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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:27 Mi 03.12.2008 | | Autor: | husbert |
| Aufgabe | a) Bestimmen sie eine Parameterform der Ebene e durch die Punkte A=(4,1,2), B=(2,-2,1) und C=(5,5,-3)
b) Liegt der Punkt (1,2,3) auf der in a) beschriebenen Ebene?
c) Geben sie 2 verschiedene Parameterfromen der Ebene e aus a) an. |
Hi habe Folgendes gerechnet:
a)
Ich wähle A als Aufpunkt und v und u sind meine Richtungsvektoren. u:= OA und v:=AC a:= OA
u=OB-OA=(-2,-3,-1)
v=OC-OA=(1,4,-5)
Parameterform:
[mm] e={x|x=(1,4,2)+\lambda(-2,-3,-1)+\mu(1,4,-5),\lambda\mu\in \IR}
[/mm]
b)
Dort hab ich einfach die Normalform bestimmt und dann den Punkt eingesetzt.
n*u=0 [mm] \gdw [/mm] -2x-3y-z=0
n*v=0 [mm] \gdw [/mm] x+4y-5z=0
mit Hilfe der Determinante:
n(-19/5z,11/5z,z) z=5
Normalform ist dann: x*n=a*n
-19x+11y+5z=-55
wenn ich dann den Punkt einsetze kommt 18=-55 heraus.
Folglich liegt der Punkt nicht auf der Ebene.
c) Bei c soll man einfach einen anderen Aufpunkt bestimmen?
Zb C oder B? Verstehe die Fragestellung hier nicht.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:32 Mi 03.12.2008 | | Autor: | Dath |
Also: Du hast a) richtig gelöst (von der Idee her).
b): Ich würde einfach die Parameterform nehmen, und behalten, was spricht denn dagegen? Dann hättest du ein LGS mit zwei Variablen, und drei Gleichungen.
c) Wenn du eine andere Paramterform angeben willst machst du Folgendes: Geh von einem anderen Punkt aus, dann ist es einfach. Also: Nimm z.B. B statt A.
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Wie Dath schon sagt, du hast richtig gerechnet. Mir fällt es dennoch schwer, die Rechnung nachzuvollziehen, zumal Tippfehler darin sind (z.B. in Aufgabe a, wo Du [mm] \overrightarrow{AB} [/mm] verwendest, aber OA schreibst).
Auch Aufgabe b sieht noch kompliziert aus, liefert aber das richtige Ergebnis.
Für Aufgabe c genügt es in der Tat, einen anderen Aufpunkt zu wählen oder z.B. einen der Richtungsvektoren "umzudrehen" oder zu skalieren. Hübscher wäre natürlich eine noch stärker veränderte Darstellung, z.B. indem Du die beiden Vektoren [mm] \vec{g}=\vec{u}+\vec{v}, \vec{h}=2\vec{u}-\vec{v} [/mm] nimmst.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:57 Mi 03.12.2008 | | Autor: | husbert |
Dank an euch.
Und sorry für die Tippfehler.
Werde dann andere Aufpunkte wählen, ist einfacher. ;)
gruß bert.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:25 Di 09.12.2008 | | Autor: | juel |
hallo
ich würde gerne wissen wie man auf
n(-19/5z,11/5z,z) z=5
Normalform ist dann: x*n=a*n
-19x+11y+5z=-55
kommt
ich bin schon die ganze zeit am rechnen, ich kommt einfach nicht darauf.
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Hallo juel,
> hallo
>
> ich würde gerne wissen wie man auf
>
> n(-19/5z,11/5z,z) z=5
>
> Normalform ist dann: x*n=a*n
>
> -19x+11y+5z=-55
>
> kommt
>
> ich bin schon die ganze zeit am rechnen, ich kommt einfach
> nicht darauf.
Nimm aus der Parameterform der Ebene zwei Gleichungen heraus.
Löse diese nach den Parametern [mm]\lambda, \ \mu[/mm] auf und
setze sie die erhaltenen Lösungen in die verbliebene Gleichung ein.
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:59 Di 09.12.2008 | | Autor: | juel |
zwei Gleichungen
[mm] \lambda [/mm] (-2,-3,-1) und [mm] \mu [/mm] (1,4,-5)
also
-2x - 3y -z = x + 4y - 5z
hier mit komme ich nicht weiter :-(
kannst du mir bitte vielleicht ein ansatzt geben.
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Hallo juel,
> zwei Gleichungen
>
> [mm]\lambda[/mm] (-2,-3,-1) und [mm]\mu[/mm] (1,4,-5)
>
> also
>
> -2x - 3y -z = x + 4y - 5z
>
> hier mit komme ich nicht weiter :-(
>
> kannst du mir bitte vielleicht ein ansatzt geben.
De Ebene E liegt in Parameterform vor:
[mm]E:\pmat{x \\ y \\ z}=\pmat{4 \\ 1 \\ 2}+\lambda \pmat{-2 \\ -3 \\ -1}+\mu \pmat{1 \\ 4 \\ -5}[/mm]
Daher haben wir jetzt 3 Gleichungen:
[mm]4-2*\lambda+\mu=x[/mm]
[mm]1-3*\lambda+4*\mu=y[/mm]
[mm]2-\lambda-5*\mu=z[/mm]
Nun nimmst Du zwei Gleichungen her z.B. die ersten beiden:
[mm]4-2*\lambda+\mu=x[/mm]
[mm]1-3*\lambda+4*\mu=y[/mm]
Hieraus eliminierst Du die Parameter [mm]\lambda, \ \mu[/mm]
und setzt sie in die verbliebene Gleichung
[mm]2-\lambda-5*\mu=z[/mm]
ein.
Dann bekommst Du die Ebenengleichung in Koordinatenform.
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:35 Di 09.12.2008 | | Autor: | juel |
vielen dank, ich hab den Rechenweg verstanden, es ist nur so, je nach dem in welcher Reihenfolge ich rechne bekomme ich unterschiedliche zahlen..
1. Möglichkeit
[mm] 4-2\lambda+\mu=x
[/mm]
[mm] 1-3\lambda+4\mu=y [/mm] gleichsetzen
[mm] \Rightarrow \lambda=3 [/mm] und [mm] \mu=2
[/mm]
in [mm] 2-\lambda-5\mu=z [/mm] einsetzen [mm] \Rightarrow [/mm] z= -11
und nicht z=5
2. Möglichkeit
[mm] 4-2\lambda+\mu=x
[/mm]
[mm] 2-\lambda-5\mu=z [/mm] gleichsetzen
[mm] \Rightarrow \mu=0 [/mm] und [mm] \lambda=2
[/mm]
einsetzen in
[mm] 1-3\lambda+4\mu=y
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] y=5
wenn ich das habe weiß ich wie's nacher geht..
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Hall juel,
> vielen dank, ich hab den Rechenweg verstanden, es ist nur
> so, je nach dem in welcher Reihenfolge ich rechne bekomme
> ich unterschiedliche zahlen..
>
> 1. Möglichkeit
>
> [mm]4-2\lambda+\mu=x[/mm]
> [mm]1-3\lambda+4\mu=y[/mm] gleichsetzen
>
> [mm]\Rightarrow \lambda=3[/mm] und [mm]\mu=2[/mm]
Du bekommst hier eine Lösung für die Parameter [mm]\lambda, \ \mu[/mm],
die von x,y abhängig ist.
Ich mach das mal vor:
[mm]4-2\lambda+\mu=x \ \left(I\right)[/mm]
[mm]1-3\lambda+4\mu=y \ \left(II\right)[/mm]
Um den Paramter [mm]\lambda[/mm] zu eliminieren
addieren wir zum 2-fachen der Gleichung II das (-3)-fache
der Gleichung I:
[mm]2*\left(1-3\lambda+4\mu\right)-3*\left(4-2\lambda+\mu)=2*y-3*x[/mm]
[mm]\gdw -10+5\mu=3y-2x \Rightarrow \mu = \bruch{10-3x+2y}{5}[/mm]
Dasselbe Spiel mit [mm]\mu[/mm]:
Hier addieren wir das (-4)-fache der Gleichung I zur Gleichung II:
[mm]\left(1-3\lambda+4\mu\right)-4*\left(4-2\lambda+\mu)=y-4x[/mm]
[mm]-15+5\lambda=y-4x \Rightarrow \lambda=\bruch{15-4x+y}{5}[/mm]
Dies wird nun in die verbliebene Gleichung eingesetzt:
[mm]2-\lambda-5\mu=z[/mm]
[mm]\Rightarrow 2-\bruch{15-4x+y}{5}-5\bruch{10-3x+2y}{5}=z[/mm]
[mm]\gdw -11+\bruch{19}{5}x-\bruch{11}{5}*y=z[/mm]
[mm]\gdw 19x-11y-5z=55[/mm]
>
> in [mm]2-\lambda-5\mu=z[/mm] einsetzen [mm]\Rightarrow[/mm]
> z= -11
>
> und nicht z=5
>
>
> 2. Möglichkeit
>
> [mm]4-2\lambda+\mu=x[/mm]
>
> [mm]2-\lambda-5\mu=z[/mm] gleichsetzen
>
>
> [mm]\Rightarrow \mu=0[/mm] und [mm]\lambda=2[/mm]
>
> einsetzen in
>
> [mm]1-3\lambda+4\mu=y[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] y=5
>
>
> wenn ich das habe weiß ich wie's nacher geht..
>
>
Gruß
MathePower
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:04 Di 09.12.2008 | | Autor: | juel |
ich danke ihnen viel mals hat mir sehr geholfen
vielen dank
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