Bestimmung Koordinatengleichu. < Geraden und Ebenen < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:16 Mo 25.11.2013 | | Autor: | bennoman |
| Aufgabe | | Der Punkt (p1/0/0) liegt auf der x1 Achse. BEstimmen Sie die Koordinatengleichung einer Ebene mit dem Punkt P, die orthogonal zur x1 Achse ist. |
Hallo zusammen,
Wenn die Ebene orthogonal auf der x1 Achse liegen soll, liegt der Normalvektor von E auf der x1 Achse.
also:
p1*x1+0*x2+0*x3=?
Ich weiß jetzt nur nicht was auf der linken seite der Gleichung stehen muss.
Gruß
Benno
|
|
| |
|
Hallo bennoman,
das fängt doch gut an.
> Der Punkt (p1/0/0) liegt auf der x1 Achse. BEstimmen Sie
> die Koordinatengleichung einer Ebene mit dem Punkt P, die
> orthogonal zur x1 Achse ist.
> Hallo zusammen,
> Wenn die Ebene orthogonal auf der x1 Achse liegen soll,
Schlecht formuliert. Die Ebene soll orthogonal zur [mm] $x_1$-Achse [/mm] liegen. Oder meinetwegen auch stehen.
> liegt der Normalvektor von E auf der x1 Achse.
> also:
> p1*x1+0*x2+0*x3=?
> Ich weiß jetzt nur nicht was auf der linken seite der
> Gleichung stehen muss.
Da steht doch schon was Gutes.
Eine allgemeine Darstellung der Normalform ist doch diese:
[mm] (\vec{x}-\vec{p})*\vec{n}=0
[/mm]
Dabei ist [mm] \vec{x} [/mm] die eigentliche Variable, [mm] \vec{p} [/mm] und [mm] \vec{n} [/mm] definieren die Ebene.
Das ist nur eine Variante der Hesseschen Normalform. Finde mal raus, wo hier der Nullpunktsabstand $d$ geblieben ist, der sonst immer darin auftaucht. 
Grüße
reverend
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 20:37 Mo 25.11.2013 | | Autor: | bennoman |
Ich denke, dass die Koordinatengleichung der E folgendermaßen lauten muss:
p1*x1=a1*x1.
Da der Normalvektor (p1/0/0) ist.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:41 Mo 25.11.2013 | | Autor: | bennoman |
a1 darf nicht 0 sein, da die ebene nicht durch S(0/0/0) gehen muss und somit a1 einen Wert hat.
ist das richtig?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:11 Mo 25.11.2013 | | Autor: | abakus |
> a1 darf nicht 0 sein, da die ebene nicht durch S(0/0/0)
> gehen muss und somit a1 einen Wert hat.
> ist das richtig?
Hallo,
damit die Ebene den "richtigen" Normalenvektor
hat, sollte sie die Gleichung
[mm]x_1+0*x_2+0*x_3=d[/mm] oder kürzer [mm]x_1=d[/mm] besitzen.
Der Wert d ist nun so zu wählen, dass diese Gleichung auch vom Punkt ([mm]p_1[/mm]|0|0) erfüllt wird.
Gruß Abakus
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:19 Mo 25.11.2013 | | Autor: | bennoman |
Tut mir Leid aber ich verstehe nicht was du damit meinst.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:31 Mo 25.11.2013 | | Autor: | abakus |
> Tut mir Leid aber ich verstehe nicht was du damit meinst.
Hallo,
die Ebene [mm]a*x_1+b*x_2+c*x_3=d[/mm] besitzt den Normalenvektor [mm] \vektor{a \\b\\c}[/mm].
Du hast selbst gesagt, dass ein Normalenvektor in [mm]x_1[/mm]-Richtung verläuft, das wäre dann z.B. der Vektor [mm] \vektor{1\\0\\0}[/mm].
Also lautet eine mögliche Ebenengleichung
[mm]1*x_1+0*x_2+0*x_3=d[/mm]
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:48 Mo 25.11.2013 | | Autor: | bennoman |
Ich bin jetzt richtig verunsichert:
warum muss jetzt der Normalvektor (p1/0/0) sein und nicht ein Punkt A?
Darf man sich für d einen 'Wert aussuchen?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:53 Mo 25.11.2013 | | Autor: | abakus |
> Ich bin jetzt richtig verunsichert:
> warum muss jetzt der Normalvektor (p1/0/0) sein und nicht
> ein Punkt A?
> Darf man sich für d einen 'Wert aussuchen?
Hallo,
es gibt unendlich viele Gleichungen, die die selbe Ebene beschreiben.
[mm] $2x_1+5x_2-3x_3=10$ [/mm] beschreibt die selbe Ebene wie [mm] $20x_1+50x_2-30x_3=100$ oder $4x_1+10x_2-6x_3=20$ oder $-2x_1-5x_2+3x_3=-10$ .
[/mm]
Du brauchst nur eine vorhandene Gleichung mit einem Faktor ungleich Null zu multiplizieren.
Gruß Abakus
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:27 Mo 25.11.2013 | | Autor: | bennoman |
Ich glaube ich habe jetzt eine idee:
Ein Punkt A (von dem sozusagen alles ausgeht) hat die Koordinaten A(p1/0/0).
Ein weiterer Punkt ist X, der beliebig wählbar ist.
Der Normalvektor darf nur für den x1 Wert eine "richtige Zahl" haben, der x2 und x3 Wert müssen 0 sein, also z.B. [mm] \vektor{5\\0\\0}.
[/mm]
Ist diese Überlegung richtig?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:03 Mo 25.11.2013 | | Autor: | ullim |
Hi,
> Ich glaube ich habe jetzt eine idee:
> Ein Punkt A (von dem sozusagen alles ausgeht) hat die bukus schon
> Koordinaten A(p1/0/0).
> Ein weiterer Punkt ist X, der beliebig wählbar ist.
> Der Normalvektor darf nur für den x1 Wert eine "richtige
> Zahl" haben, der x2 und x3 Wert müssen 0 sein, also z.B.
> [mm]\vektor{5\\0\\0}.[/mm]
> Ist diese Überlegung richtig?
Der von Dir angegebene Vektor ist ein Normalenvektor, normalerweise wird der Normalenvektor aber so angegeben, dass er die Länge 1 hat. Also ist der Normalenvektor [mm] \vektor{1\\0\\0}
[/mm]
Die Lösung für die Ebenengleichung hat Abakus ja schon fast hingeschrieben, sie lautet x=d und d muss so bestimmt werden, das der Punkt [mm] \vektor{p_1\\0\\0} [/mm] in dieser Ebene liegt. Also setzt man den Vektor in die Ebenengleichung ein und bestimmt daraus den Wert für d. Daraus folgt [mm] d=p_1 [/mm] also ist die gesuchte Ebenengleichung [mm] x=p_1
[/mm]
|
|
|
|
