Bestimmung affiner Unterraum < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Wir betrachten die durch die Gleichung
x1 − 3x2 + x4 = 2
bzw. durch
x2 − x3 + x4 = 1
gegebenen Hyperräume L1 und L2 des [mm] \IR^{4}. [/mm]
Stellen Sie den affinen Unterraum L := L1 ∩ L2 von [mm] \IR^{4} [/mm] in der Form y + U
durch die Angabe eines y ∈ [mm] \IR^{4} [/mm]
und einer Basis des Unterraums U dar. |
Ich hätte folgende Lösung, bin mir aber nicht sicher ob sie richtig ist.
Gleichsetzen von L1 und L2
L1 ∩ L2 : x1 - 3x2 + x4 -2 = x2 - x3 + x4 - 1
L = x1 -4x2 +x3 = 1
=> n = [mm] \vektor{1 \\ -4 \\ 1 \\ 0}
[/mm]
dann LGS aufstellen
1 -4 1 0 | 0
B F F F
daraus ergibt sich dann y = [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ 0 \\ 0} [/mm] und
u1 = [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ -1 \\ 0};u2 [/mm] = [mm] \vektor{-4 \\ -1 \\ 0 \\ 0};u3 [/mm] = [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 0 \\ -1}
[/mm]
somit der affinen Raum L = y + < u1, u2, u3 >
Vielen Dank im voraus!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:28 Mi 28.05.2008 | | Autor: | fred97 |
Deine Lösung ist nicht richtig !
Du mußt das LGS
x1 − 3x2 + x4 = 2
x2 − x3 + x4 = 1
lösen. Die Lösungsmenge liefert Dir genau das, was Du suchst: y+U
Bei deiner "Lösung " ist (1,0,0,0) im schnitt von L1 und L2. Das ist aber nicht der Fall,wie Du leicht nachrechnen kannst.
FRED
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> Du mußt das LGS
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> x1 − 3x2 + x4 = 2
>
> x2 − x3 + x4 = 1
>
> lösen
ach so klar muss in beiden aufgehen habe nun folgende Lösung
1 0 -3 4 | 5
0 1 -1 1 | 1
B B F F
=> y = [mm] \vektor{5 \\ 1 \\ 0 \\ 0 } [/mm] und
u1 = [mm] \vektor{4 \\ 1 \\ 0 \\ -1 } [/mm] ; u2 = [mm] \vektor{-3 \\ -1 \\ -1 \\ 0 } [/mm]
somit L = y + <u1, u2>
Für mich nochmal zum Verständnis. Der Vektor y ist der Aufpunkt. u1 und u2 legen eine Ebene fest? Kann man das so sagen.
Wenn ich nun zu u1 und u2 einen normalvektor bestimmen möchte, dann stell ich ein LGS mit den zwei Vektoren u1, u2 auf und setz es gleich 0 oder?
Danke!
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> > Du mußt das LGS
> >
> > x1 − 3x2 + x4 = 2
> >
> > x2 − x3 + x4 = 1
> >
> > lösen
>
> ach so klar muss in beiden aufgehen habe nun folgende
> Lösung
>
> 1 0 -3 4 | 5
> 0 1 -1 1 | 1
> B B F F
>
> => y = [mm]\vektor{5 \\ 1 \\ 0 \\ 0 }[/mm] und
> u1 = [mm]\vektor{4 \\ 1 \\ 0 \\ -1 }[/mm] ; u2 = [mm]\vektor{-3 \\ -1 \\ -1 \\ 0 }[/mm]
>
> somit L = y + <u1, u2>
>
> Für mich nochmal zum Verständnis. Der Vektor y ist der
> Aufpunkt. u1 und u2 legen eine Ebene fest? Kann man das so
> sagen.
Hallo,
ja, so ist es.
[mm] u_1 [/mm] und [mm] u_2 [/mm] sind die Richtungsvektoren der Ebene.
> Wenn ich nun zu u1 und u2 einen normalvektor bestimmen
> möchte, dann stell ich ein LGS mit den zwei Vektoren u1, u2
> auf und setz es gleich 0 oder?
Ob man hier mit "ja" oder "nein" antworten muß, hängt ganz davon ab, was Du unter "dann stell ich ein LGS mit den zwei Vektoren u1, u2 auf und setz es gleich 0" verstehst.
Dahinter könnte sich allerlei verbergen...
Wofür willst Du einen zu u1, u2 senkrechten Vektor haben?
Gruß v. Angela
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Unser Professor frägt gerne nach einen Normalenvektor
LGS würde ich so aufstellen und dann lösen
4 1 0 -1 | 0
-3 -1 -1 0 | 0
also
1 0 -1 -1 | 0
0 1 4 3 | 0
=> n1 = [mm] \vektor{-1 \\ 3 \\ 0 \\ -1} [/mm] n2 = [mm] \vektor{-1 \\ 4 \\ -1 \\ 0}
[/mm]
müsste stimmen oder?
Danke!
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> Unser Professor frägt gerne nach einen Normalenvektor
>
> LGS würde ich so aufstellen und dann lösen
>
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> 4 1 0 -1 | 0
> -3 -1 -1 0 | 0
>
> also
>
> 1 0 -1 -1 | 0
> 0 1 4 3 | 0
>
> => n1 = [mm]\vektor{-1 \\ 3 \\ 0 \\ -1}[/mm] n2 = [mm]\vektor{-1 \\ 4 \\ -1 \\ 0}[/mm]
>
> müsste stimmen oder?
Hallo,
ja, das ist richtig ausgerechnet. Der ganze von diesen beiden Vektoren aufgespannte Raum (sämtliche Linearkombinationen der beiden) besteht aus Vektoren, die senkrecht zum vorher betrachten Raum sind.
Es gibt als ganz schön viele Normalenvektoren in viele verschiedene Richtungen.
Bei Geraden im dreidimensionalen Raum ist das ja auch so.
Gruß v. Angela
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