Bestimmung der Jordanschen Nor < Eigenwerte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 03:11 Mi 04.05.2011 | | Autor: | Ingo23 |
| Aufgabe | Bestimmen Sie die Jordansche Normalform:
[mm] $\begin{pmatrix} 2 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & -1 & 1 \\ 1 & 1 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$ [/mm] |
Ich habe zunächst versucht, das charakteristische Polynom zu bestimmen, um daraus dann die Eigenwerte abzuleiten.
Es gilt: [mm] $p(\lambda) [/mm] = [mm] det(A-\lambda*I)$
[/mm]
[mm] $p(\lambda) [/mm] = [mm] \begin{pmatrix} 2-\lambda & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 2-\lambda & -1 & 1 \\ 1 & 1 & 2-\lambda & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1-\lambda \end{pmatrix}$
[/mm]
Als charakteristisches Polynom habe ich aktuell:
[mm] $\left(2-\lambda \right)^{3} \left(1-\lambda \right) [/mm] - [mm] \left(\left(2-\lambda\right)\left(1-\lambda \right) \right)$
[/mm]
Wie kann ich das charakteristisches Polynom denn noch weiter vereinfachen?
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt:
- http://www.matheboard.de
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 03:40 Mi 04.05.2011 | | Autor: | Fulla |
Hallo Ingo23,
dein charakteristisches Polynom stimmt nicht. Rechne doch mal vor, wie du darauf gekommen bist.
(Ich vermute mal du hast versucht, die ![[]](/images/popup.gif) Regel vor Sarrus anzuwenden. Diese gilt aber nur für 3x3-Matrizen. Du musst hier die Determinante schon entwickeln.)
Lieben Gruß,
Fulla
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 08:31 Mi 04.05.2011 | | Autor: | Ingo23 |
Danke für den Hinweis bzgl. der Regel von Sarrus. Ich habe jetzt versucht den Laplace'schen Entwicklungssatz anzuwenden.
Dazu habe ich mir die 3. Zeile ausgesucht und folgendes erreicht:
[mm] $(1-\lambda [/mm] ) * det [mm] \begin{pmatrix} 2-\lambda & 0 & 1 \\ 0 & 2-\lambda & -1 \\ 1 & 1 & 2-\lambda \end{pmatrix}$ [/mm]
Nun habe ich Probleme beim weiteren umformen...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:57 Mi 04.05.2011 | | Autor: | fred97 |
> Danke für den Hinweis bzgl. der Regel von Sarrus. Ich habe
> jetzt versucht den Laplace'schen Entwicklungssatz
> anzuwenden.
>
> Dazu habe ich mir die 3. Zeile ausgesucht und folgendes
> erreicht:
>
> [mm](1-\lambda ) * det \begin{pmatrix} 2-\lambda & 0 & 1 \\ 0 & 2-\lambda & -1 \\ 1 & 1 & 2-\lambda \end{pmatrix}[/mm]
>
> Nun habe ich Probleme beim weiteren umformen...
Warum berechnest Du denn nicht die Det. der 3x3 _ Matrix ?? Sarrus !
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:22 Mi 04.05.2011 | | Autor: | Ingo23 |
Ok, dann hätten wir [mm] \left((2-\lambda)^{3}\right) [/mm] - [mm] \left((2-\lambda)^{2}\right) [/mm] + [mm] \left(2-\lambda\right) [/mm] als charakteristisches Polynom, woraus sich der Eigenwert [mm] $\lambda=2$ [/mm] ergibt. Es gibt 3 Blöcke, mit den Längen l = 1,2,3.
Ist das bis zu diesem Punkt korrekt?
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> Ok, dann hätten wir [mm]\left((2-\lambda)^{3}\right)[/mm] -
> [mm]\left((2-\lambda)^{2}\right)[/mm] + [mm]\left(2-\lambda\right)[/mm] als
> charakteristisches Polynom,woraus sich der Eigenwert
> [mm]\lambda=2[/mm] ergibt.
Hallo,
mal angenommen, Du hättest wirklich das richtige charakteristische Polynom erwischt:
Woher nimmst Du die Sicherheit, daß es nur den Eigenwert 2 gibt? Auf einen Blick sehe ich das nicht.
> Es gibt 3 Blöcke, mit den Längen l =
> 1,2,3.
Woran siehst Du das? Wie bestimmt man die Länge der Blöcke?
Und überhaupt: wie würde die JNF denn dann aussehen?
Du bekämst eine [mm] 6\times [/mm] 6-Matrix...
Du siehst, irgendwas läuft hier gerade gründlich daneben.
>
> Ist das bis zu diesem Punkt korrekt?
Nein.
Du hattest
[mm] p_A(\lambda)=det(A-\lambda_E)=
[/mm]
[mm] (1-\lambda ) \cdot{} det \begin{pmatrix} 2-\lambda & 0 & 1 \\
0 & 2-\lambda & -1 \\
1 & 1 & 2-\lambda \end{pmatrix} [/mm]
Wenn Du hier nun die det der [mm] 3\times [/mm] 3-Matrix mit Sarrus berechnest, bekommst Du auf jeden Fall doch ein Ergebnis der Form [mm] (1-\lambda)*irgendwas.
[/mm]
...= [mm] (1-\lambda)*[(2-\lambda)^3 [/mm] - [mm] (2-\lambda) [/mm] + [mm] (2-\lambda)]
[/mm]
[mm] =(1-\lambda)*(2-\lambda)^3.
[/mm]
Jetzt weiter.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:16 Mi 04.05.2011 | | Autor: | Ingo23 |
Auf [mm] $(2-\lambda)^{3} (1-\lambda)^{1}$ [/mm] bin ich nun auch gekommen...
Es ergeben sich also dei beiden Eigenwerte [mm] $\lambda_1 [/mm] = 2$ und [mm] $\lambda_1 [/mm] = 1$.
Im nächsten Schritt bestimme ich Eigenraum und Dimension...
Dazu löse ich folgende GLS:
Für [mm] $\lambda_1 [/mm] = 2$:
$(A-2*I) = [mm] \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \end{pmatrix} \left(x\right) [/mm] = 0$
Hier stehe ich im Momemt, da ich mir nicht sicher bin, wie ich das GLS mit Gauß umforme.
Für [mm] $\lambda_1 [/mm] = 1$:
$(A-1*I) = [mm] \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & -1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \left(x\right) [/mm] = 0$
Umgeformt mit Gauß:
$(A-1*I) = [mm] \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & -1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \left(x\right) [/mm] = 0$
Ergibt:
[mm] $x_1 [/mm] + [mm] x_3 [/mm] = 0$
[mm] $x_2 [/mm] - [mm] x_3 [/mm] + [mm] x_4 [/mm] = 0$
[mm] $x_3 [/mm] - [mm] x_4 [/mm] = 0$
Hier komme ich nicht weiter, da eine Gleichung mit 4 Unbekannten...
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> Auf [mm](2-\lambda)^{3} (1-\lambda)^{1}[/mm] bin ich nun auch
> gekommen...
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> Es ergeben sich also dei beiden Eigenwerte [mm]\lambda_1 = 2[/mm]
> und [mm]\lambda_1 = 1[/mm].
>
> Im nächsten Schritt bestimme ich Eigenraum und
> Dimension...
>
> Dazu löse ich folgende GLS:
>
> Für [mm]\lambda_1 = 2[/mm]:
>
> [mm](A-2*I) = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \end{pmatrix} \left(x\right) = 0[/mm]
>
> Hier stehe ich im Momemt, da ich mir nicht sicher bin, wie
> ich das GLS mit Gauß umforme.
>
> Für [mm]\lambda_1 = 1[/mm]:
>
> [mm](A-1*I) = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & -1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \left(x\right) = 0[/mm]
>
> Umgeformt mit Gauß:
>
> [mm](A-1*I) = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & -1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \left(x\right) = 0[/mm]
>
>
> Ergibt:
>
> [mm]x_1 + x_3 = 0[/mm]
> [mm]x_2 - x_3 + x_4 = 0[/mm]
> [mm]x_3 - x_4 = 0[/mm]
>
> Hier komme ich nicht weiter, da eine Gleichung mit 4
> Unbekannten...
Hey Ingo,
für was brauchst du die Eigenräume, wenn du die Jordan`sche Normalform bestimmen sollst?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:00 Mi 04.05.2011 | | Autor: | Ingo23 |
Nach meinem Verständnis deshalb, weil ich mit den Berechnungen bis zu diesem Punkt nur etwas über die Anzahl der Jordanblöcke sagen kann. Danach ergibt sich folgende Jordansche Normalform:
[mm] $\begin{pmatrix} 2 & & \\ & 2 & \\ & & 2 & \\ & & & 1 \end{pmatrix}$
[/mm]
Sind die Eigenräume bekannt, lässt sich die Dimension der Blöcke berechnen und somit etwas über die Anzahl der Kästchen in einem Block sagen.
Es ist ja so, dass das Minimalpolynom eines Blocks die Länge des größten Kästchens angibt. Da das Minimalpolynom in dem hier genannten Beispiel dem berechneten charakteristischem Polynom (siehe oben) entspricht, ist die Länge des größten Kästchens 3 bzw 1. Da dies der Blöckgröße entspricht, existiert in jedem Block nur jeweils 1 Kästchen. Wenn dem so ist, bräuchte man die Eigenräume in dem Fall nicht berechneten, da damit keine zusätzlich Information gewonnen wird.
Die Jordansche Normalform würde dann so aussehen:
[mm] $\begin{pmatrix} 2 & & \\ 1 & 2 & \\ & 1 & 2 & \\ & & & 1 \end{pmatrix}$
[/mm]
Ist das korrekt?
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Hallo Ingo23,
> Nach meinem Verständnis deshalb, weil ich mit den
> Berechnungen bis zu diesem Punkt nur etwas über die Anzahl
> der Jordanblöcke sagen kann. Danach ergibt sich folgende
> Jordansche Normalform:
>
> [mm]\begin{pmatrix} 2 & & \\ & 2 & \\ & & 2 & \\ & & & 1 \end{pmatrix}[/mm]
>
> Sind die Eigenräume bekannt, lässt sich die Dimension der
> Blöcke berechnen und somit etwas über die Anzahl der
> Kästchen in einem Block sagen.
>
> Es ist ja so, dass das Minimalpolynom eines Blocks die
> Länge des größten Kästchens angibt. Da das
> Minimalpolynom in dem hier genannten Beispiel dem
> berechneten charakteristischem Polynom (siehe oben)
> entspricht, ist die Länge des größten Kästchens 3 bzw
> 1. Da dies der Blöckgröße entspricht, existiert in jedem
> Block nur jeweils 1 Kästchen. Wenn dem so ist, bräuchte
> man die Eigenräume in dem Fall nicht berechneten, da damit
> keine zusätzlich Information gewonnen wird.
>
> Die Jordansche Normalform würde dann so aussehen:
>
> [mm]\begin{pmatrix} 2 & & \\ 1 & 2 & \\ & 1 & 2 & \\ & & & 1 \end{pmatrix}[/mm]
>
> Ist das korrekt?
Ja. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Gruss
MathePower
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