ u_1,u_2 \in U_1 \right \}[/mm] |
Hallo zusammen,
ich gehe mit folgender Definition an die Aufgaben heran:
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[mm]U \subseteq V[/mm] ist genau dann ein Teilraum des Vektorraums V, wenn U abgeschlossen unter Vektoraddition und Multiplikation mit einem Skalar ist, d. h. wenn für alle [mm]\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b} \in U[/mm] und alle [mm]k \in \IK[/mm] gilt:
[mm]\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b} \in U \Rightarrow \overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} \in U[/mm]
[mm]\overrightarrow{a} \in U \Rightarrow k\overrightarrow{a} \in U[/mm]
------
Teil a)
Ich wähle mir [mm]\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b} \in U_1[/mm] beliebig und addiere diese Vektoren per Vektoraddition. Also:
[mm]\vektor{x_1 \\
y_1 \\
z_1} + \vektor{x_2 \\
y_2 \\
z_2} = \vektor{x_1 + x_2 \\
y_1 + y_2 \\
z_1 + z_2}[/mm]
Also muss nach [mm]x + y - 1 = 1[/mm] nun gelten:
[mm](x_1 + x_2) + (y_1 + y_2) - 1 = 1[/mm]
Das lässt sich nun ein wenig umformen:
[mm](x_1 + x_2) + (y_1 + y_2) - 1 = 1 \ | -1[/mm]
[mm](x_1 + x_2) + (y_1 + y_2) - 2 = 0[/mm]
[mm]\underbrace{(x_1 + y_1 - 1)}_{= 1} + \underbrace{(x_2 + y_2 - 1)}_{=1} = 0[/mm]
[mm]1 + 1 = 2 \neq 0[/mm]
Also ist [mm]U_1[/mm] kein Unterraum von [mm]\IR^3[/mm] .
Teil b)
Analog zu Teil a) wähle ich hier [mm]\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b} \in U_2[/mm] beliebig und führe eine Vektoraddition durch. Allerdings bin ich mir nicht sicher, ob das dann so aussehen würde:
[mm]\left ( \vektor{x_1 \\
y_1 \\
z_1} - \vektor{x_2 \\
y_2 \\
z_2} \right ) + \left ( \vektor{x_3 \\
y_3 \\
z_3} - \vektor{x_4 \\
y_4 \\
z_4} \right ) = \vektor{(x_1-x_2) + (x_3-x_4) \\
(y_1-y_2) + (y_3-y_4) \\
(z_1-z_2) + (z_3-z_4)}[/mm]
Und überhaupt: Wenn [mm]U_1[/mm] kein Unterraum von [mm]\IR^3[/mm] ist (sofern ich damit überhaupt richig liege), kann [mm]U_2[/mm] in diesem Fall dann überhaupt ein Unterraum von [mm]\IR^3[/mm] sein?
Ich würde mich freuen, wenn Ihr Euch das einmal anschauen könntet.
Viele Grüße
Patrick
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Hallo Patrick,
eine Teilantwort zu a)
> Bestimmen Sie, welche der folgenden Teilmengen von [mm]\IR^3[/mm]
> auch Unterräume von [mm]\IR^3[/mm] sind:
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> a) [mm]U_1 := \left \{ (x,y,z) \in \IR^3 \ | \ x+y-1 = 1 \right \}[/mm]
>
> b) [mm]U_2 := \left \{ u_1 - u_2 \ |\ u_1,u_2 \in U_1 \right \}[/mm]
>
>
> Hallo zusammen,
>
> ich gehe mit folgender Definition an die Aufgaben heran:
>
> ------
>
> [mm]U \subseteq V[/mm] ist genau dann ein Teilraum des Vektorraums
> V, wenn U abgeschlossen unter Vektoraddition und
> Multiplikation mit einem Skalar ist, d. h. wenn für alle
> [mm]\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b} \in U[/mm] und alle [mm]k \in \IK[/mm]
> gilt:
>
> [mm]\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b} \in U \Rightarrow \overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} \in U[/mm]
>
> [mm]\overrightarrow{a} \in U \Rightarrow k\overrightarrow{a} \in U[/mm]
>
> ------
>
>
> Teil a)
>
> Ich wähle mir [mm]\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b} \in U_1[/mm]
> beliebig und addiere diese Vektoren per Vektoraddition.
> Also:
>
> [mm]\vektor{x_1 \\
y_1 \\
z_1} + \vektor{x_2 \\
y_2 \\
z_2} = \vektor{x_1 + x_2 \\
y_1 + y_2 \\
z_1 + z_2}[/mm]
>
> Also muss nach [mm]x + y - 1 = 1[/mm] nun gelten:
>
> [mm](x_1 + x_2) + (y_1 + y_2) - 1 = 1[/mm]
>
> Das lässt sich nun ein wenig umformen:
>
> [mm](x_1 + x_2) + (y_1 + y_2) - 1 = 1 \ | -1[/mm]
>
> [mm](x_1 + x_2) + (y_1 + y_2) - 2 = 0[/mm]
>
> [mm]\underbrace{(x_1 + y_1 - 1)}_{= 1} + \underbrace{(x_2 + y_2 - 1)}_{=1} = 0[/mm]
>
> [mm]1 + 1 = 2 \neq 0[/mm]
>
> Also ist [mm]U_1[/mm] kein Unterraum von [mm]\IR^3[/mm] . ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Noch einfacher/schneller: Der Nullvektor [mm]\vektor{x\\
y\\
z}=\vektor{0\\
0\\
0}[/mm] ist nicht in [mm]U_1[/mm], damit kann [mm]U_1[/mm] kein Vektorraum sein ...
>
> Ich würde mich freuen, wenn Ihr Euch das einmal anschauen
> könntet.
>
> Viele Grüße
> Patrick
LG
schachuzipus
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:59 Fr 21.12.2012 | | Autor: | Apfelchips |
Hallo schachuzipus,
> > Also ist [mm]U_1[/mm] kein Unterraum von [mm]\IR^3[/mm] .
>
> Noch einfacher/schneller: Der Nullvektor [mm]\vektor{x\\
y\\
z}=\vektor{0\\
0\\
0}[/mm]
danke fürs Überprüfen und für den Tipp!
Viele Grüße
Patrick
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Hallo Patrick,
> Bestimmen Sie, welche der folgenden Teilmengen von [mm]\IR^3[/mm]
> auch Unterräume von [mm]\IR^3[/mm] sind:
>
> a) [mm]U_1 := \left \{ (x,y,z) \in \IR^3 \ | \ x+y-1 = 1 \right \}[/mm]
>
> b) [mm]U_2 := \left \{ u_1 - u_2 \ |\ u_1,u_2 \in U_1 \right \}[/mm]
>
> ich gehe mit folgender Definition an die Aufgaben heran:
>
> ------
>
> [mm]U \subseteq V[/mm] ist genau dann ein Teilraum des Vektorraums
> V, wenn U abgeschlossen unter Vektoraddition und
> Multiplikation mit einem Skalar ist, d. h. wenn für alle
> [mm]\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b} \in U[/mm] und alle [mm]k \in \IK[/mm]
> gilt:
>
> [mm]\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b} \in U \Rightarrow \overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} \in U[/mm]
>
> [mm]\overrightarrow{a} \in U \Rightarrow k\overrightarrow{a} \in U[/mm]
>
> ------
>
> Teil b)
>
> Analog zu Teil a) wähle ich hier [mm]\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b} \in U_2[/mm]
> beliebig und führe eine Vektoraddition durch. Allerdings
> bin ich mir nicht sicher, ob das dann so aussehen würde:
>
> [mm]\left ( \vektor{x_1 \\
y_1 \\
z_1} - \vektor{x_2 \\
y_2 \\
z_2} \right ) + \left ( \vektor{x_3 \\
y_3 \\
z_3} - \vektor{x_4 \\
y_4 \\
z_4} \right ) = \vektor{(x_1-x_2) + (x_3-x_4) \\
(y_1-y_2) + (y_3-y_4) \\
(z_1-z_2) + (z_3-z_4)}[/mm]
Hier kommen die Bedingungen von [mm] U_1 [/mm] doch gar nicht vor. ![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]")
> Und überhaupt: Wenn [mm]U_1[/mm] kein Unterraum von [mm]\IR^3[/mm] ist
> (sofern ich damit überhaupt richig liege), kann [mm]U_2[/mm] in
> diesem Fall dann überhaupt ein Unterraum von [mm]\IR^3[/mm] sein?
Ja, das ist möglich. Schließlich ist [mm] U_2 [/mm] ja kein Unterraum von [mm] U_1, [/mm] auch wenn für die Definition [mm] U_1 [/mm] herangezogen wird.
Hier ist es gewiss praktischer, erst einmal die Definition von [mm] U_2 [/mm] umzuschreiben. Wie sehen denn Vektoren aus, die in [mm] U_2 [/mm] liegen? Zum einen ist z beliebig, aber über x,y ist eine Aussage zu treffen, nämlich x+y=0.
Versuch das mal nachzuvollziehen. Ab da ist es dann ja ganz einfach.
Grüße
reverend
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Hallo reverend,
> > Analog zu Teil a) wähle ich hier [mm]\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b} \in U_2[/mm]
> > beliebig und führe eine Vektoraddition durch. Allerdings
> > bin ich mir nicht sicher, ob das dann so aussehen würde:
> >
> > [mm]\left ( \vektor{x_1 \\
y_1 \\
z_1} - \vektor{x_2 \\
y_2 \\
z_2} \right ) + \left ( \vektor{x_3 \\
y_3 \\
z_3} - \vektor{x_4 \\
y_4 \\
z_4} \right ) = \vektor{(x_1-x_2) + (x_3-x_4) \\
(y_1-y_2) + (y_3-y_4) \\
(z_1-z_2) + (z_3-z_4)}[/mm]
>
> Hier kommen die Bedingungen von [mm]U_1[/mm] doch gar nicht vor.
>
>
> > Und überhaupt: Wenn [mm]U_1[/mm] kein Unterraum von [mm]\IR^3[/mm] ist
> > (sofern ich damit überhaupt richig liege), kann [mm]U_2[/mm] in
> > diesem Fall dann überhaupt ein Unterraum von [mm]\IR^3[/mm] sein?
>
> Ja, das ist möglich. Schließlich ist [mm]U_2[/mm] ja kein
> Unterraum von [mm]U_1,[/mm] auch wenn für die Definition [mm]U_1[/mm]
> herangezogen wird.
>
> Hier ist es gewiss praktischer, erst einmal die Definition
> von [mm]U_2[/mm] umzuschreiben. Wie sehen denn Vektoren aus, die in
> [mm]U_2[/mm] liegen? Zum einen ist z beliebig, aber über x,y ist
> eine Aussage zu treffen, nämlich x+y=0.
>
> Versuch das mal nachzuvollziehen. Ab da ist es dann ja ganz
> einfach.
Okay, ich versuch's mal:
Für [mm]u_1,u_2[/mm] gilt jeweils [mm]x+y-1=1 \gdw x+y-2=0[/mm]
Also kann ich jetzt auch sagen:
[mm]x_1+y_1-2 = x_2+y_2-2[/mm]
Und das lässt sich umformen zu:
[mm](x_1 - x_2) + (y_1 - y_2) = 0[/mm]
Also ist [mm]x+y=0[/mm] .
Durch Addition zweiter Vektoren aus [mm]U_2[/mm] ergibt sich dann:
[mm]\underbrace{((x_1-x_2)+(x_3-x_4)) }_{x}+ \underbrace{((y_1-y_2)+(y_3-y_4)) }_{y}= 0[/mm]
[mm](x_1+y_1) - (x_2+y_2) + (x_3 + y_3) - (x_4+y_4) = 0[/mm]
[mm]0 = 0[/mm]
Jetzt noch die Abgeschlossenheit unter Multiplikation mit einem Skalar:
[mm]k * \vektor{x_1-x_2 \\
y_1-y_2 \\
z_1-z_2} = \vektor{k*(x_1-x_2) \\
k*(y_1-y_2) \\
k*(z_1-z_2)}[/mm]
[mm]\underbrace{k *(x_1-x_2)}_{x} + \underbrace{k *(y_1-y_2)}_{y} = 0[/mm]
[mm]k * (x_1-x_2+y_1-y_2) = 0[/mm]
[mm]k * (\underbrace{(x_1-x_2)}_{x}+\underbrace{(y_1-y_2)}_{y}) = 0[/mm]
Und da [mm]x+y=0[/mm] :
[mm]k * 0 = 0[/mm]
[mm]0 = 0[/mm]
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Hallo nochmal,
das sieht gut aus. Fehlt nur noch die conclusio: [mm] U_2 [/mm] ist ein Unterraum des [mm] \IR^3.
[/mm]
Grüße
reverend
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:58 Fr 21.12.2012 | | Autor: | Apfelchips |
Hallo reverend,
> das sieht gut aus. Fehlt nur noch die conclusio: [mm]U_2[/mm] ist
> ein Unterraum des [mm]\IR^3.[/mm]
besten Dank!
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