Bestimmen von x in einer Reihe < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:13 Mi 25.11.2009 | | Autor: | Ferolei |
| Aufgabe | Für [mm] x\in\IR [/mm] sei die folgende Reihe gegeben:
[mm] (\summe_{k=1}^{n}\bruch{x}{k^2})_n\in\IN
[/mm]
Bestimme diejenigen x, für welche die Reihe divergiert,konvergiert bzw. absolut konvergiert. |
Gibts für so eine Aufgabe eine bestimmte Vorgehensweise?
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:00 Mi 25.11.2009 | | Autor: | Ferolei |
Ich habe folgende Idee, vielleicht kann mir jemand sagen, ob das so geht:
Wir hatten das zwar noch nicht in der Vorlesung, aber ich habe sowas im Buch unter Konvergenzradius gefunden.
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}|\bruch{a_n}{a_{n+1}}|=\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{\bruch{1}{k^2}}{\bruch{1}{(k+1)^2}}=\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{(k+1)^2}{k^2}=\limes_{n\rightarrow\infty}k+1=\infty
[/mm]
Und damit konvergiert die Reihe für jedes x aus [mm] \IR [/mm] ?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 06:41 Do 26.11.2009 | | Autor: | fred97 |
> Ich habe folgende Idee, vielleicht kann mir jemand sagen,
> ob das so geht:
>
> Wir hatten das zwar noch nicht in der Vorlesung, aber ich
> habe sowas im Buch unter Konvergenzradius gefunden.
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}|\bruch{a_n}{a_{n+1}}|=\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{\bruch{1}{k^2}}{\bruch{1}{(k+1)^2}}=\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{(k+1)^2}{k^2}=\limes_{n\rightarrow\infty}k+1=\infty[/mm]
>
>
> Und damit konvergiert die Reihe für jedes x aus [mm]\IR[/mm] ?
Unfug ! Es ist [mm] \limes_{k\rightarrow\infty}\bruch{(k+1)^2}{k^2}=1
[/mm]
FRED
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:04 Sa 28.11.2009 | | Autor: | Ferolei |
Ehrlich gesagt verwirren mich die ganzen Antworten hier, weil jeder was anderes meint.
In der Vorlesung hatten wir leider bisher kein Quotientenkriterium oder ähnliches.
@fred: ich seh auch nicht, wie du auf den Grenzwert 1 kommst. Und was würde das bedeuten? Ich soll ja angeben, für welche x die Reihe konvergiert bzw. divergiert (oder sogar absolut konvergiert). Wenn ich jetzt einen Grenzwert da raus habe, was bedeutet das dann?
Die Methode, ich probiere einfach Werte für x aus, halte ich für weniger sinnvoll, nur leider weiß ich nicht,wie man es sonst machen kann.
lG
|
|
|
| |
|
Hallo Ferolei,
das Problem ist, dass immer noch nicht klar ist, wie Deine Folge eigentlich aussieht. Du hast inzwischen verschiedene Varianten eingestellt, für die aber die Antwort auf die Frage, für welches x sie konvergieren, völlig unterschiedlich ausfällt. Es ist dann auch kein Wunder, wenn Du völlig unterschiedliche Antworten erhältst.
Der Grenzwert, um den es jetzt gerade geht, scheint mir mit keiner der Folgen etwas zu tun zu haben. Trotzdem will ich Dir eben zeigen, wieso er 1 beträgt:
[mm] \limes_{k\rightarrow\infty}\bruch{(k+1)^2}{k^2}=\limes_{k\rightarrow\infty}\left(\bruch{k+1}{k}\right)^2=\limes_{k\rightarrow\infty}\left(1+\bruch{1}{k}\right)^2=\left(\limes_{k\rightarrow\infty}\left(1+\bruch{1}{k}\right)\right)^2=1^2=1
[/mm]
Vor dem vorletzten Gleichheitszeichen (spätestens) sieht man deutlich, dass [mm] \tfrac{1}{k} [/mm] für wachsendes k gegen Null geht.
So, und jetzt nochmal die (Doppel-)Frage aller Fragen:
Wie ist die genaue Aufgabenstellung; um welche Folge geht es?
Liebe Grüße
reverend
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:00 Sa 28.11.2009 | | Autor: | Ferolei |
| Aufgabe | Hier nochmal die die Frage:
Für [mm] x\in\IR [/mm] seien folgende Reihen gegeben:
a) [mm] (\summe_{k=1}^{n}\bruch{x}{k^2})_n\in\IN
[/mm]
b) [mm] (\summe_{k=1}^{n}(\bruch{x}{k})^k)_n\in\IN
[/mm]
c) [mm] (\summe_{k=0}^{n}\bruch{(-1)^k*(x-1)^k}{2^k})_n\in\IN_0 [/mm] |
Ok, also die Erklärung ist nachvollziehbar. Und was bedeutet das für mein x dass der Grenwert 1 ist?
Mir ist nicht klar, wie ich anhand diesem bestimmten kann, für welche x die Reihe konvergiert etc.
lG
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:07 Sa 28.11.2009 | | Autor: | reverend |
Aufgabe b ist immer noch nicht lesbar.
Heißt das [mm] \left(\summe_{k=1}^{n}\left(\bruch{x}{k}\right)^k\right)_n\in\IN [/mm] ?
Benutze die Vorschau-Funktion, bevor Du einen Beitrag absendest. Die TeX-Eingaben sind ja nicht immer einfach, und so sieht man schon mal, was der Editor daraus macht.
Wie ich Deine Formeleingabe verändert habe, siehst Du, wenn Du auf die Formel oben klickst.
Ich mache mich solange mal an Aufgabe a.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:15 Sa 28.11.2009 | | Autor: | Ferolei |
Ja genau das ist gemeint.
Gut,werde zukünftig meine Eingaben überprüfen, bevor ich sie abschicke.
|
|
|
| |
|
Hallo nochmal,
> a) [mm] (\summe_{k=1}^{n}\bruch{x}{k^2})_n\in\IN
[/mm]
Die Antwort hierauf hast Du schon. Man kann das x aus der Summe ziehen, die verbleibende Reihe ist konvergent - also auch für jedes x.
[mm] \summe_{k=1}^{n}\bruch{x}{k^2}=x\summe_{k=1}^{n}\bruch{1}{k^2}
[/mm]
lg
rev
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:58 Sa 28.11.2009 | | Autor: | Ferolei |
Ich habe hier noch eine Frage zu.
Soll ich hier so argumentieren, wie ich angefangen hatte und du später weiter erklärt hast (Also mit der Form [mm] |\bruch{a_n}{a_{n+1}}| [/mm] oder wie die erste Person, die sagte, dass der Grenzwert für die Summe ohne x [mm] \bruch{\pi^2}{6} [/mm] ist?
Was mich daran stört ist, dass [mm] \bruch{\pi^2}{6} [/mm] ja etwas anderes als Grenzwert 1 ist (was du ja raus hattest)
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:02 Sa 28.11.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
die antwort gehörte nicht zu der Aufgabe, wie man sie hjetzt lesen kann.
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:27 So 29.11.2009 | | Autor: | Ferolei |
Hallo, danke für die Hilfe.
Also die geomet. Reihe hatten wir mal. Also 2 Beispiele dazu.
Und die [mm] 1/k^2 [/mm] hatten wir mal zeigen müssen,dass sie konvergiert. Unser Dozent sagte dann einfach dazu, dass Euler den Wert gefunden hat.
Alternierende Reihen hatten wir auch mal. zB die alternierende harmonische Reihe mit Umordnungen und so.
Und in b) bin ich mir nicht sicher gewesen ob ich die geomterische nehmen darf, weil es ja jeweils hoch k ist.
Wir hatten bisher aber immer nur den Fall, dass der Zähler kleiner als der Nenner war.
Viele Grüße, Ferolei
|
|
|
| |
|
...hat Felix schon beantwortet.
Die Reihe konvergiert für jedes x.
Interessant ist ja immer nur das Verhalten "im Unendlichen" bzw. eben gegen unendlich. Und da ist es deutlich: irgendwann wird k>|x|, und ab da ist der Nachweis der Konvergenz kein Problem mehr.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:28 Sa 28.11.2009 | | Autor: | Ferolei |
Ich kenne das Majorantenkriterium nur leider nicht.
Was genau soll ich an dieser Stelle denn zeigen?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:24 Sa 28.11.2009 | | Autor: | reverend |
Diese Folge ist neu in der Diskussion.
Was hast Du bisher mit ihr versucht? Welche Konvergenzkriterien hast Du mit welchem Erfolg angewandt?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:30 Sa 28.11.2009 | | Autor: | Ferolei |
Mit der habe ich bisher nichts versucht, weil ich erst einmal die anderen verstehen wollte, die einfacher wirken.
Mich stört das ein wenig, dass immer von konvergenzkriterien gesprochen wird, da wir bisher wirklich noch keine hatten.
Ich habe das Gefühl, dass unser Übungsgruppenleiter, der die Blätter erstellt, nicht so ganz genau weiß, was in unserer Vorlesung passiert.
Natürlich kann ich mir alles selbst beibringen und mich einlesen,aber dann heißt es wieder "das haben wir noch nicht gezeigt, benutze bitte nur Sätze aus der Vorlesung"....
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:37 Sa 28.11.2009 | | Autor: | reverend |
oh.
Das ist in der Tat ein Problem. Leider keins, das wir hier lösen können.
Normalerweise gibt es ja ein Skript, und die Übungsgruppenleiter haben einen Plan, an welchem Datum die Vorlesung wie weit kommt. Wenn der Dozent dann hinterherhinkt, gibt es ein Problem.
Das solltest Du ansprechen.
Ohne Konvergenzkriterien kann man hier wenig machen, es sei denn, es gelingt einem, den tatsächlichen Wert der Reihe zu berechnen, will heißen ohne zusätzlichen Schnickschnack den Grenzwert zu bestimmen. Das ist in den meisten Fällen sehr schwierig, wenn überhaupt möglich.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:44 Sa 28.11.2009 | | Autor: | Ferolei |
Leider haben wir kein Skript. Wir müssen 1,5Std. alles fleißig von der Tafel abschreiben.
Das ist dann natürlich nicht so gut, wenn man ohne nicht wirklich weiterkommt.
Muss ich die b) dann irgendwie nach oben abschätzen ? Also eine Reihe finden, die etwas größer ist vom Wert und konvergiert?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:51 Sa 28.11.2009 | | Autor: | reverend |
Ja, gut überlegt. Genau das nennt man eine Majorante.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:49 Sa 28.11.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
Habt ihr denn z. Bsp die Reihe
[mm] \summe_{k=1}^{n}1/k^2 [/mm] behandelt?
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
> Für [mm]x\in\IR[/mm] sei die folgende Reihe gegeben:
> [mm](\summe_{k=1}^{n}\bruch{x}{k^2})_n\in\IN[/mm]
> Bestimme diejenigen x, für welche die Reihe
> divergiert,konvergiert bzw. absolut konvergiert.
> Gibts für so eine Aufgabe eine bestimmte Vorgehensweise?
Falls du diese Reihe tatsächlich richtig notiert hast,
so ist
[mm] $\left(\summe_{k=1}^{n}\bruch{x}{k^2}\right)_{n\in\IN}\ [/mm] =\ [mm] x*\left(\summe_{k=1}^{n}\bruch{1}{k^2}\right)$
[/mm]
Die Summe in der Klammer hat für [mm] n\to\infty [/mm] den Grenzwert [mm] \frac{\pi^2}{6}
[/mm]
Mit anderen Worten: für alle [mm] x\in\IR [/mm] ist die Reihe konver-
gent (und auch absolut konvergent), und ihr Wert ist ge-
geben durch
[mm] $\frac{x*\pi^2}{6}$
[/mm]
LG Al-Chw.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:32 Mi 25.11.2009 | | Autor: | Ferolei |
| Aufgabe | | und für [mm] \summe_{k=1}^{n}(\bruch{x}{k})^k [/mm] ? |
Ja so meinte ich das ja, nur dass ich die Formel von euler noch verwendet hatte.
Jetzt habe ich oben aber das Problem, dass ich das x nicht ausgeklammert kriege...
|
|
|
| |
|
Hallo Ferolei,
da kannst Du ja auch kein x ausklammern (na gut, eins schon...).
Ich sehe allerdings keinen Zusammenhang zu Deiiner ursprünglich eingestellten Frage.
Hast Du schon Quotienten- oder Wurzelkriterium versucht? Beide sehen ja ganz vielversprechend aus. Welche kennst Du noch?
Im übrigen scheint der Konvergenzbereich wohl (möglicher x) bei numerisch-experimenteller Überprüfung wesentlich größer zu sein, aber ich sehe nicht, wie man den zeigen kann. Darum lasse ich die Frage nur auf "teilweise beantwortet".
lg
reverend
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 04:19 Do 26.11.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> und für [mm]\summe_{k=1}^{n}(\bruch{x}{k})^k[/mm] ?
Die konvergiert fuer jedes $x [mm] \in \IR$.
[/mm]
Fuer ein festes $x$ ist fuer gross genuges $k$ [mm] $|\frac{x}{k}| [/mm] < 1$. Fuer den unendlichen Teil der Reihe kannst du also das Majorantenkriterium benutzen, der endliche Anfang fuer den $|x/k| [mm] \ge [/mm] 1$ ist kannst du weglassen.
LG Felix
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:02 Sa 28.11.2009 | | Autor: | Ferolei |
Ich verstehe hier nicht, was mit dem ^k passiert bei der Betrachtung. Ist das irrelevant?
Was ist denn der unendliche Teil meiner Reihe?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:46 Sa 28.11.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
zu b)
ihr habt sicher die geometrische Reihe gehabt. versuch mal die in der b) zu sehen, du weisst für welch q die geom. Reihe konvergiert, dann findest du hier das entsprechende x.
die letzte Reihe alterniert. Habt ihr arüber was gemacht.? Statt zu sagen, was ihr nicht gemacht habt, erzähl mal, was ihr bisher für Reihen gemacht habt, und wie ihr irgendeine Konvergenz dabei gezeigt habt.
Gruss leduart
|
|
|
|
