Bestimmtes Integral ableiten < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:32 Mi 20.02.2013 | | Autor: | acid |
| Aufgabe | Gegeben sei die Funktion f : (0, [mm] \infty) \to \IR
[/mm]
f(x) = [mm] \integral_{0}^{x}{\frac{1}{\sqrt{(1+t^2)(2+t^2)}} dt}
[/mm]
Begründen Sie, dass f auf (0, [mm] \infty) [/mm] differenzierbar ist und berechnen Sie f'(x) für jedes x [mm] \in [/mm] (0, [mm] \infty). [/mm] |
Hallo!
Ich habe mir das hier überlegt. Wenn wir die Stammfunktion G(t) nennen, dann können wir das Integral ja einfach ausrechnen:
f(x) = G(x) - G(0)
Wenn ich das ganze jetzt ableite, müsste ich doch auf f' kommen. Also:
f'(x) = g(x) - g(0)
f'(x) = [mm] \frac{1}{\sqrt{(1+x^2)(2+x^2)}} [/mm] - [mm] \frac{1}{\sqrt{1 \cdot 2}}...
[/mm]
In der Lösung steht aber nur f'(x) = [mm] \frac{1}{\sqrt{(1+x^2)(2+x^2)}} [/mm] (was auch irgendwie mehr Sinn macht).
Wo ist mein Fehler? Muss ich alles mit der Kettenregel ableiten?
Viele Grüße
acid
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:37 Mi 20.02.2013 | | Autor: | abakus |
> Gegeben sei die Funktion f : (0, [mm]\infty) \to \IR[/mm]
>
> f(x) = [mm]\integral_{0}^{x}{\frac{1}{\sqrt{(1+t^2)(2+t^2)}} dt}[/mm]
>
> Begründen Sie, dass f auf (0, [mm]\infty)[/mm] differenzierbar ist
> und berechnen Sie f'(x) für jedes x [mm]\in[/mm] (0, [mm]\infty).[/mm]
> Hallo!
>
> Ich habe mir das hier überlegt. Wenn wir die Stammfunktion
> G(t) nennen, dann können wir das Integral ja einfach
> ausrechnen:
>
> f(x) = G(x) - G(0)
... und G(0) ist irgendeine konstante Zahl.
Reicht das?
Gruß Abakus
>
> Wenn ich das ganze jetzt ableite, müsste ich doch auf f'
> kommen. Also:
>
> f'(x) = g(x) - g(0)
> f'(x) = [mm]\frac{1}{\sqrt{(1+x^2)(2+x^2)}}[/mm] - [mm]\frac{1}{\sqrt{1 \cdot 2}}...[/mm]
>
> In der Lösung steht aber nur f'(x) =
> [mm]\frac{1}{\sqrt{(1+x^2)(2+x^2)}}[/mm] (was auch irgendwie mehr
> Sinn macht).
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> Wo ist mein Fehler? Muss ich alles mit der Kettenregel
> ableiten?
>
> Viele Grüße
> acid
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 17:43 Mi 20.02.2013 | | Autor: | acid |
Ah, okay. Vielen Dank!
Was wäre denn z.B. mit G(2x), da müsste ich die Kettenregel anwenden, oder?
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> Ah, okay. Vielen Dank!
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> Was wäre denn z.B. mit G(2x), da müsste ich die
> Kettenregel anwenden, oder?
Nimm dir doch bitte die kleine Mühe, eine klar
verständliche Frage zu stellen !
LG
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(Antwort) fertig | | Datum: | 06:31 Do 21.02.2013 | | Autor: | fred97 |
Ist I ein Intervall in [mm] \IR [/mm] und g eine auf I stetige Funktion, so kann man, mit einem festen a [mm] \in [/mm] I definieren:
[mm] f(x)=\integral_{a}^{x}{g(t) dt} [/mm] (x [mm] \in [/mm] I)
Der Hauptsatz der Differential - und Integralrechnung besagt:
f ist auf I differenzierbar und f'(x)=g(x) für jedes x aus I.
FRED
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