Bestimmen einer Matrix < Diskrete Mathematik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:20 Fr 04.02.2011 | | Autor: | Fatih17 |
| Aufgabe | Bestimmen Sie eine Matrix A [mm] \in [/mm] Mat [mm] (2,4,\IR), [/mm] so dass gilt:
{x [mm] \in \IR_{4} [/mm] : A*x = 0} = [mm] span{V_{1},V_{2}} [/mm] |
[mm] V_{1} [/mm] = [mm] \vektor{3 \\ -2 \\ 0 \\ 4}
[/mm]
[mm] V_{2} [/mm] = [mm] \vektor{3 \\ -2 \\ 3 \\ -4}
[/mm]
Ich habe mal nach dem Austauschlemma:
[mm] V_{1}=3e_{1} -2e_{3} +4e_{4}
[/mm]
[mm] V_{2}=1V_{1} [/mm] + [mm] 3e_{3} -8e_{4}
[/mm]
Woher weiß ich jetzt welche Vektoren eine Basis von [mm] \IR_{4} [/mm] sind?
Und dann soll ich ja eine Matrix machen. In der Musterlösung wurden die Standardvektoren [mm] e_{2} [/mm] und [mm] e_{4} [/mm] benutzt, warum ist mir leider schleierhaft.
Woher weiß ich, dass ich [mm] e_{2} [/mm] und [mm] e_{4} [/mm] benutzen muss um die Matrix zu bilden?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:09 Sa 05.02.2011 | | Autor: | frozer |
Hi,
also ich weiß nicht ob deine Frage damit wirklich beantwortet wird....
> Bestimmen Sie eine Matrix A [mm]\in[/mm] Mat [mm](2,4,\IR)[/mm] so dass
> gilt:
>
> [mm]{x \in \IR_{4} : A*x = 0} = span{V_{1},V_{2}}[/mm]
> [mm]V_{1} = \vektor{3 \\ -2 \\ 0 \\ 4}[/mm]
>
> [mm]V_{2} = \vektor{3 \\ -2 \\ 3 \\ -4}[/mm]
>
> Ich habe mal nach dem Austauschlemma:
>
> [mm]V_{1}=3e_{1} -2e_{3} +4e_{4}[/mm]
müsste das nicht
[mm]V_{1}=3e_{1} -2e_[red]{2}[/red] +4e_{4}[/mm] sein?
>
> [mm]V_{2}=1V_{1}[/mm] + [mm]3e_{3} -8e_{4}[/mm]
>
>
> Woher weiß ich jetzt welche Vektoren eine Basis von
> [mm]\IR_{4}[/mm] sind?
Eine Basis ist doch eine linear unabhängige Kombination von Vektoren.
Linear unabhängig sind sie genau wenn
a*v1+b*v2+c*v3=0 nur die eine Lösung mit a=b=c=0 existiert,
das rechnet man "einfach" nach....
>
> Und dann soll ich ja eine Matrix machen. In der
> Musterlösung wurden die Standardvektoren [mm]e_{2}[/mm] und [mm]e_{4}[/mm]
> benutzt, warum ist mir leider schleierhaft.
eigentlich ganz logisch:
überleg di mal folgenden Vektor
[mm]V = \vektor{1 \\ 1 \\ 1 \\ 1} = \vektor{e_1 \\ e_2 \\ e_3 \\ e_4} [/mm]
wobei [mm]e_x[/mm] die "Standartgröße" in die jeweilige Richtung ist (normalerweise 1) weiß leider nicht mehr genau wie die dinger genau hießen...
>
> Woher weiß ich, dass ich [mm]e_{2}[/mm] und [mm]e_{4}[/mm] benutzen muss um
> die Matrix zu bilden?
das versteh ich noch nicht.....versuch das zu verstehen was ich geschrieben hab und stell die frage ggf nochmal ;)
grüße
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 01:32 Sa 05.02.2011 | | Autor: | skoopa |
Tach!
> Hi,
> also ich weiß nicht ob deine Frage damit wirklich
> beantwortet wird....
>
> > Bestimmen Sie eine Matrix A [mm]\in[/mm] Mat [mm](2,4,\IR)[/mm] so dass
> > gilt:
> >
> > [mm]{x \in \IR_{4} : A*x = 0} = span{V_{1},V_{2}}[/mm]
> > [mm]V_{1} = \vektor{3 \\ -2 \\ 0 \\ 4}[/mm]
>
> >
> > [mm]V_{2} = \vektor{3 \\ -2 \\ 3 \\ -4}[/mm]
> >
> > Ich habe mal nach dem Austauschlemma:
> >
> > [mm]V_{1}=3e_{1} -2e_{3} +4e_{4}[/mm]
>
> müsste das nicht
> [mm]V_{1}=3e_{1} -2e_[red]{2}[/red] +4e_{4}[/mm] sein?
>
>
> >
> > [mm]V_{2}=1V_{1}[/mm] + [mm]3e_{3} -8e_{4}[/mm]
> >
> >
> > Woher weiß ich jetzt welche Vektoren eine Basis von
> > [mm]\IR_{4}[/mm] sind?
>
> Eine Basis ist doch eine linear unabhängige Kombination
> von Vektoren.
Ich möcht nicht kleinkariert sein, aber nur lineare Unabhängigkeit reicht noch nicht aus für eine Basis. Die Vektoren müssen auch den Vektorraum aufspannen. [mm] \vektor{1\\0\\0}, \vektor{0\\1\\0} [/mm] sind auch linear unabhängig, aber dennoch keine Basis des [mm] \IR^3...
[/mm]
Nur dass das klar ist 
> Linear unabhängig sind sie genau wenn
> a*v1+b*v2+c*v3=0 nur die eine Lösung mit a=b=c=0
> existiert,
> das rechnet man "einfach" nach....
>
> >
> > Und dann soll ich ja eine Matrix machen. In der
> > Musterlösung wurden die Standardvektoren [mm]e_{2}[/mm] und [mm]e_{4}[/mm]
> > benutzt, warum ist mir leider schleierhaft.
>
> eigentlich ganz logisch:
> überleg di mal folgenden Vektor
> [mm]V = \vektor{1 \\ 1 \\ 1 \\ 1} = \vektor{e_1 \\ e_2 \\ e_3 \\ e_4}[/mm]
>
> wobei [mm]e_x[/mm] die "Standartgröße" in die jeweilige Richtung
> ist (normalerweise 1) weiß leider nicht mehr genau wie die
> dinger genau hießen...
>
>
>
> >
> > Woher weiß ich, dass ich [mm]e_{2}[/mm] und [mm]e_{4}[/mm] benutzen muss um
> > die Matrix zu bilden?
>
> das versteh ich noch nicht.....versuch das zu verstehen was
> ich geschrieben hab und stell die frage ggf nochmal ;)
>
> grüße
Grüße!
skoopa
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 01:36 Sa 05.02.2011 | | Autor: | frozer |
> Tach!
>
> >
> > Eine Basis ist doch eine linear unabhängige Kombination
> > von Vektoren.
>
> Ich möcht nicht kleinkariert sein, aber nur lineare
> Unabhängigkeit reicht noch nicht aus für eine Basis. Die
> Vektoren müssen auch den Vektorraum aufspannen.
> [mm]\vektor{1\\0\\0}, \vektor{0\\1\\0}[/mm] sind auch linear
> unabhängig, aber dennoch keine Basis des [mm]\IR^3...[/mm]
> Nur dass das klar ist
>
> Grüße!
> skoopa
Vollkommen Korrekt. Ich wusste ich hatte was vergessen ;)
das ist nicht kleinkarriert, das ist einfach richtig ;)
ist schon nen jahr als ich das letzte mal gebraucht hab...da vergisst man so einiges und lernt alternativ methoden um sowas "schneller" entscheiden zu können....^^ z.b. die determinate ist toll für sowas ;)
grüße
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> Bestimmen Sie eine Matrix A [mm]\in[/mm] Mat [mm](2,4,\IR),[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
so dass
> gilt:
>
> {x [mm]\in \IR_{4}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
: A*x = 0} = [mm]span{V_{1},V_{2}}[/mm]
> [mm]V_{1}[/mm] = [mm]\vektor{3 \\
-2 \\
0 \\
4}[/mm]
>
> [mm]V_{2}[/mm] = [mm]\vektor{3 \\
-2 \\
3 \\
-4}[/mm]
Hallo,
es soll der Kern der Abbildung [mm] f_A(x):=Ax [/mm] also aufgespannt werden von [mm] v_1, v_2.
[/mm]
Es muß also sein
[mm] f(v_1)=\vektor{0\\0}
[/mm]
[mm] f(v_2)=\vektor{0\\0}.
[/mm]
Nun weißt Du, daß lineare Abbildungen eindeutig bestimmt sind durch die Angabe ihrer Werte auf einer Basis.
Du kannst also so vorgehen:
ergänze zunächst [mm] (v_1,v_2) [/mm] durch zwei Vektoren [mm] (v_3,v_4) [/mm] zu einer Basis des [mm] \IR^4.
[/mm]
Für diese benötigst Du nun noch Funktionswerte. Weise ihnen die Basis des Bildes zu. (Welche Dimension hat das Bild?)
Wenn Dir dies geglückt ist, hast Du dastehen:
[mm] f(v_1):=\vektor{0\\0}
[/mm]
[mm] f(v_2):=\vektor{0\\0}
[/mm]
[mm] f(v_3):=w_3
[/mm]
[mm] f(v_4)=w_4.
[/mm]
Um nun die Matrix A, die Darstellungsmatrix bzgl der Einheitsvektoren, aufzustellen, brauchst Du die Funktionswerte der Standardbasisvektoren [mm] e_1,...,e_4.
[/mm]
Schreibe dazu die [mm] e_i [/mm] als Linearkombination der _i und nutze die Linearität.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:42 Sa 05.02.2011 | | Autor: | Fatih17 |
Okay habe verstanden was zu tun ist,
also die beiden Vektoren erstmal überprüfen:
[mm] V_{1}= 3e_{1}-2e_{2}+4e_{4} [/mm] |:3
[mm] \gdw \bruch{1}{3}V_{1} [/mm] = [mm] e_{1}- \bruch{2}{3} [/mm] + [mm] \bruch{4}{3}
[/mm]
[mm] \gdw e_{1}= \bruch{1}{3}V_{1}+ \bruch{2}{3} [/mm] - [mm] \bruch{4}{3}
[/mm]
[mm] V_{2}= 3e_{1}-2e_{2}+3e_{3}-4e_{4}
[/mm]
das setzten wir jetzt [mm] e_{1} [/mm] rein:
[mm] V_{2}= 3*(\bruch{1}{3}V_{1}+ \bruch{2}{3} [/mm] - [mm] \bruch{4}{3}
[/mm]
[mm] )-2e_{2}+3e_{4}-4e_{4}
[/mm]
[mm] \gdw V_{2}= 1V_{1}+3e_{3}-8e_{4}
[/mm]
Also das haben wir in der Übung gemacht, aber was bringt mir das?
Als Ergebnis hatte er V1,e2,V2,e4 aber wo ist denn e3 abgeblieben?
Wir haben zwar Vektoren und Räume im ABitur gemacht, aber leider ganz anders als hier. Damals haben wir einfach zwei weitere Vektoren einfach bestimmt und die durften nicht parallel zu den adneren sein bzw identisch!
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Hallo Fatih17,
> Okay habe verstanden was zu tun ist,
>
> also die beiden Vektoren erstmal überprüfen:
>
> [mm]V_{1}= 3e_{1}-2e_{2}+4e_{4}[/mm] |:3
>
> [mm]\gdw \bruch{1}{3}V_{1}[/mm] = [mm]e_{1}- \bruch{2}{3}[/mm] +
> [mm]\bruch{4}{3}[/mm]
>
> [mm]\gdw e_{1}= \bruch{1}{3}V_{1}+ \bruch{2}{3}[/mm] - [mm]\bruch{4}{3}[/mm]
>
>
> [mm]V_{2}= 3e_{1}-2e_{2}+3e_{3}-4e_{4}[/mm]
>
> das setzten wir jetzt [mm]e_{1}[/mm] rein:
>
> [mm]V_{2}= 3*(\bruch{1}{3}V_{1}+ \bruch{2}{3}[/mm] - [mm]\bruch{4}{3}[/mm]
> [mm])-2e_{2}+3e_{4}-4e_{4}[/mm]
>
> [mm]\gdw V_{2}= 1V_{1}+3e_{3}-8e_{4}[/mm]
>
> Also das haben wir in der Übung gemacht, aber was bringt
> mir das?
>
> Als Ergebnis hatte er V1,e2,V2,e4 aber wo ist denn e3
> abgeblieben?
Nun, [mm]e_{3}[/mm] läßt sich als Linearkombination
der Vektoren [mm]V_{1}, \ e_{2}, \ V_{2}, \ e_{4}[/mm] darstellen.
>
> Wir haben zwar Vektoren und Räume im ABitur gemacht, aber
> leider ganz anders als hier. Damals haben wir einfach zwei
> weitere Vektoren einfach bestimmt und die durften nicht
> parallel zu den adneren sein bzw identisch!
Gruss
MathePower
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