Bestimmnung der Funktionen < Ganzrationale Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Bestimme eine Parabel vierten Grades die im Ursprung einen Wendepunkt hat mit der 2. Winkelhalbierenden als Tangente und im Punkt B(2/4) einen Tiefpunkt besitzt. |
Ich habe solche Aufgaben schon gerechnet, aber irgentwie hab ich jetzt ein Black-Out! Kann mir vielleicht jemand helfen? Das wäre echt lieb!
Ich danke schon im Vorraus
GLG Nicole
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:58 Do 19.04.2007 | | Autor: | DerD85 |
hi
wähle als ansatz einfach ein polynom 4. grades ([mm]f(x)=a_4x^4+a_3x^3...[/mm]) als ansatz und erstelle dann aus diesem ansatz auf der basis deiner gegebenen "anfangsbedingungen" gleichungen.
aus deinen bedingungen erfährst du z.b. [mm]f^{'}(0)=-1[/mm] also
[mm]4*a_4(0)^3+3*a_3(0)^2+2*a_2(0)+a_1=-1[/mm]
das auf diese weise aufgestellte gleichungssystem löst du und fertig ist deine funktion.
dennis
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gut hab ich jetzt gemacht und versucht die Funktion zu bestimmen, aber irgentwie haut meine Funktion nicht hin! Also ich hab raus: [mm] f(x)=\bruch{7}{12}x^4-2x^3+5\bruch{1}{3}x [/mm] Kann das hinhauen??
Bitte um verständis es sind wiederholungen von der 9. klasse und jetzt bin ich 11.! 
Nochmals danke nicole
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:34 Do 19.04.2007 | | Autor: | hase-hh |
moin!
zur bestimmung einer ganzrationalen funktion 4. grades brauche ich im prinzip 5 gleichungen (informationen).
f(x)= [mm] ax^4 +bx^3 +cx^2 [/mm] +dx +e
f'(x)= [mm] 4ax^3 +3bx^2 [/mm] + 2cx +d
f''(x)= [mm] 12ax^2 [/mm] +6bx +2c
1. Information: Funktion geht durch den Ursprung, d.h.
0= [mm] a*0^4 [/mm] + [mm] b*0^3 [/mm] + [mm] c*0^2 [/mm] + d*0 + e => e=0
2. Information: Funktion hat bei x=0 (Ursprung) einen Wendepunkt, d.h.
0= [mm] 12a*0^2 [/mm] +6b*0 +2c (II.)
=> c=0
3. Information: mit der 2. Winkelhalbierenden --- y=-x --- als Tangente, d.h.
f'(0)=-1
-1 = [mm] 4a*0^3 +3b*0^2 [/mm] + 2c*0 +d => d= -1
4.+5. Information: Funktion hat an Punkt B (2 / 4) einen Tiefpunkt, d.h.
4 = [mm] a*2^4 [/mm] + [mm] b*2^3 +c*2^2 [/mm] + d*2
4 = 16a +8b -2 (III.)
und
f'(2)=0 => 0= [mm] 4a*2^3 +3b*2^2 [/mm] +2*c*2 +d
0 = 32a +12b -1 (IV.)
so, nun kann ich die anderen koeffizienten berechnen:
4 = 16a +8b -2
0 = 32a +12b -1
8b= 6 - 16a
b= [mm] \bruch{3}{4} [/mm] - 2a
0 = 32a + 9 -24a -1
0 = 8a +8
a= -1
mithin lautet die gesuchte funktion:
f(x)= [mm] -x^4 [/mm] + [mm] \bruch{11}{4}x^3 [/mm] -x
probe:
die funktion geht durch den ursprung, hat bei 2 eine waagerechte tangente, bei x=0 einen wendepunkt, (2/4) ist ein punkt der funktion...
gruß
wolfgang
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