Bestimmen einer Funktionsschar < Steckbriefaufgaben < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:00 Mi 23.05.2007 | | Autor: | steel |
| Aufgabe | Gegeben sei eine ganzrationale Funktion 4ten Grades (Ordnung) die
folgende Merkmale hat...
waagerechte Tangente bei (0/0)
wendepunkt bei x=0
wendepunkt bei x=2
relatives Extremum bei x=3 (Min/Max)
Bestimmen sie den Funktionswert der Funktionsschar. |
Hallo zusammen,
ich habe ein kleines Verständnisproblem. Diesen Typ Aufgabe haben
wir schonmal gemacht ich weiss auch generell wie der abläuft nur diesmal
ist das mit einer Funktionsschar (Unendliche Menge an Funktionen) und
der übliche Weg muss zumindest irgendwie ergänzt werden.
zuerstmal muss die Funktion nach diesem Schema aufgebaut sein [mm] f(x)=ax^4+bx^3+cx^2+dx+e
[/mm]
Dann mach ich die Ableitungen von f(x) und formuliere die 5 Bedingungen
die sich ergeben
f(0)=0
f'(0)=0
f'(3)=0
f''(0)=0
f''(2)=0
das setz ich dann in die jeweilige Funktion ein dann mittels Addtionsverfahren bestimme ich a,b,c,d,e
Aber irgendwo am Anfang muss denk ich jedenfalls noch was gemacht werden den wenn ich stumpf so rechne kann ich b und c nicht bestimmen.
Deshalb meine Frage was hat es an dieser Stelle mit Funktionsscharen
auf sich in wie weit ändert sich der Rechenweg dadurch vielleicht hat einer
ein kleines Beispiel was das verdeutlicht. Den trotz lesens steh ich immer
noch irgendwie auf dem Schlauch.
schonmal besten dank!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo steel!
Den Wert $c_$ erhält man doch aus der Bedingung $y''(0) \ = \ 0 \ = \ 2c$ [mm] $\gdw$ [/mm] $c \ = \ 0$ .
Die Gleichungen $y'(3) \ = \ 0$ sowie $y''(2) \ = \ 0$ liefern jeweils identische Gleichungen die man umformen kann nach $b \ = \ -4*a$ .
Dies setzt Du in die Funktionsvorschrift $y \ = \ f(x) \ = \ [mm] a*x^4+b*x^3+c*x^2+d*x+e$ [/mm] ein und hast damit eine Funktionsschar [mm] $f_a(x) [/mm] \ = \ ...$ mit dem Parameter $a_$ .
Gruß vom
Roadrunner
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:13 Do 24.05.2007 | | Autor: | steel |
Ja danke roadrunner hab's jetzt auch raus...
ich hab nicht beachtet das bei den 5 Bedingungen die sich
haben, alleine 3 ja schon null sind durch einsetzen von Null dadurch
sind (c,d,e) mit Null ja schon bestimmt. Und die können bei den
beiden restlichen gleichen ebenfalls weggelassen werden.
die Funktion lautet dann [mm] f(x)=ax^4-4ax^3
[/mm]
eine Frage stellt sich mir gerade wenn ich die Funktionsschar bestimmt
habe kann ich diese ja auch aufleiten und z.B. eine sich ergebene Fläche
mit der x-Achse berechnen (hatte mit die Funktion in einem Plotter
angesehen) muss ich dazu noch was spezielles beachten oder kann
ich einfach die Nullstellen der Funktion berechnen >> einsetzen und
hab dann die Fläche?
danke schonmal
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:17 Do 24.05.2007 | | Autor: | M.Rex |
> Ja danke roadrunner hab's jetzt auch raus...
>
> ich hab nicht beachtet das bei den 5 Bedingungen die sich
> haben, alleine 3 ja schon null sind durch einsetzen von
> Null dadurch
> sind (c,d,e) mit Null ja schon bestimmt. Und die können
> bei den
> beiden restlichen gleichen ebenfalls weggelassen werden.
>
> die Funktion lautet dann [mm]f(x)=ax^4-4ax^3[/mm]
>
> eine Frage stellt sich mir gerade wenn ich die
> Funktionsschar bestimmt
> habe kann ich diese ja auch aufleiten und z.B. eine sich
> ergebene Fläche
> mit der x-Achse berechnen (hatte mit die Funktion in einem
> Plotter
> angesehen) muss ich dazu noch was spezielles beachten oder
> kann
> ich einfach die Nullstellen der Funktion berechnen >>
> einsetzen und
> hab dann die Fläche?
>
> danke schonmal
Hallo.
Das ist vollkommen korrekt so. Beachte nur, dass die Nullstellen noch von a abhängig sein könnten.
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:28 Do 24.05.2007 | | Autor: | steel |
Hallo M. Rex,
ja genau darum geht das war meine Überlegung diese Funktion ist
ja nicht nur von x sondern auch a abhängig aber was muss man
bei einer Flächenberechnung einer Funktionsschar beachten also...
wie schreibt man das auf, oder muss man noch was spezielles vorher /
nachher berechnen da hab ich nämlich keine Ahnung.
[mm] \integral_{4}^{0}{F(4)-F(0)}
[/mm]
[mm] \integral_{4}^{0}{\bruch{1}{5}a(4)^5-a(4)^4-(\bruch{1}{5}a(0)^5-a(0)^4)}
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:34 Do 24.05.2007 | | Autor: | M.Rex |
Hallo.
> Hallo M. Rex,
>
> ja genau darum geht das war meine Überlegung diese Funktion
> ist
> ja nicht nur von x sondern auch a abhängig aber was muss
> man
> bei einer Flächenberechnung einer Funktionsschar beachten
> also...
>
> wie schreibt man das auf, oder muss man noch was spezielles
> vorher /
> nachher berechnen da hab ich nämlich keine Ahnung.
Nein, es funktioniert genau so.
>
> [mm]\integral_{4}^{0}{F(4)-F(0)}[/mm]
>
> [mm]\integral_{4}^{0}{\bruch{1}{5}a(4)^5-a(4)^4-(\bruch{1}{5}a(0)^5-a(0)^4)}[/mm]
>
>
>
Das ist korrekt so, du solltest den Term aber noch weitestgehend vereinfachen.
Allerdings kann es auch sein, dass die Integrationsgrenze von a abhängig ist.
Bsp.: f(x)=x(x-a)=x²-ax
Dann ist die Fläche zwischen f und der x-Achse:
[mm] A=\integral_{0}^{a}{x²-ax}{dx}=\left[\bruch{1}{3}x³-\bruch{a}{2}x²\right]_{0}^{a}
[/mm]
Marius
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