Bestimme a, Konvergenz Reihe < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:35 Do 17.03.2011 | | Autor: | Loriot95 |
| Aufgabe | Für welche a [mm] \ge [/mm] 0 konvergiert
[mm] \summe_{n=1}^{\infty} a^{ln(n)} [/mm] ? |
Guten Tag,
habe hier das Quotientenkriterium angewendet.
[mm] |\bruch{a^{ln(n + 1)}}{a^{ln(n)}}| [/mm] = [mm] |a^{ln(1+\bruch{1}{n})}|.
[/mm]
Also gilt für [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} |a^{ln(1+\bruch{1}{n})}| [/mm] = [mm] a^{0} [/mm] = 1.
Also kann es doch gar keine konvergente Reihe dieser Form geben, oder?
LG Loriot95
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:47 Do 17.03.2011 | | Autor: | fred97 |
> Für welche a [mm]\ge[/mm] 0 konvergiert
>
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty} a^{ln(n)}[/mm] ?
> Guten Tag,
>
> habe hier das Quotientenkriterium angewendet.
>
> [mm]|\bruch{a^{ln(n + 1)}}{a^{ln(n)}}|[/mm] =
> [mm]|a^{ln(1+\bruch{1}{n})}|.[/mm]
>
> Also gilt für [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} |a^{ln(1+\bruch{1}{n})}|[/mm]
> = [mm]a^{0}[/mm] = 1.
>
> Also kann es doch gar keine konvergente Reihe dieser Form
> geben, oder?
Mit dem Quotientenkriterium hast Du also den Grenzwert 1 bekommen. So jetzt schau mal in Deine Unterlagen und Du wirst mir zustimmen, dass da zu diesem Fall sinngemäß steht: ".... ist der GW =1, so ist keine allgemeine Aussage möglich" oder ".. das QK liefert keine Entscheidung". Stimmts ?
Nimm mal an, es ist a>1, dann siehst Du doch sofort, dass [mm] a^{ln(n)} \to \infty [/mm] (für n [mm] \to \infty). [/mm] Die Folge der Reihenglieder ist also keine Nullfolge. Und das bedeutet ?
Nun überlege Dir den Fall 0 [mm] \le [/mm] a<1 mal selbst
FRED
>
> LG Loriot95
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:51 Do 17.03.2011 | | Autor: | Loriot95 |
> > Für welche a [mm]\ge[/mm] 0 konvergiert
> >
> > [mm]\summe_{n=1}^{\infty} a^{ln(n)}[/mm] ?
> > Guten Tag,
> >
> > habe hier das Quotientenkriterium angewendet.
> >
> > [mm]|\bruch{a^{ln(n + 1)}}{a^{ln(n)}}|[/mm] =
> > [mm]|a^{ln(1+\bruch{1}{n})}|.[/mm]
> >
> > Also gilt für [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} |a^{ln(1+\bruch{1}{n})}|[/mm]
> > = [mm]a^{0}[/mm] = 1.
> >
> > Also kann es doch gar keine konvergente Reihe dieser Form
> > geben, oder?
>
> Mit dem Quotientenkriterium hast Du also den Grenzwert 1
> bekommen. So jetzt schau mal in Deine Unterlagen und Du
> wirst mir zustimmen, dass da zu diesem Fall sinngemäß
> steht: ".... ist der GW =1, so ist keine allgemeine Aussage
> möglich" oder ".. das QK liefert keine Entscheidung".
> Stimmts ?
Ja.
> Nimm mal an, es ist a>1, dann siehst Du doch sofort, dass
> [mm]a^{ln(n)} \to \infty[/mm] (für n [mm]\to \infty).[/mm] Die Folge der
> Reihenglieder ist also keine Nullfolge. Und das bedeutet ?
Das die Reihe divergiert.
> Nun überlege Dir den Fall 0 [mm]\le[/mm] a<1 mal selbst
> FRED
> >
> > LG Loriot95
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:19 Do 17.03.2011 | | Autor: | fred97 |
Tipps für den Fall 0 [mm] \le [/mm] a<1:
1. Der Fall a=0 dürfte klar sein.
2. Für a>0 ist: [mm] $a^{ln(n)}= n^{ln(a)}$ [/mm] (warum ?)
FRED
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:55 Do 17.03.2011 | | Autor: | Loriot95 |
> Tipps für den Fall 0 [mm]\le[/mm] a<1:
>
> 1. Der Fall a=0 dürfte klar sein.
>
> 2. Für a>0 ist: [mm]a^{ln(n)}= n^{ln(a)}[/mm] (warum ?)
[mm] a^{ln(n)} [/mm] = [mm] e^{ln(a)*ln(n)} [/mm] = [mm] n^{ln(a)} [/mm] D.h es handelt sich schon mal um eine Nullfolge. Aber wie kann ich nun weiter machen? Eine Aussage ist ja mit dem Quotientenkriterium nicht möglich und mit dem Wurzelkriterium sehe ich da auch keinen Ausweg.
> FRED
LG Loriot95
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:06 Do 17.03.2011 | | Autor: | fred97 |
Vorbemerkung:
Ihr hattet sicher: für s>0 gilt: (*) [mm] \sum \bruch{1}{n^s} [/mm] konvergiert [mm] \gdw [/mm] s>1
Sei 0<a<1:
Wir haben :
[mm] $a^{ln(n)}= n^{ln(a)}= \bruch{1}{n^{-ln(a)}}= \bruch{1}{n^s} [/mm] $ , wobei s= -ln(a).
Da a<1 ist, ist ln(a)<0 und damit s=-ln(a)>0
Nun zeige mit (*): [mm] \sum a^{ln(n)} [/mm] konvergiert [mm] $\gdw [/mm] ~~ a<1/e$
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:21 Fr 18.03.2011 | | Autor: | Loriot95 |
Alles klar. Vielen Dank.
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