Bestimmung der Möglichkeiten < Kombinatorik < Stochastik < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | In einer Klasse mit 30 Schülerinnen und Schülern sollen 5 Freikarten für die Premiere eines Kinofilms auf drei verschiedene Arten verteilt werden. Ermittle mit entsprechender Rechnung bzw. Begründung die jeweilige Anzahl der möglichen Kombinationen.
a) 5 Schüler/innen werden mithilfe eines Glückrads ermittelt, welches 30 gleich große Sektoren aufweist. Dabei kann es durchaus vorkommen, dass ein/e Schüler/in mehrfach gewinnt. |
Hallo,
ich habe so meine Probleme mit dieser Frage.
Meiner Ansicht nach handelt es sich bei dieser Aufgabe um ein Urnenmodell mit 30 Kugeln, von denen 5 gezogen werden. Die Reihenfolge wird nicht beachtet, aber die Kugeln werden wieder zurückgelegt.
Für die Anzahl der Kombinationen gilt: [mm] \vektor{n + k - 1 \\ k} [/mm] wobei n = 30 und k = 5. Das ergibt dann [mm] \vektor{30 + 5 - 1 \\ 5} [/mm] = [mm] \vektor{34\\ 5} [/mm] = 278256 Kombinationen. Allerdings soll laut Lösung [mm] \frac{30^5}{5!} [/mm] = 202500 richtig sein.
Ich gehe mal davon aus, dass die gegebene Lösung richtig ist und ich mich vertue, aber nur wo ist mein Ansatz falsch?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo,
die Musterlösung ist richtig. Vergesse mal das mit den Preisen (das ist hier nur um die Gedanken zu vernebeln angegeben  ): dem Glücksrad an sich entspricht ein Urnenmodell mit 30 Kugeln, mit Zurücklegen aber - und das ist der Punkt - mit Beachtung der Reihenfolge. Jetzt hat man eine Zuordnung der 5 Eintrittskarten zu bis zu 5 Peronen. Und dabei betrachtet man die Eintrittskarten als nicht unterscheidbar, soweit nicht anders angegeben, so dass man eben noch durch 5! dividieren muss.
Gruß, Diophant
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Handelt es sich bei der Aufgabenstellung jetzt um ein Urnenmodell mit n = 30 und k = 5?
Weil es gibt bei den Urnenmodellen ja die Fälle
- mit Zurücklegen ohne Beachtung der Reihenfolge
- mit Zürücklegen mit Beachtung der Reihenfolge
- ohne Zurücklegen ohne Beachtung der Reihenfolge
- ohne Zürücklegen mit Beachtung der Reihenfolge
Setze ich jetzt n und k in die jeweiligen Formeln für die Fälle ein, dann komme ich mit keiner einzigen dieser Formeln auf das geforderte Ergebnis und daher frage ich mich, ob sich die Aufgabenstellung überhaupt als Urnenmodell auffassen lässt.
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Hallo,
nicht immer nur in Formeln denken. Wie gesagt: das fünfmalige Drehen des Glücksrades ist äquivalent zu einem Urnenexperiment mit n=30, k=5, mit Zurücklegen und mit Beachtung der Reihenfolge. Soweit klar? Und: wenn du das Ergebnis für die Anzahl der Möglichkeiten (Variationen) mit dem Ergebnis deiner Musterlösung vergleichst, so solltest du eine gewisse Ähnlichkeit feststellen.
Gruß, Diophant
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Was meinst du jetzt mit Ähnlichkeiten?
Laut Formelsammlung gilt bei mir mit Zurücklegen und mit Reihenfolge [mm] n^k [/mm] für die Anzahl der Möglichkeiten. Damit kriege ich heraus, wieviele Mögliche 5er Pärchen an den gezogenen Zahlen es gibt. Aber warum spielt die Reihenfolge denn eine Rolle? Ist es nicht egal ob jetzt zum Beispiel nur {25,26,27,28,29} zu lasse oder auch {29,28,27,26,25}?
Also habe ich schon einmal den Nenner aus dem Bruch wieder gefunden. ;) 5! ist ja eine Fakultät, mit der weiß ich, dass ich 5 Elemente in 120 verschiedenen Anordnungen anorden kann.
Irgendwie bleibt noch der Aha-Effekt bei mir aus. Stimmt das, was ich geschrieben habe?
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Hallo,
> Laut Formelsammlung gilt bei mir...
wie gesagt: es kommt in der Mathematik, und insbesondere in der Kombinatorik, nicht primär darauf an, Formeln auswendig zu wissen (obwohl es auch nicht schadet). Viel wichtiger ist es, die hinter den Formeln stehenden Prinzipien verstanden zu haben, hier die Prinzipien des Abzählens.
Nochmal: die Sache mit den Eintrittskarten ist ein typischer Aufgabenzusatz, der das eigentliche Problem kaschieren soll. Dies ist deshalb so lehrreich, weil es in der Realität oft genau so aussieht, dort wo Abzählprobleme auftauchen. Die meisten dieser Probleme haben eine Gemeinsamkeit: sie sind sehr leicht zu formulieren und oft sehr schwer zu lösen. Und es kommt stets darauf an, gedanklich ganz sauber zu analysieren.
In der vorliegenden Aufgabe wird zunächst ein Glücksrad mit 30 Sektoren 5-mal gedreht. Nehmen wir an, die Sektoren sind durchnummeriert, so besteht die Ereignismenge aus alles 5-Tupeln aus {1;2;...;30}. Das sind insgesamt [mm] 30^5=24.300.000, [/mm] da man dieses Experiment mit dem Ziehen aus einer Urne mit Zurücklegen und mit Beachtung der Reihenfolge identifizieren kann.
Nun kommt die Sache mit den Eintrittskarten. Wie gesagt, man muss sie vom Drehen des Glücksrades gedanklich trennen. Die Sektoren des Rades stehen für die Schüler der Klasse. Es werden also nun fünf Eintrittskarten bis zu fünf Schülern zugeordnet. Auch dies kann man wieder als Urnenexperiment sehen, wenn man die Eintrittskarten als Kugeln und die zugeordneten Schüler als Züge auffasst. Dabei stellt sich heraus, dass es sich um Ziehen ohne Zurücklegen, aber mit Beachtung der Reihenfolge handelt, mit dann insgesamt 5!=120 Möglichkeiten.
Nun haben wir die Situation, dass jeweils 120 verschiedene Ausgänge des ersten Experimentes (Drehen des Glücksrades) zum gleichen Resultat (wer besitzt wie viele Eintrittskarten?) führen. Also müssen wir die Anzahl der Ausgänge des ersten Experimentes durch die Anzahl des zweiten Experimentes dividieren. Macht zusammen
[mm]z=\bruch{30^5}{5!}=202.500[/mm]
Möglichkeiten.
Gruß, Diophant
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