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| Aufgabe | Das Schaubild einer ganzrationalen Funktion f vom Grad 3 ist symmetrisch zum Koordinatenursprung und schneidet die x-Achse an der Stelle 1. Außerdem schließt das Schaubild mit der x-Achse im 1. Quadranten eine Fläche mit dem Inhalt 12 ein.
Bestimme den Funktionsterm f(x) |
Kann mir jemand weiterhelfen? Muss man hier Bedingungen, wie bei einem linearen Gleichungssystem, aufstellen? Die Aufgabe ist aus ner Übungsklausur aus dem Pflichtteil, ich muss also ohne GTR arbeiten.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:29 Mo 30.03.2009 | | Autor: | Kroni |
> Das Schaubild einer ganzrationalen Funktion f vom Grad 3
> ist symmetrisch zum Koordinatenursprung und schneidet die
> x-Achse an der Stelle 1. Außerdem schließt das Schaubild
> mit der x-Achse im 1. Quadranten eine Fläche mit dem Inhalt
> 12 ein.
>
> Bestimme den Funktionsterm f(x)
> Kann mir jemand weiterhelfen? Muss man hier Bedingungen,
> wie bei einem linearen Gleichungssystem, aufstellen?
Hi,
ja.
Wie schaut denn eine ganzrat. Funktion 3. Gerades aus? Schreib die dir mal algemein hin. Dann weist du noch, dass sie symm. zum Koordinatenursprung ist. Das gibt dir noch eine weitere Bedingung. Dann weist du noch, dass sie bei $x=1$ die x-Achse schneidet, und du kannst mit Hilfe des Integrals, dessen Grenzen du aus der Angabe entnehmen kannst, den letzten Koeffizienten erledigen.
Dann die Punkte einsetzten, man bekommt ein LGS, das man dann lösen kann.
LG
Kroni
> Die
> Aufgabe ist aus ner Übungsklausur aus dem Pflichtteil, ich
> muss also ohne GTR arbeiten.
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Also die allgemeine Form ist is ja ax³+bx²+cx+d
Dadurch das sie punktsymmetrisch ist, darf sie nur ungerade hochzahlen besitzen, also ax³+cx (oder?^^)
f(1)=0 und f(-1)=0, aber das mit dem Integral, also dort die Bedingung aufstellen kann ich nicht. Wie macht man das?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:55 Mo 30.03.2009 | | Autor: | Kroni |
Hi,
die Fläche unter dem Graphen ist doch sowas wie [mm] $\int_a^b f(x)\,dx$, [/mm] und das Integral muss gleich 12 sein.
Die Grenzen solltest du auch kennen. Die Form [mm] $f(x)=ax^3+cx$ [/mm] passt.
In Welchen Grenzen musst du also integrieren? Und wie schaut das Integral dann aus, das gleich 12 sein muss?
LG
Kroni
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Da es punktsymmetrisch sind die beiden Integrale die durch den Ursprung getrennt sind, gleich groß, also kann ich die Grenzen 0 und 1 nehmen (f(1)=0).
[mm] \integral_{0}^{1}{f(x) dx}=6 [/mm] . Aber Ich weiß nicht wie man das als Bedingung schreiben kann, reicht es dann wenn ich ax³+cx=6 schreibe?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:12 Mo 30.03.2009 | | Autor: | Kroni |
Hi,
da steht doch, dass die Fläche unter dem Graphen im ersten Quadranten gleich 12 ist. Die Grenzen sind richtig, du musst aber die 6 durch eine 12 ersetzen.
Es muss also gelten, wie du schreibst [mm] $\int_0^1 (ax^3+cx)\,dx=12$
[/mm]
Ein [mm] $ax^3+cx=12$ [/mm] reicht nicht, weil doch das Integral von Null bis Eins über f 12 ergeben muss.
Also erst noch das Integral ausrechnen, Grenzen einsetzten und das gleich 12 setzen.
LG
Kroni
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 21:26 Mo 30.03.2009 | | Autor: | sixtyaighter |
also ich hab jetzt die stammfunktion [mm] 0.25ax^{4}-0.5x²
[/mm]
eingesetzt kam dann 0.25a-2c=12 raus
Mein Gesamtergebnis ist dann 9/48x³-9/48x
ist das richtig?
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halt nein.. ich hab mich verrechnat, hab bei der stammfunktion - statt +, und irgendwie hab ich beim einsetzen den kehrwert und 1/2 genommen jetzt komm ich dann auf
-48x³+48x
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:50 Mo 30.03.2009 | | Autor: | Kroni |
Hi,
ja, das passt denn:
$f(1)=-48*1+48=0$, [mm] $f(x)=-48x^3+48x$ [/mm] und [mm] $-f(-x)=-(48x^3-48x)=-48x^3+48x=f(x)$, [/mm] also Punktsymmetrie und
[mm] $\int_0^1 (-48x^3+48x)\,dx=\left[-12x^4+24x^2\right]^1_0=-12+24=12$
[/mm]
also erfüllt deine Fkt. alle Vorraussetzungen.
LG
Kroni
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