Bestimmung der Stammfunktion < Integralrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:03 So 11.01.2009 | | Autor: | cleaner1 |
| Aufgabe | Bestimmen Sie die Stammfunktion unter alleiniger Verwendung der Grundintegrale
[mm] F(x)=Integral(x/(x^4-3x^2+2))*dx [/mm] |
Ich hoffen ich kann gleich noch eine Datei anhängen in der die Liste der Grundintegrale ist.
Mein Problem ist ich weiß nicht ob ich das alles Richtig gemacht habe.
Mein Vorgehen ist folgendes:
Partialbruchzerlegung
[mm] (x^4-3x^2+2)=0 [/mm] durch erkennen x1=1 oder x2=-1
[mm] (x+x1)(x+x2)=(x+1)(x-1)=x^2-x+x-1=x^2-^
[/mm]
->Polynomdivision
[mm] (x^4-3x^2+2):(x^2-1)=-x^2+2
[/mm]
[mm] -x^4+x^2
[/mm]
[mm] -2x^2+2
[/mm]
[mm] 2x^2-2
[/mm]
[mm] A/(x+1)+B/(x-1)+(Cx+D)/(-x^2+2)=x
[/mm]
[mm] A(x-1)(-x^2+2)+B(x+1)(-x^2+2)+(Cx+D)(x+1)(x-1)=x
[/mm]
[mm] (Ax-A)(-x^2+2)+(Bx+B)(-x^2+2)+(Cx^2+Cx+Dx+D)(x-1)=x
[/mm]
[mm] Ax^3-Ax^2+2Ax-2A+Bx^3+Bx^2+2Bx+2Bx+Cx^3-Cx+Dx^2-D=x
[/mm]
x=x1
A(0)...+B(2)(1)+(C+D)(2)(0)=1
2B=1 => B=1/2
x=x2
A(-2)(1)+B(0)...+(C+D)(0)...=-1
-2A=-1 => A=1/2
x=0
A(-1)(2)+B(1)(2)+(C*0+D)(1)(-1)=0
-2A+2B-D=0
-1+1-D=0
D=0
So nun Habe ich ein Problem den ich schaffe es nicht C zu errechnen aber vielleicht habe ich vorher schon einen Fehler gemacht
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: pdf) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:08 So 11.01.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo cleaner!
Die  Partialbruchzerlegung muss lauten:
[mm] $$\bruch{x}{x^4-3*x^2+2} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{x}{(x+1)*(x-1)*\left(x+\wurzel{2} \ \right)*\left(x-\wurzel{2} \ \right)} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{A}{x+1}+\bruch{B}{x-1}+\bruch{C}{x+\wurzel{2}}+\bruch{D}{x-\wurzel{2}}$$
[/mm]
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:17 So 11.01.2009 | | Autor: | cleaner1 |
Hallo Loddar! Ja In der Ersten Hälfte Stimmen Wir ja überein aber ist den nicht C(x-Wurzel(2))+D/(x+Wurzel(2) Das selbe wie [mm] (Cx+D)/(-x^2+2) [/mm] Ich habe mir das irgendwann man so notiert (ich habe ja auch schon deswegen ein x veim C mit dran)
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Hallo cleaner1,
> Hallo Loddar! Ja In der Ersten Hälfte Stimmen Wir ja
> überein aber ist den nicht C(x-Wurzel(2))+D/(x+Wurzel(2)
> Das selbe wie [mm](Cx+D)/(-x^2+2)[/mm] Ich habe mir das irgendwann
> man so notiert (ich habe ja auch schon deswegen ein x veim
> C mit dran)
Sofern es sich um die selben Koeffizienten handelt, ist das nicht gleich.
Üblicherweise macht man den Ansatz
[mm]\bruch{Cx+D}{x^{2}+bx+c}[/mm] bei einem Polynom 2. Grades, das in [mm]\IR[/mm] keine Nullstellen hat.
Gruß
MathePower
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Hallo cleaner,
dein Ansatz ist schon ganz richtig, du hast nur einige Vorzeiochenfehler beim Ausmultiplizieren gemacht
> Bestimmen Sie die Stammfunktion unter alleiniger Verwendung
> der Grundintegrale
>
> [mm]F(x)=Integral(x/(x^4-3x^2+2))*dx[/mm]
> Ich hoffen ich kann gleich noch eine Datei anhängen in der
> die Liste der Grundintegrale ist.
>
> Mein Problem ist ich weiß nicht ob ich das alles Richtig
> gemacht habe.
>
> Mein Vorgehen ist folgendes:
>
> Partialbruchzerlegung
>
> [mm](x^4-3x^2+2)=0[/mm] durch erkennen x1=1 oder x2=-1
>
> [mm](x+x1)(x+x2)=(x+1)(x-1)=x^2-x+x-1=x^2-^[/mm]
>
> ->Polynomdivision
> [mm](x^4-3x^2+2):(x^2-1)=-x^2+2[/mm]
> [mm]-x^4+x^2[/mm]
> [mm]-2x^2+2[/mm]
> [mm]2x^2-2[/mm]
>
> [mm]A/(x+1)+B/(x-1)+(Cx+D)/(-x^2+2)=x[/mm]
>
> [mm]A(x-1)(-x^2+2)+B(x+1)(-x^2+2)+(Cx+D)(x+1)(x-1)=x[/mm]
> [mm] $(Ax-A)(-x^2+2)+(Bx+B)(-x^2+2)+(Cx^2+Cx+Dx+D)(x-1)=x$ [/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> [mm] $\red{-}Ax^3\red{+}Ax^2+2Ax-2A\red{-}Bx^3\red{-}Bx^2+2Bx+2B\red{x}+Cx^3-Cx+Dx^2-D=x$
[/mm]
Hier die richtigen Vorzeichen in rot, das [mm] $\red{x}$ [/mm] ist auch zuviel
Rechne damit nochmal nach, der Compi sagt, dass es eine "schöne" Lösung gibt 
>
> x=x1
> A(0)...+B(2)(1)+(C+D)(2)(0)=1
> 2B=1 => B=1/2
>
> x=x2
> A(-2)(1)+B(0)...+(C+D)(0)...=-1
> -2A=-1 => A=1/2
>
> x=0
> A(-1)(2)+B(1)(2)+(C*0+D)(1)(-1)=0
> -2A+2B-D=0
> -1+1-D=0
> D=0
>
>
>
> So nun Habe ich ein Problem den ich schaffe es nicht C zu
> errechnen aber vielleicht habe ich vorher schon einen
> Fehler gemacht
LG
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:49 So 11.01.2009 | | Autor: | cleaner1 |
Oh ja jetzt sehe ich auch die Fehler das eine x war grade nur ein Tippfehler aber die vorzeichen habe ich falsch mal gleich durchrechnen
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:16 So 11.01.2009 | | Autor: | cleaner1 |
Ich bin glaube ich immer noch auf dem Holzweg ich habe
A=-1/2 B=1/2 D=0 Und mit c habe ich wieder ein Problem ich habe als gleichung [mm] cx^3-x^2-cx=x
[/mm]
Vielleicht weiß jemand Rat
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:21 So 11.01.2009 | | Autor: | cleaner1 |
Die letzte Mitteilung sollte die Frage sein:
Ich bin glaube ich immer noch auf dem Holzweg ich habe
A=-1/2 B=1/2 D=0 Und mit c habe ich wieder ein Problem ich habe als gleichung
Vielleicht weiß jemand Rat
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Hallo nochmal,
> Ich bin glaube ich immer noch auf dem Holzweg ich habe
>
> A=-1/2 B=1/2 D=0 Und mit c habe ich wieder ein Problem ich
> habe als gleichung [mm]cx^3-x^2-cx=x[/mm]
>
> Vielleicht weiß jemand Rat
Du hast 4 Gleichungen
(1) $-A-B+C=0$
(2) $A-B+D=0$
(3) $2A+2B-C=1$
(4) $-2A+2B-D=0$
Wenn du (1) nach $A$ auflöst, hast du $A=C-B$
Das ist (3) reingestopft ergibt $2(C-B)+2B-C=1$, also $C=1$
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:30 So 11.01.2009 | | Autor: | cleaner1 |
Achso dann muss ich immer auch ein koeffizientenvergleich mit machen oder dazu wenn ich das nicht auflösen kann?
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Hallo cleaner1,
> Achso dann muss ich immer auch ein koeffizientenvergleich
> mit machen oder dazu wenn ich das nicht auflösen kann?
Ja, der Koeffizientenvergleich geht immer.
Gruß
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:01 So 11.01.2009 | | Autor: | cleaner1 |
Vielen Dank an allen die mir geholfen haben!
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