Bestimme das kleinste m ∈ IN, < Induktion < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | [Dateianhang nicht öffentlich] |
Meine Idee:
3 ?!
Also mit 3 funktioniert es denke ich.
Aber das war durch Probieren, wie soll ich das mit vollst. Induktion zeigen? Ich kenne vollst. Induktion nur mit
IA (n=1)
IV ...
IS (n->n+1)
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:16 Di 20.01.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo Stefan!
Hier mal der 1. Schritt im Induktionsschritt:
[mm] $$2^{n+1} [/mm] \ = \ [mm] 2*\red{2^n} [/mm] \ [mm] \red{\ge} [/mm] \ [mm] 2*(\red{2n+1}) [/mm] \ = \ ...$$
Gruß
Loddar
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[mm] 2^{n+1}
[/mm]
okay statt n dann also n+1
aber warum wird dann alles mit 2 malgenommen?!> Hallo Stefan!
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:40 Sa 24.01.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo Stefan!
Hier wurde eines der  Potenzgesetze angewandt:
[mm] $$2^{n+1} [/mm] \ = \ [mm] 2^n*2^1 [/mm] \ = \ [mm] 2^n*2 [/mm] \ = \ [mm] 2*2^n$$
[/mm]
Gruß
Loddar
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| Aufgabe | | [Dateianhang nicht öffentlich] |
Hab es etwas anders aufgezäumt.
Ist meine Lösung richtig?
Dann danke dafür.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:21 So 25.01.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo Stefan!
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") So geht es auch ...
Gruß
Loddar
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Gut, kann das soweit alles nachvollziehen. Aber den fast letzten Schritt versteh ich noch nicht ganz. (Und das is ja eigentlich Sinn des Ganzen.)
Warum wird beim IS aus
[mm] ...2n+1+2\le2^n+2 [/mm] das +2 zu [mm] 2^n??
[/mm]
[mm] Also:\underbrace{...2n+1}_{wird zu \le2^n, versteh ich}+2\le2^n+\underbrace{2\le2^n+2^n}_{+2 zu 2^n??}
[/mm]
Vielleicht kann mir das nochmal jemand erklären, damit alles sitzt?
Danke 
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Hallo omk,
> Gut, kann das soweit alles nachvollziehen. Aber den fast
> letzten Schritt versteh ich noch nicht ganz. (Und das is ja
> eigentlich Sinn des Ganzen.)
>
> Warum wird beim IS aus
>
> [mm]...2n+1+2\le2^n+2[/mm] das +2 zu [mm]2^n??[/mm]
>
> [mm]Also:\underbrace{...2n+1}_{wird zu \le2^n, versteh ich}+2\le2^n+\underbrace{2\le2^n+2^n}_{+2 zu 2^n??}[/mm]
Na, weil du genau dahin willst:
Du willst im IS zeigen, dass gilt [mm] $2(n+1)+1\le 2^{n+1}$
[/mm]
Mithilfe der Induktionsvoraussetzung kannst du $2(n+1)+1=(2n+1)+2$ abschätzen als [mm] $\le 2^n+2$
[/mm]
Das kannst du nun in der Ungleichungskette doch nach Herzenslust vergrößern, die Gültigkeit der Kette bleibt bestehen. Und weil eben [mm] $2^n+2^n=2\cdot{}2^n=2^{n+1}$ [/mm] ist (und genau da willst du ja hin), schätzt du genauso [mm] ($\blue{2\le 2^n}$) [/mm] ab:
[mm] $2(n+1)+1=(2n+1)+2\le 2^n+\blue{2}\le 2^n+\blue{2^n}=2\cdot{}2^n=2^{n+1}$
[/mm]
Genau mit dieser Abschätzung [mm] ($2\le 2^n$) [/mm] bekommst du diese schöne Kette so hin, dass es passt.
Halte mal den Mittelteil zu ...
Du musst dir im IS immer das Ziel vor Augen halten, das du ansteuerst und musst versuchen, in diese Richtung zu "arbeiten" im Beweis
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> Vielleicht kann mir das nochmal jemand erklären, damit
> alles sitzt?
Ich hoffe, das tut es nun
> Danke
LG
schachuzipus
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