Bestimmung der Dimension < Sonstiges < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Bestimmen Sie die Dimension des Unterraumes im [mm] R^{4}, [/mm] der durch folgende Verktoren erzeugt wird:
(2 5 7 1 [mm] 8)^{T}; [/mm] (1 2 2 1 [mm] 4)^{T}; [/mm] (1 3 4 3 [mm] 7)^{T}; [/mm] (3 4 1 2 [mm] 9)^{T} [/mm] |
Guten Morgen,
ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gepostet.
Also diese oben genannte Aufgabe kommt aus einer Klausur Lineare Algebra an einer Fachhochschule.
Ich habe versucht im Papula informationen über Unterraum bzw. Dimensionen zu finden, leider ohne erfolgt.
Ich suche hier keine Lösung, sondern vielmehr, dass mir vllt. einer sagt, was ich hier machen soll und wir ich da am besten rangehe.
Für eure Mühe bedanke ich mich schon einmal im vorraus.
mfg,
Sebastian
|
|
| |
|
Hallo Sebastian,
> Bestimmen Sie die Dimension des Unterraumes im [mm]R^{4},[/mm] der
> durch folgende Verktoren erzeugt wird:
>
> (2 5 7 1 [mm]8)^{T};[/mm] (1 2 2 1 [mm]4)^{T};[/mm] (1 3 4 3 [mm]7)^{T};[/mm] (3 4 1 2
> [mm]9)^{T}[/mm]
> Guten Morgen,
>
> ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gepostet.
>
> Also diese oben genannte Aufgabe kommt aus einer Klausur
> Lineare Algebra an einer Fachhochschule.
>
> Ich habe versucht im Papula informationen über Unterraum
> bzw. Dimensionen zu finden, leider ohne erfolgt.
>
> Ich suche hier keine Lösung, sondern vielmehr, dass mir
> vllt. einer sagt, was ich hier machen soll und wir ich da
> am besten rangehe.
>
> Für eure Mühe bedanke ich mich schon einmal im vorraus.
>
> mfg,
> Sebastian
Bestimme die max. Anzahl linear unabhängiger Vektoren aus den 4 gegebenen.
Sie bilden ja ein Erzeugendensystem des gesuchten Unterraums.
Ein linear unabh. EZS ist eine Basis und die liefert dir die Dimension, denn Dimension=Anzahl der Basisvektoren.
Gruß
schachuzipus
|
|
|
| |
|
Guten Morgen,
bedeutet dass, das ich die linearen Abhängigkeiten untersuchen muss?
Also weil wenn ich das richtig verstanden habe, dann kann ich zum Beispiel einen Vektor mit Basisvektoren darstellen. (also wenn dieser Vektor im aufgespannten Raum liegt).
Soll ich also untersuchen, wie die Vektoren untereinander bzw. voneinander abhängen?
Vielen Dank,
Sebastian
|
|
|
| |
|
> bedeutet dass, das ich die linearen Abhängigkeiten
> untersuchen muss?
> Also weil wenn ich das richtig verstanden habe, dann kann
> ich zum Beispiel einen Vektor mit Basisvektoren darstellen.
> (also wenn dieser Vektor im aufgespannten Raum liegt).
>
> Soll ich also untersuchen, wie die Vektoren untereinander
> bzw. voneinander abhängen?
Hallo,
es fällt mir etwas schwer, hier mit "ja" oder "nein" zu antworten, weil ich nicht genau weiß, was Du Dir unter dem, was Du hier schreibst, vorstellst.
Du hast eine Menge von Vektoren gegeben, welche einen Raum erzeugen. Dessen Dimension ist zu bestimmen, und dazu mußt Du wissen, aus wievielen Vektoren eine linear unabhängige Teilmenge dieser Vektoren maximal bestehen kann.
Es sind hier verschiedene Vorgehensweisen denkbar, mühsame und weniger mühsame.
Eine wenig mühsame Vorgehensweise ergibt sich, wenn man weiß, daß der Rang einer Matrix die Anzahl der linear unabhängigen Zeilen bzw. Spalten liefert. Also?
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
Hallo,
also ich habe gerade die linearen Abhängigkeiten untersucht und bin auf folgendes ergebnis gekommen:
ich habe ja 4 Vektoren und bezeiche die mal also x1...x4
ich komme auf folgende Lösung:
x1-6x2+x3+x3= 0
aber leider weis ich nicht, was ich daraus jetzt intepretieren kann, außer, dass irgendwo eine lineare Abhängigkeit vorliegen muss, da wir ja eine Lösung gefunden haben, die nciht die trivial Lösung ist.
Wie muss ich jetzt weiter machen??
Vielen Dank für eure Mühe,
mfg,
Sebastian
|
|
|
| |
|
Hallo
Ich würde so vorgehen, dass ich die Vektoren [mm] x_{1},...,x_{4} [/mm] als Zeilen einer Matrix A schreiben würde.
Dann kannst du per Gauss-Algorithmus deine Matrix auf Zeinenstufenform bringen. Was bringt das? Nun, Gauss eliminiert ja bekanntlich die linear abhängigen Vektoren aus dem System, was in diesem Fall sehr von Vorteil ist :)
Wenn du die Matrix auf Zeilenstufenform gebracht hast, kannst du an der Anzahl entstandenen Nullzeilen erkennen, wieviele und welche Vektoren linear abhängig sind. Die, die übrig geblieben sind, bilden eine Basis des Untervektorraums.
Die Anzahl der übrig gebliebenen Vektoren ist die Dimension des UVR.
Grüsse, Amaro
|
|
|
| |
|
Hallo,
vielen Dank für deinen Tipp,
aber darf ich die Vektoren denn einfach als Zeilenvektoren schrieben, wenn ich der Aufgabenstellung die Verktoren noch transponiert werden müssen?
Außerdem habe ich ja mit dem vorher geschriebenen Part doch gezeigt, dass die Vektoren in einer Beziehung stehen oder habe ich da was falsch gemacht?
vielen Dank,
mfg,
Sebastian
|
|
|
| |
|
> Hallo,
>
Hallo,
> vielen Dank für deinen Tipp,
>
> aber darf ich die Vektoren denn einfach als Zeilenvektoren
> schrieben, wenn ich der Aufgabenstellung die Verktoren noch
> transponiert werden müssen?
Es ist egal ob die sie als Zeilen- oder Spaltenvektoren schreibst, da [mm] RangA=RangA^T. [/mm] Ich mags allerdings lieber als Spaltenvektoren, dann sieht man direkt welche Vektoren linear abhängig sind.
>
> Außerdem habe ich ja mit dem vorher geschriebenen Part
> doch gezeigt, dass die Vektoren in einer Beziehung stehen
> oder habe ich da was falsch gemacht?
>
Aber an dieser Darstellung siehst du doch noch nicht, wie viele hier wirklich linear abhängig sind. Außerdem frage ich mich, wie du auf diese Gleichung gekommen bist.
> vielen Dank,
>
> mfg,
> Sebastian
Gruß Patrick
|
|
|
| |
|
> Es ist egal ob die sie als Zeilen- oder Spaltenvektoren
> schreibst, da [mm]RangA=RangA^T.[/mm] Ich mags allerdings lieber als
> Spaltenvektoren, dann sieht man direkt welche Vektoren
> linear abhängig sind.
Okay, das verstehe ich
> Aber an dieser Darstellung siehst du doch noch nicht, wie
> viele hier wirklich linear abhängig sind. Außerdem frage
> ich mich, wie du auf diese Gleichung gekommen bist.
wenn du die von mir ermittelten Zahlen einsetzt, also mit den Vektoren multiplizierst ist das Ergebnis 0 und ich wollte wissen, was ich daraus herleiten kann.
> Gruß Patrick
mfg,
Sebastian
|
|
|
| |
|
Hallo
> > Es ist egal ob die sie als Zeilen- oder Spaltenvektoren
> > schreibst, da [mm]RangA=RangA^T.[/mm] Ich mags allerdings lieber als
> > Spaltenvektoren, dann sieht man direkt welche Vektoren
> > linear abhängig sind.
>
> Okay, das verstehe ich
Gut, dann kannst du das Verfahren jetzt anwenden :)
>
> > Aber an dieser Darstellung siehst du doch noch nicht, wie
> > viele hier wirklich linear abhängig sind. Außerdem frage
> > ich mich, wie du auf diese Gleichung gekommen bist.
>
> wenn du die von mir ermittelten Zahlen einsetzt, also mit
> den Vektoren multiplizierst ist das Ergebnis 0 und ich
> wollte wissen, was ich daraus herleiten kann.
>
Nur, dass die Vektoren linear abhängig sind.. aber welche, kannst du nicht sehen!
> > Gruß Patrick
>
> mfg,
> Sebastian
Grüsse, Amaro
|
|
|
|
