Bestimmung der Intervalle < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:05 Sa 13.10.2012 | | Autor: | knobi16 |
| Aufgabe | 1.) Ermitteln Sie die Wendepunkte und geben Sie die Intervalle an, in denen der Graph von f eine Linkskurve, bzw. eine Rechtskurve ist.
a)f(x)= 4+2x-x²
b)f(x)= x³-x
c)f(x)=x³+6x
2.) Treffen Sie Aussagen über die Monotonie der Funktion und begründen Sie diese. |
Mein Problem bei der Aufgabe ist, dass ich nicht weiß, wie ich ein Intervall bestimme, bzw ablese.
Die Wendepunkte zu berechnen, sind kein Problem, das habe ich schon mal gemacht:
a)=kein Wendepunkt ,da die 3. Ableitung 0 ergibt
b)= (0/0)
c)= (0/0)
Noch dazu hab ich keine Ahnung, wie ich AUssagen über monoton und Streng monoton fallend, bzw steigend, mache.
Ich hoffe, mir kann jemand helfen
Danke schonmal
LG
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt:
http://www.gutefrage.net/frage/monotonie-und-intervalle-einer-funktion#answer54970693
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:19 Sa 13.10.2012 | | Autor: | M.Rex |
Hallo.
> 1.) Ermitteln Sie die Wendepunkte und geben Sie die
> Intervalle an, in denen der Graph von f eine Linkskurve,
> bzw. eine Rechtskurve ist.
> a)f(x)= 4+2x-x²
> b)f(x)= x³-x
> c)f(x)=x³+6x
>
> 2.) Treffen Sie Aussagen über die Monotonie der Funktion
> und begründen Sie diese.
> Mein Problem bei der Aufgabe ist, dass ich nicht weiß,
> wie ich ein Intervall bestimme, bzw ablese.
> Die Wendepunkte zu berechnen, sind kein Problem, das habe
> ich schon mal gemacht:
>
> a)=kein Wendepunkt ,da die 3. Ableitung 0 ergibt
> b)= (0/0)
> c)= (0/0)
>
> Noch dazu hab ich keine Ahnung, wie ich AUssagen über
> monoton und Streng monoton fallend, bzw steigend, mache.
Die Stellen, an denen sich die Monotie ändern kann, sind die Stellen, an denen die Funktionskurve eine Tangentensteigung von 0 hat.
Das sind die möglichen Intervallgrenzen der Monotoniebereiche.
Das ganze ist bei ![[]](/images/popup.gif) Brinkmann-du.de hervorragend erklärt.
Die Krümmung eines Graphen an einer Stelle kannst du über die zweite Ableitung bestimmen.
Gilt: f''(x)>0 hast du an dieser Stelle eine Linkskrümmung (eine konvexen Kurvenverlauf), gilt f''(x)<0 hast du an der Stelle eine Rechstkrümmung (einen konkaven Kurvenverlauf). Die "Wechselstelle" der Krümmung ist also der Wendepunkt.
Auch dazu schau mal bei Brinkmann-du.de (Kapitel 7) bzw bei Mone Denninger.
> Ich hoffe, mir kann jemand helfen
> Danke schonmal
> LG
>
> Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen
> Internetseiten gestellt:
> http://www.gutefrage.net/frage/monotonie-und-intervalle-einer-funktion#answer54970693
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:28 Sa 13.10.2012 | | Autor: | knobi16 |
Hallo Marius.
Vielen DAnkf für die Antwort.
Jetzt hab ich aber noch eine Frage.
In der Arbeit wird es wahrscheinlich so sein, dass wir eine gezeichnete Funktion bekommen, und daran die Intervalle ablesen müssen.
Ichversteh nicht ganz, was ich dann mit den Klammern, also z.b [3;6; -3[ machen muss.
Wird immer nur der Wendepunkt ausgeschlossen?
Oder was genau?
Sorry für die etwas chaotische Frage, aber ich weiß nicht, wie ich sie einfacher stellen soll ....
LG
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Hallo knobi16, ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
Ich habe gerade in der Antwort von Marius einen wesentlichen Tippfehler korrigiert. Den Krümmungsverlauf kannst Du, wie er gesagt hat, an der zweiten Ableitung ablesen. Der Tippfehler war, dass dann die erste Ableitung stand.
Zu den Intervallen:
> In der Arbeit wird es wahrscheinlich so sein, dass wir
> eine gezeichnete Funktion bekommen, und daran die
> Intervalle ablesen müssen.
> Ichversteh nicht ganz, was ich dann mit den Klammern, also
> z.b [3;6; -3[ machen muss.
> Wird immer nur der Wendepunkt ausgeschlossen?
> Oder was genau?
Das kann man so genau leider nicht sagen. Nehmen wir mal den einfachen Fall einer Parabel, [mm] y=x^2. [/mm] Die hat ja keinen Wendepunkt, sondern ist durchgehend linksgekrümmt. Das Intervall der Linkskrümmung ist also einfach zu benennen: [mm] (-\infty;+\infty)
[/mm]
Hier taucht trotzdem schon das erste Problem auf. Gehören [mm] \pm\infty [/mm] noch in das Intervall? Dann wären ja eckige Klammern zu nehmen. Das könnte der Einstieg in eine lange philosophische Diskussion werden. Üblich sind hier zwar runde Klammern, aber halte Dich am besten an das, was Dein Lehrer/Deine Lehrerin von Dir verlangt.
Dann nehmen wir mal die Monotonie der Parabel. Von [mm] -\infty [/mm] her kommend ist sie bis zu ihrem Scheitelpunkt in (0;0) streng monoton fallend, ab da dann streng monoton wachsend.
Auch hier gibt es mehrere Möglichkeiten, nämlich vier:
1) Auf [mm] (-\infty;0) [/mm] fallend, auf [mm] (0;+\infty) [/mm] wachsend
2) Auf [mm] (-\infty;0) [/mm] fallend, auf [mm] [0;+\infty) [/mm] wachsend
3) Auf [mm] (-\infty;0] [/mm] fallend, auf [mm] (0;+\infty) [/mm] wachsend
4) Auf [mm] (-\infty;0] [/mm] fallend, auf [mm] [0;+\infty) [/mm] wachsend
Bei 2) und 3) schließen die Intervalle lückenlos aneinander an, aber dafür muss man festlegen, zu welcher "Seite" die 0 gehört. Das geht nur willkürlich.
Bei 1) fehlt eine Aussage über die 0. Hier müsste also ein drittes Intervall angegeben werden, das die Lücke schließt (und nur die 0 umfasst). Das wäre eigentlich ganz sauber, weil ja tatsächlich die Funktion in 0 eine waagerechte Tangente hat und somit weder fällt noch wächst.
Bei 4) gehört die 0 zu beiden Seiten. Auch das kann man noch begründen, wird aber von den meisten als unlogisch empfunden.
Also ist 1) am saubersten, verlangt aber eine Erklärung, was an der Stelle x=0 "los ist".
Auch hier kann ich Dir nur raten, die Schreibweise aus dem Unterricht zu verwenden.
> Sorry für die etwas chaotische Frage, aber ich weiß
> nicht, wie ich sie einfacher stellen soll ....
Schon ok. Hier ist es mehr das Thema, das das Chaos in sich birgt. 
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:54 Sa 13.10.2012 | | Autor: | knobi16 |
Achso, d. h dann, dass mit den Intervallen wirklich nur die "Strecke" ,sag ich jetzt mal, der z.b Linkskrümmung angegeben wird, also von wo bis wo sie linksgekrümmt ist und ab wo sie in die rechtskrümmung übergeht.
das nächste intervall ist dann wieder, wo sie rechtsgekrümmt ist.
und rechtsgekrümmt ist sie, wenn f'' (x) kleiner als 0 ist
und linksgekrümmt, wenn f''(x) größer als 0 ist.
Stimmt das so?
> Schon ok. Hier ist es mehr das Thema, dass das Chaos in sich
> birgt.
Das kann man wohl laut sagen!! ;)
Vielen Dank euch beiden für eure Mühe!
LG
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:00 Sa 13.10.2012 | | Autor: | knobi16 |
ach und was mir gerade noch einfällt, wann ist eine Funktiond denn jetzt monoton bzw. streng monoton fallend oder steigend?!?
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Hallo,
> ach und was mir gerade noch einfällt, wann ist eine
> Funktiond denn jetzt monoton bzw. streng monoton fallend
> oder steigend?!?
eine Funktion ist nach Definition streng monoton steigend, wenn für jede beliebig kleine positive Zahl h sowie für alle x aus dem Definitionsbereich stets die Ungleichung
f(x)<f(x+h)
gilt. Gilt stattdessen nur
[mm] f(x)\le{f(x+h)}
[/mm]
dann nennt man die Funktion 'nur' monoton steigend bzw. wachsend.
Aber Vorsicht: das obige heißt nicht, dass es nicht auch Stellen geben darf, an denen so eine Funktion eine waagerechte Tangente besitzt. Die Forderung
f'(x)>0
die man in der Schule oft als gleichbedeutend für streng monoton steigend lernt, ist zu streng: tatsächlich ist die Definition für die strenge Monotonie gleichbedeutend mit der Forderung
[mm] f'(x)\ge{0}
[/mm]
wobei die Gleichheit nur an 'abzählbar vielen' Stellen gelten darf.
Jetzt denkst du bestimmt: warum muss man das so kompliziert erklären? Weil es eben nicht ganz so einfach ist. Ich möchte dir daher ein Beispiel geben.
Die Funktion
[mm] f(x)=x^3
[/mm]
besitzt die Ableitung
[mm] f'(x)=3*x^2
[/mm]
und diese Ableitung ist an der Stelle x=0 ebenfalls gleich Null. Das Schaubild besitzt dort einen Sattelpunkt und die Funktion ist dennoch streng monoton steigend!
Die gute Nachricht am Ende ist die, dass
- in der Schulmathematik i.a. keine Funktionen behandelt werden, die nur monoton aber nicht streng monoton sind
- dir in der Schule das Kriterium mit der Ableitung meist ausreicht.
Gruß, Diophant
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Hallo nochmal,
> Achso, d. h dann, dass mit den Intervallen wirklich nur die
> "Strecke" ,sag ich jetzt mal, der z.b Linkskrümmung
> angegeben wird, also von wo bis wo sie linksgekrümmt ist
> und ab wo sie in die rechtskrümmung übergeht.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> das nächste intervall ist dann wieder, wo sie
> rechtsgekrümmt ist.
> und rechtsgekrümmt ist sie, wenn f'' (x) kleiner als 0
> ist
> und linksgekrümmt, wenn f''(x) größer als 0 ist.
> Stimmt das so?
Ja, alles richtig. ![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
> > Schon ok. Hier ist es mehr das Thema, das das Chaos in
> > sich birgt.
>
> Das kann man wohl laut sagen!! ;)
>
> Vielen Dank euch beiden für eure Mühe!
Gern geschehen. Dann bis zum nächsten Mal,
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:46 Sa 13.10.2012 | | Autor: | knobi16 |
jetzt hab ich doch noch eine Frage zur Monotonie:
ich hab mir mal alles zusammengefasst, wie ich meine es verstanden zu haben:
monoton steigend: teils horizontal, teils steigend
y-Wert der Ausgansfunktion = x- wert der Ausgangsfunktion
Streng monoton steigend: niemals horizontal, niemals fallend
y-Wert der Ausgansfunktiongrößer als x-Wert der Ausgansfunktion
monoton fallend: teils horizontal, teils fallend
y-Wert der Ausgansfunktion = x-Wert der Ausgansfunktion
streng monoton fallend: niemals horizontal oder steigend
y-Wert der Ausgansfunktion kleiner als x-Wert der Ausgansfunktion
Stimmt das?
Lg
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Hallo,
> jetzt hab ich doch noch eine Frage zur Monotonie:
>
> ich hab mir mal alles zusammengefasst, wie ich meine es
> verstanden zu haben:
>
> monoton steigend: teils horizontal, teils steigend
> y-Wert der Ausgansfunktion = x- wert der Ausgangsfunktion
>
> Streng monoton steigend: niemals horizontal, niemals
> fallend
> y-Wert der Ausgansfunktiongrößer als x-Wert der
> Ausgansfunktion
>
> monoton fallend: teils horizontal, teils fallend
> y-Wert der Ausgansfunktion = x-Wert der Ausgansfunktion
>
> streng monoton fallend: niemals horizontal oder steigend
> y-Wert der Ausgansfunktion kleiner als x-Wert der
> Ausgansfunktion
>
> Stimmt das?
nein, es stimmt eben nicht. Hast du denn meine Antwort zur Monotonie gelesen?
Gruß, Diophant
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:12 Sa 13.10.2012 | | Autor: | knobi16 |
> Hallo,
>
> > jetzt hab ich doch noch eine Frage zur Monotonie:
> >
> > ich hab mir mal alles zusammengefasst, wie ich meine es
> > verstanden zu haben:
> >
> > monoton steigend: teils horizontal, teils steigend
> > y-Wert der Ausgansfunktion = x- wert der
> Ausgangsfunktion
> >
> > Streng monoton steigend: niemals horizontal, niemals
> > fallend
> > y-Wert der Ausgansfunktiongrößer als x-Wert der
> > Ausgansfunktion
> >
> > monoton fallend: teils horizontal, teils fallend
> > y-Wert der Ausgansfunktion = x-Wert der Ausgansfunktion
> >
> > streng monoton fallend: niemals horizontal oder steigend
> > y-Wert der Ausgansfunktion kleiner als x-Wert der
> > Ausgansfunktion
> >
> > Stimmt das?
>
> nein, es stimmt eben nicht. Hast du denn meine Antwort zur
> Monotonie gelesen?
>
>
> Gruß, Diophant
Jap habe ich.
Aber demnach leider doch nicht verstanden.
Kannst du es vielleicht etwas einfcher versuchen, zu erklären?
Ich danke euch echt für eure Hilfe.
Einen großen Teil habe ich dadurch schon verstanden, nur mit der Monotonie hängt es noch.
Die angaben dazu habe ich hiervon :
http://www.frustfrei-lernen.de/mathematik/monotonie-monton-steigend-fallend.html
und:
http://www.uni-protokolle.de/foren/viewt/195849,0.html
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Hallo,
das Geschwurbel auf 'frustfrei Lernen' kannst du vergessen, das ist Blödsinn. In dem Thread auf uni-protokolle wurde soweit schon korrekt geantwortet, aber das eignet sich vielleicht nicht so gut, um das Wesen der Sache zu verstehen.
Ich habe in meiner ersten Antwort eine positive Zahl h eingeführt, deren Sinn ich vergessen habe zu erklären: eben, weil sie positiv ist, gilt stets
x<x+h
Wir können das aber genausogut umformulieren. Sei
[mm] x_1=x
[/mm]
[mm] x_2=x+h
[/mm]
Dann haben wir
[mm] x_1
Wenn nun für zwei solche x-Werte mit [mm] x_1
[mm] f(x_1)nicht dass eine solche Funktion nirgends horizontal werden darf. Sie kann nämlich in einzelnen Punkten waagerechte Tangenten haben. Überprüfe das selbst, dass [mm] f(x)=x^3 [/mm] obiges Kriterium erfüllt!
Für streng monoton fallende Funktionen gilt demnach:
[mm]x_1f(x_2)[/mm]
Wenn jetzt jedoch für eine Funktion und zwei solche x-Werte nur die schwächere Forderung
[mm] f(x_1)\le{f(x_2)}
[/mm]
gilt, dann nennt man sie monoton steigend und für die umgekehrte Relation monoton fallend.
Mache dir klar, dass es jetzt möglich ist, dass neben einzelnen Punkten mit waagerechter Tangente auch stückweise waagerechte Funktionverläufe möglich sind. Insbesondere ist die konstante Funktion
f(x)=c
deren Schaubild eine waagerechte Gerade ist, sowohl monoton steigend als auch monoton fallend.
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:48 Sa 13.10.2012 | | Autor: | knobi16 |
| Aufgabe | | Vom Punkt P (2/5) werden die Tangenten an den graphen von f mit f(x)= -0,5x³+ 1,5x+2 glegt. Bestimmen Sie diese Tangentengleichung und die Berührpunkte. |
Ich werde Monotonie jetzt aufgeben und am Montag meinen Mathelehrer solange löchern, bis ichs verstanden habe ;)
Allerdings habe ich jetzt noch was anderes, die Aufgabe steht oben.
Sorry für die vielen Fragen!
Wie genau muss ich da vorgehen?
Ich weiß, dass ich die Tangentensteigungsform bekomme, wen ich die erste Ableitung habe.
LG
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Hallo,
> Ich werde Monotonie jetzt aufgeben und am Montag meinen
> Mathelehrer solange löchern, bis ichs verstanden habe ;)
mach das auf jeden Fall. Aber du solltest nicht so schnell aufgeben. Dein Irrtum besteht hier wohl teilweise auch darin, dass du etwas versuchst zu verstehen, wo es nichts zu verstehen gibt. Die Monotonie und die strenge Monotonie sind Definitionen. Das wurde so festgelegt und man muss es vereinfacht gesagt auswendig lernen!
Darüberhinaus als Empfehlung: eine der besten Übungen dabei, in Mathematik weiterzukommen, ist die, dass man immer wieder so präzise wie möglich formuliert, was einem unklar ist.
> Vom Punkt P (2/5) werden die Tangenten an den graphen von f
> mit f(x)= -0,5x³+ 1,5x+2 glegt. Bestimmen Sie
> diese Tangentengleichung und die Berührpunkte.
>
> Allerdings habe ich jetzt noch was anderes, die Aufgabe
> steht oben.
Bitte mache in Zukunft für neue Fragen grundsätzlich einen neuen Thread auf, der Übericht halber!
> Wie genau muss ich da vorgehen?
> Ich weiß, dass ich die Tangentensteigungsform bekomme,
> wen ich die erste Ableitung habe.
Ich weiß nicht, was eine Tangentensteigungsform ist. Du solltest solche Formeln explizit angeben, es ist halt so, dass diese ganzen Formeln der Schulmathematik jeweils so ca. 157 unterschiedliche Namen haben. 
Die Aufgabe muss man wohl mit Hilfe der allgemeinen Tangentengleichung
t: y=f'(u)*(x-u)+f(u)
angehen. Darin ist B(u|f(u)) der zunächst unbekannte Berührpunkt der Tangente. Wenn man in obige Gleichung für x und y die Koordinaten des Punktes P einsetzt, erhält man eine Bestimmungsgleichung für u, die man im vorliegenden Fall* auf elementarstem Weg auflösen kann.
*Das ist nicht selbstverständlich: dieser Ansatz führt schnell auf Gleichungen, die man entweder nicht mehr analytisch lösen kann oder zumindest nicht mit den Mitteln der Schulmathematik. Dann ist heutzutage der GTR gefragt.
Gruß, Diophant
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:14 Sa 13.10.2012 | | Autor: | knobi16 |
> Bitte mache in Zukunft für neue Fragen grundsätzlich
> einen neuen Thread auf, der Übericht halber!
>
Oh tut mir leid, dass habe ich nicht beachtet.
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> Ich weiß nicht, was eine Tangentensteigungsform ist.
Tangentensteigungsform ist, soweit ich weiß, die erste Ableitung.
Aber vielen Dank. Da hab ich endlich mal wieder was verstanden ;)
Danke für die Zeit die ihr euch genommen habt.
LG
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