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Bestimmen einer Funktion: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:27 So 13.12.2009
Autor: Mungi

Aufgabe
Ermitteln Sie aus den sechs gegebenen Punkten eine Exponentialfunktion der Form g(t) = a - b * [mm] e^{k*t} [/mm]

Kann mir hierbei jemand helfen? Ich weiß, wie man Polynomfunktionen aus mehreren Punkten bestimmt, aber hier habe ich keine Ahnung, wie ich anfangen soll. Über Hilfe würde ich mich sehr freuen.

        
Bezug
Bestimmen einer Funktion: Gleichungssystem
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:30 So 13.12.2009
Autor: Loddar

Hallo Mungi!


Genau wie bei Polynomfunktionen musst Du die gegebenen Punktkoordinaten in die Funktionsgleichung einsetzen und anschließend das entstehende Gleichungssystem lösen.


Für genauere Hilfe solltest Du die Punktkoordinaten hier mitposten.


Gruß
Loddar


Bezug
                
Bezug
Bestimmen einer Funktion: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:36 So 13.12.2009
Autor: Mungi

Hallo!

Und wie soll ich das genau machen?

Ich habe folgende Punkte:

(0 | 0)

(2 | 130)

(4 | 190)

(5 | 210)

(7 | 225)

(10 | 232)

Bezug
                        
Bezug
Bestimmen einer Funktion: einsetzen
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:40 So 13.12.2009
Autor: Loddar

Hallo Mungi!


Wie oben bereits beschrieben: durch Einsetzen!

$$g(0) \ = \ [mm] a-b*e^{k*0} [/mm] \ = \ a-b \ = \ 0 \ \ \ [mm] \gdw [/mm] \ \ \ \ a \ = \ b$$
$$g(2) \ = \ [mm] a-b*e^{k*2} [/mm] \ = \ [mm] a-b*e^{2k} [/mm] \ = \ 130$$
usw.


Gruß
Loddar


Bezug
                                
Bezug
Bestimmen einer Funktion: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:58 So 13.12.2009
Autor: Mungi

Okay, soweit waren meine Überlegungen richtig, aber wie soll ich dann weiter machen? Ich bin schon am Verzweifeln...

Bezug
                                        
Bezug
Bestimmen einer Funktion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:04 So 13.12.2009
Autor: schachuzipus

Hallo Mungi,

> Okay, soweit waren meine Überlegungen richtig, aber wie
> soll ich dann weiter machen? Ich bin schon am
> Verzweifeln...

Na, du musst natürlich aus den Gleichungen, die du erhätst, die Unbekannten $a,b,k$ berechnen.

Wie du ein Gleichungssystem löst, weißt du aber ?!

Probiers mal, poste alle Gleichungen, die du bekommen hast und deine(n) Versuch(e), das GS zu lösen ...

Gruß

schachuzipus


Bezug
                                                
Bezug
Bestimmen einer Funktion: Frage (reagiert)
Status: (Frage) reagiert/warte auf Reaktion Status 
Datum: 21:34 So 13.12.2009
Autor: Mungi


> Wie du ein Gleichungssystem löst, weißt du aber ?!

Ein lineares ja, aber hier... Darin liegt mein Problem.

Wenn ich jetzt a = b in die zweite Gleichung einsetze, bekomme ich k heraus, das ist dann k = - 0,5 ( ln (130) - ln (b) ) / (ln (b) ).

Das kann doch nicht stimmen !?

Bezug
                                                        
Bezug
Bestimmen einer Funktion: Deine Gleichungen
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:44 So 13.12.2009
Autor: Loddar

Hallo Mungi!


Nun poste doch endlich mal Deine sämtlichen Gleichungen!

Mit der 1. Gleichung, aus welcher unmittelbar $a \ = \ b$ folgt, kann man dann die anderen Gleichungen vereinfachen.


Gruß
Loddar


Bezug
                                                                
Bezug
Bestimmen einer Funktion: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:50 So 13.12.2009
Autor: Mungi

Ich habe zwar sechs Punkte, aber ich brauche doch nicht alle sechs Gleichungen, oder?

0 = a - b
130 = a - b *  [mm] e^{2k} [/mm]
190 = a - b *  [mm] e^{4k} [/mm]
210 = a - b *  [mm] e^{5k} [/mm]
225 = a - b *  [mm] e^{7k} [/mm]
232 = a - b *  [mm] e^{10k} [/mm]

Bezug
                                                                        
Bezug
Bestimmen einer Funktion: nächste Schritte
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:24 So 13.12.2009
Autor: Loddar

Hallo Mungi!


> Ich habe zwar sechs Punkte, aber ich brauche doch nicht
> alle sechs Gleichungen, oder?

Du hast Recht: es würden z.B. die ersten 3 Gleichungen ausreichen.

  

> 0 = a - b
> 130 = a - b *  [mm]e^{2k}[/mm]
> 190 = a - b *  [mm]e^{4k}[/mm]
> 210 = a - b *  [mm]e^{5k}[/mm]
> 225 = a - b *  [mm]e^{7k}[/mm]
> 232 = a - b *  [mm]e^{10k}[/mm]  

Setze nun die 1. Gleichung in die anderen Gleichungen ein. Anschließend z.B. die 2. Gleichung von der 3. Gleichung abziehen und das Ergebnis nach [mm] $e^{2k}$ [/mm] auflösen.

Bedenke zudem: [mm] $e^{4k} [/mm] \ = \ [mm] e^{2k*2} [/mm] \ = \ [mm] \left( \ e^{2k} \ \right)^2$ [/mm] .


Gruß
Loddar


Bezug
                                                                                
Bezug
Bestimmen einer Funktion: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:32 Mo 14.12.2009
Autor: Mungi

Hallo!

Okay, soweit bin ich:

130 = b - b * [mm] e^{2k} [/mm]
190 = b - b * [mm] e^{4k} [/mm]


> Anschließend z.B. die 2. Gleichung von der 3. Gleichung
> abziehen

Was meinst du damit?

Bezug
                                                                                        
Bezug
Bestimmen einer Funktion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:09 Mo 14.12.2009
Autor: M.Rex


> Hallo!
>  
> Okay, soweit bin ich:
>  
> 130 = b - b * [mm]e^{2k}[/mm]
>  190 = b - b * [mm]e^{4k}[/mm]
>  
>
> > Anschließend z.B. die 2. Gleichung von der 3. Gleichung
> > abziehen
>  
> Was meinst du damit?

Hallo

Wie würdest du denn folgendes Gleichungsystem mit dem MBGauß-Algorithmus lösen:

[mm] \vmat{x-3y=5\\x+2y=7} [/mm]

Genau dasselbe passiert hier auch, nur eben nicht in einem linearen Gleichungssystem.

Marius


Bezug
                                                                                                
Bezug
Bestimmen einer Funktion: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:29 Mo 14.12.2009
Autor: Mungi

Okay danke, ich weiß jetzt, wie es weiter geht.

Aber jetzt kommt das nächste Problem:

60 = b * [mm] e^{2k} [/mm]  -  b * [mm] e^{4k} [/mm]

Wie kann ich das weiter vereinfachen?

Bezug
                                                                                                        
Bezug
Bestimmen einer Funktion: Tipp
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:31 Mo 14.12.2009
Autor: informix

Hallo Mungi,

> Okay danke, ich weiß jetzt, wie es weiter geht.
>  
> Aber jetzt kommt das nächste Problem:
>  
> 60 = b * [mm]e^{2k}[/mm]  -  b * [mm]e^{4k}[/mm]
>  
> Wie kann ich das weiter vereinfachen?

Dieser Schritt war ungeschickt, weil du nicht eine Variable losgeworden bist.

[mm] 130=b-b*e^{2k} [/mm]
[mm] 190=b-b*e^{4k} [/mm]

klammere b auf den rechten Seiten aus und teile(!) dann die beiden Gleichungen durcheinander.
(Das ist erlaubt, weil k hoffentlich nicht Null sein darf und daher die Terme >0 sind.)
Du erhältst eine Gleichung, die nur noch k enthält, das kannst du dann berechnen.
(quadratische Gleichung in [mm] e^{2k}) [/mm]


Gruß informix

Bezug
                                                                                                                
Bezug
Bestimmen einer Funktion: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:55 Mo 14.12.2009
Autor: Mungi

Erstmal danke.

Aber kannst du das vielleicht zeigen? Dann kann ich das besser nachvollziehen, was du mit dem Teilen meinst.

Bezug
                                                                                                                        
Bezug
Bestimmen einer Funktion: Beispiel
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:13 Mo 14.12.2009
Autor: informix

Hallo Mungi,

> Erstmal danke.
>  
> Aber kannst du das vielleicht zeigen? Dann kann ich das
> besser nachvollziehen, was du mit dem Teilen meinst.

Beispiel: [mm] \vmat{1000=a(1-e^b)\\1200=a(1-e^{2b})} \Rightarrow [/mm]

für a [mm] \ne [/mm] 0 und [mm] b\ne0 [/mm] gilt: [mm] \bruch{1000}{1200}=\bruch{a(1-e^b)}{a(1-e^{2b})} [/mm]

kürzen, neu sortieren und nach b auflösen.

Jetzt klar(er)?

Gruß informix

Bezug
                                                                                                                                
Bezug
Bestimmen einer Funktion: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:29 Mo 14.12.2009
Autor: Mungi


> Jetzt klar(er)?

Eigentlich schon, danke. Aber jetzt klappts mit dem Umformen nach b nicht so ganz:

- (1/6) - (5/6) * [mm] e^{2 b} [/mm]  =  [mm] e^{b} [/mm]

Bezug
                                                                                                                                        
Bezug
Bestimmen einer Funktion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:38 Mo 14.12.2009
Autor: schachuzipus

Hallo nochmal,

> > Jetzt klar(er)?
>  
> Eigentlich schon, danke. Aber jetzt klappts mit dem
> Umformen nach b nicht so ganz:
>  
> - (1/6) - (5/6) * [mm]e^{2 b}[/mm]  =  [mm]e^{b}[/mm]  [notok]

Da stimmt doch das Vorzeichen auf der rechten Seite nicht.

Generell solltsst du ein bisschen was von deinen Rechenschritten mitposten, damit wir nicht alles doppelt und dreifach nachrechnen müssen und evtl. Fehler schon in der Rechnung ausmachen können.

Ich komme auf [mm] $-\frac{5}{6}e^{2b}+e^b-\frac{1}{6}=0$ [/mm]

Hier klammere [mm] $-\frac{5}{6}$ [/mm] aus und substituiere [mm] $z:=e^b$ [/mm]

Dann hast du eine quadratische Gleichung in $z$, die du hoffentlich lösen kannst ...

Die Lösungen in z musst du dann natürlich nachher wieder in Lösungen in b zurückrechnen (Probe ist auch angesagt!)


Gruß

schachuzipus


Bezug
                                                                                                                                                
Bezug
Bestimmen einer Funktion: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 23:04 Mo 14.12.2009
Autor: Mungi


> Da stimmt doch das Vorzeichen auf der rechten Seite nicht.

Genau, das war der Fehler!

Vielen Dank für die vielen Tipps, ich hab's jetzt hingekriegt. Das mit dem Teilen war mir vollkommen neu, aber man lernt eben nie aus. :-)

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